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Apêndice A
O operador anti-simetrizador
Neste apêndice apresentamos a demonstração das propriedades do operador anti-
simetrizador apresentadas na seção 3.1 do capítulo 3.
A primeira propriedade a ser demonstrada é a idempotência do operador A. Da
expressão (3.2) para o operador anti-simetrizador, podemos escrever que
A 2
1 1
= λP P
n!
n!
P
P ′
λP ′P′
93
= 1
(n!) 2
P,P ′
λP λP ′PP′ . (A.1)
Como o conjunto das permutações formam um grupo [60], temos que o produto de duas
permutações P e P ′ tem como resultado uma outra permutação pertencente ao grupo e que
chamaremos de R. Desta forma,
1
λP
n!
′PP′
=
P ′
λP
n!
λRR = λP A, (A.2)
onde usamos o fato de λ 2 P = 1, λP λP ′ = λR, e da soma dos produtos de todas as permutações
P ′ e de uma permutação fixa P gerar todos os elementos do grupo, que passamos a chamar
de R. Desta forma podemos escrever a equação (A.1) como
R
A 2 = 1
λ
n!
P
2
P A. (A.3)
Como a ordem deste grupo é igual a n! podemos escrever o resultado (A.3) como
A 2 = A,
demonstrando a propriedade de idempotência do operador anti-simetrizador.