Texto Completo em PDF - Programa de Pós-Graduação em Física ...

94
Agora, vamos demonstrar a propriedade 2 para o operador anti-simetrizador:
mostrar que ele é hermiteano. Como definido em (3.2), o operador anti-simetrizador é
escrito como uma soma de diferentes operadores permutação de n partículas multiplicados
por um escalar. Os operadores de permutação são operadores unitários [62], isto é,
tendo P † a mesma paridade do operador P.
Assim, podemos escrever que
A † = 1
n!
P
P † = P −1 ,
λP P † = 1
n!
λP P −1 .
Como P é um elemento de um grupo, e sua inversa faz parte do mesmo grupo,
por definição [60] e [61], podemos afirmar então que
λP P −1 =
λP P,
P
pois para cada elemento do grupo corresponde uma única inversa, e assim,
como queríamos demonstrar.
P
A † = A,
Para demonstrar a propriedade 3, escrevemos
PA = 1
n!
P ′
λP ′PP′ = λP
n!
P
λRR = λP A,
onde usamos a equação (A.2). Da mesma forma temos que
AP = 1
n!
De onde podemos afirmar que
como queríamos demonstrar.
P ′
λP ′P′ P = λP
n!
R
λRR =λP A.
R
AP = PA ⇒ [A, P] = 0,
Para demonstrar a propriedade 4, tomemos a aplicação de uma função de estado
de n elétrons |Φ〉, que deve ser anti-simétrica pela permutação de dois ou mais elétrons,
satisfazendo a condição de indistiguibilidade entre os elétrons do sistema, no operador Hele
seguido pela aplicação do operador anti-simetrizador A:
AHele |Φ〉 = E ele A |Φ〉 = E ele |Φ〉 ,