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e segundo, a matriz S é a matriz identidade caso as funções que formam a base do espaço
sejam ortonormalizadas.
Assumamos que um operador O do espaço de Hilbert age sobre uma função f. O
resultado da ação deste operador sobre a função é o mapeamento de f em uma nova função
f ′ , isto é
f ′ = Of =
ciOφi. (B.4)
Como f ′ é uma função do espaço podemos escrever que
f ′ =
c ′ iφi =
ci (Oφi) ,
multiplicando a expressão acima por φ ∗ j e integrando sobre o espaço temos
i
c ′ iSji =
ci φj | Oφi〉 ,
i
i
se definirmos Oji = φ j | Oφ i〉 podemos escrever a igualdade acima, em notação matricial,
como
caso assumamos a base ortonormalizada encontraremos que
i
i
Sc ′ = Oc ou c ′ = S −1 Oc, (B.5)
c ′ = Oc. (B.6)
Podemos observar, comparando (B.4) e (B.6), que existe uma correspondência
direta entre a ação de uma operador O sobre uma função f e o correspondente produto
do operador matricial O na base ortonormalizada e o vetor c. Dessa forma, a aplicação
sucessiva de operadores continua observando a mesma correspondência, isto é,
ABf −→ ABc,
onde A e B são operadores do espaço de Hilbert e A e B as matrizes associadas a eles.
O mesmo fato nem sempre é observado se S = 1, pois
ABf −→ S −1 AS −1 Bc = A S B S c,
A S e B S são respectivamente iguais a S −1 A e S −1 B.
produto matricial
Podemos escrever, da equação (B.1), a função f(x) do espaço de Hilbert como o
f(x) = φc