Texto Completo em PDF - Programa de Pós-Graduação em Física ...

Apêndice B
Espaços vetoriais e matrizes
Como é conhecido, as autofunções que satisfazem o problema de autovalor asso-
ciado a equação de Schrödinger são funções do espaço vetorial métrico denominado espaço
de Hilbert.
Seja então f(x) uma função deste espaço definida no intervalo [a, b] e sejam os φ i’s
uma base deste espaço. Podemos escrever que
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f(x) =
ciφi(x). (B.1)
i
Sejam f(x) e f ′ (x) duas funções deste espaço, o produto escalar entre estas duas
funções é dado por
〈f | f ′
=
f ∗ f ′ dx =
i,j
c ∗ i c ′ j
a expressão acima pode ser escrita na notação matricial como
φ ∗ i φ jdx,
〈f | f ′ = c † Sc ′ , (B.2)
onde c ′ é o matriz coluna cujas componentes são os coeficientes c ′ i da expansão da função
f ′ (x) e c † o matriz linha dos coeficientes conjugados da função f(x). Se f = f ′ , o produto
escalar é igual a 1, se f e f ′ são ortogonais, então o produto escalar é zero. Os elementos
da matriz quadrada S são as integrais
Sij = 〈φi | φj =
φ ∗ i φ jdx,
essa matriz é conhecida como matriz de superposição ou “overlap”. Algumas propriedades
da matriz S são triviais: primeiro, ela é uma matriz hermiteana, isto é,
S † = S (B.3)