PI - Instituto de Matemática - UFRJ

Estruturas Algébricas Mestrado Matemática UFRJ
2012-1
Prova Intermediária - Grupos
Problema 1: Subgrupos característicos, centro
Lembramos que uma caraterização possível de um subgrupo normal em G é que ele é estável pelos
automorfismos internos. Dizemos que um subgrupo H é característico em G quando ele é estável
por todos automorfismos e denotamos H ⊏ G. Obviamente um subgrupo característico é também
normal em G.
1) Demonstre que a relação “característico” é transitiva: H ⊏ K ⊏ G ⇒ H ⊏ G. (Vimos que ao
contrário, a relação de normalidade não é transitiva).
2) Demonstre que H ⊏ K ⊳ G ⇒ H ⊳ G.
3) Lembramos que o centro Z(G) de G é o conjunto dos elementos que comutam com todos elementos
de G. Demonstre que ele é sempre um subgrupo característico. Será igualmente o caso por um
subgrupo do centro?
4) Demonstre que se H, K são subgrupos característicos, então [H, K] (o subgrupo gerado pelos
comutadores [h, k] = hkh −1 k −1 , h ∈ H, k ∈ K) é característico em G. Mostre que o subgrupo
derivado D(G) := [G, G], é caraterístico.
5) Denotamos G ∗n o subgrupo de G gerado pelos elementos da forma x n , demonstre que é característico
por todo n.
6) Uma noção ainda mais forte é aquele de subgrupo totalmente invariante de G. São os subgrupos
invariantes por todos endomorfismos (morfismos de G em G). Demonstre que é uma relação
transitiva e que os subgrupos D(G) e G ∗n são totalmente invariantes.
(Ao contrário, pode-se provar que o centro de um grupo não é sempre totalmente invariante).
7) Qual relação existe entre o centro de um grupo e o centro de um dos seus subgrupos?
8) Seja φ o mapa que a x ∈ G associa o automorfismo interior ix : y ↦→ xyx −1 . Mostre que é um
morfismo de grupos. Determine o núcleo e deduza:
G/Z(G) ∼ = Int(G)
Problema 2: Grupos Diedrais, Sylow
Lembramos que Dn = {< r, s >: o(r) = n, o(s) = 2, srsr = id} é de cardinal 2n.
1) Descreve os subgrupos de Sylow de Dp com p primo.
2) Determine os subgrupos de Sylow de D6. (Dica: os 2-Sylows são gerados por dois elementos de
ordem 2).
3) Por n > 2, qualquer, denotamos Fr = {ϕ ∈ Aut(Dn) : ϕ(r) = r} e Fs = {ϕ ∈ Aut(Dn) : ϕ(s) = s}.
Verifique que Fr e Fs são subgrupos de Aut(Dn).
4) Demonstre que |Fs| = φ(n) onde φ é a indicatriz de Euler.
5) Demonstre que Fr é normal em Aut(Dn) e de cardinal n (distingue o caso n par).
6) Demonstre que Aut(Dn) = FrFs e deduza | Aut(Dn)|. (Dica: por calcular o cardinal determine
Fr ∩ Fs e aplique o 2° Teo. de homomorfismo: K ⊳ G ⇒ HK/K ∼ = H/H ∩ K).
1

Problema 3: Grupo dual, abelianizado
Seja G um grupo, chamamos de caráter do grupo G todo morfismo de G em (C ∗ , .). Denotamos G
o conjunto dos caracteres de G, munido do produto usual com as funções é o grupo dual de G.
1) Verifique que G é um grupo abeliano.
2) Mostre que se G é finito, G = Hom(G, U). Isso é todo caráter tem valores no grupo U dos números
complexos de módulo 1.
3) Demonstre que, por n ∈ N ∗ , o grupo dual de Z/nZ é isomorfe a Z/nZ. Admitimos que todo grupo
abeliano finito é isomorfe a um produto de grupos cíclicos:
Z/n1Z × Z/n2Z × · · · × Z/nrZ
verifique que A × B ∼ = A × B e deduza que todo grupo abeliano finito é isomorfe a seu dual.
4) Deduza que se G é finito, G é isomorfe ao abelianizado G/ D(G). (Dica: propriedade universal do
abelianizado).
Problema 4: Grupos nilpotentes
Definimos recursivamente a série central de um grupo G:
• C 1 (G) := G
• C i+1 (G) := [G, C i (G)]
Um grupo G é nilpotente se C n+1 (G) = {e} por um certo n. Se G é nilpotente, sua classe de
nilpotência é o menor n tal que C n+1 (G) = {e}. Assim um grupo é abéliano se e só se é nilpotente
de classe ≤ 1.
1) Mostre que subgrupos e grupos quocientes de um grupo nilpotente são nilpotentes.
2) Compare as propriedades de nilpotência e de solubilidade. (Dica: exemplifique com S3).
3) Demonstre que se H é um subgrupo próprio de G nilpotente, H é estritamente incluido no seu
normalizador. (Dica: recursão sobre a classe de nilpotência). Deduza que os p-Sylow de G são
normais em G.
4) Demonstre que todo p-grupo é nilpotente. (Dica: considera a ação do grupo em ele mesmo por
automorfismos internos).
2