Documento - Departamento de Prospectiva e Planeamento

Fluxos inter-regionais e consistência inter-matricial nos sistemas multi-regionais
(MRIO)
Natalino Martins
natalino@dpp.pt
DPP – Departamento de Prospectiva e Planeamento
www.dpp.pt
Documento apresentado ao 6º Workshop da APDR – 30/04/2010 – Angra do
Heroísmo – Universidade dos Açores
Os sistemas de matrizes multi-sectoriais multi-regionais são os mais interessantes do
ponto de vista da avaliação de impactos territoriais de variações na procura final,
nacional ou de qualquer região, no sentido em que permitem avaliar as
interdependências entre regiões e, consequentemente, os efeitos difusores, não
apenas intersectoriais, mas também inter-regionais, dos choques de procura ocorridos.
Tornam-se, todavia muito exigentes em termos da avaliação dos fluxos de comércio
inter-regional e em termos da compatibilização entre as matrizes que constituem o
sistema.
No primeiro caso, no limite, a vantagem está na sectorialização dos fluxos interregionais
de produtos (IRIO - Inter-regional input-output account), a qual permite
estabelecer uma interacção mais fina entre sectores produtivos de diferentes regiões.
Todavia, não havendo estatísticas de comércio inter-regional, mesmo a obtenção
desses fluxos sem sectorialização (sistemas multi-regionais) exige o recurso a
métodos de estimação que se tornam muito sensíveis pois vão influenciar o que se
torna essencial na utilidade das matrizes, a saber, os multiplicadores inter-regionais.
No segundo caso, para além da consistência intra-matricial (equilíbrios de oferta e
procura em cada matriz do sistema) há que assegurar a consistência entre matrizes
regionais e matriz nacional. Se se pretender um sistema de matrizes de produção
regional, adicionalmente torna-se necessário garantir a consistência, em cada região,
entre as matrizes que o compõem (matrizes de relações totais, de produção regional e
de margens). Trata-se de um problema complexo solúvel através da aplicação de
métodos de ajustamento proporcional em escala superior à bidimensional, o que pode
colocar problemas adicionais de convergência e obriga à adopção de métodos
iterativos na construção matricial.
Tirando partindo da literatura especializada e da experiência do autor na construção
de matrizes regionais, nomeadamente na construção da matriz regional de 1998 para
os Açores, bem como considerando a fase de arranque da construção de um novo
sistema de matrizes regionais no DPP, apresenta-se nesta comunicação uma reflexão
sobre aqueles temas, conducente à apresentação de propostas de soluções. Tendo
em conta o faseamento dos trabalhos desencadeados no DPP, restringir-nos-emos à
avaliação de fluxos inter-regionais não sectorializados e à consistência relativa ao
sistema de matrizes de relações totais. Trata-se, por conseguinte, de uma abordagem
mais de natureza operacional do que teórica.
1

Palavras-chave: Input-output, Modelos multi-regionais, Matrizes inter-regionais,
Consistência matricial, RAS
ÍNDICE
1. Matrizes regionais e multi-regionais: implicações nos métodos de construção
2. Fluxos inter-regionais: métodos de estimação e sectorialização
3. Níveis de consistência nos sistemas multi-regionais: problemática e métodos
4. Conclusões
5. Referências bibliográficas
1. Matrizes regionais e multi-regionais: implicações nos métodos de
construção
Normalmente, na construção de matrizes regionais tem-se distinguido entre a
perspectiva descentralizada – bottom up, em que o construtor não persegue objectivos
de compatibilização da(s) matriz(es) regional(ais) com a matriz nacional, e a
perspectiva centralizada – top down, em que o construtor toma a matriz nacional como
um referencial a que o sistema regional deverá submeter-se. Na prática, e tomando as
matrizes de relações totais a preços de aquisição 1 , a consistência inter-matricial
significa que a soma das matrizes relativas a todas as regiões do país deverá igualar a
matriz nacional. Esta condição acresce ao equilíbrio entre recursos e empregos em
cada matriz. A consistência inter-matricial nas matrizes de produção regional torna-se
mais complexa não cabendo aqui abordá-la.
A opção pelo método centralizado torna-se tanto mais útil para o construtor, quanto
maior for a escassez de informação, o que corresponde à maioria dos casos
atendendo à insuficiência dos sistemas estatísticos de base. Efectivamente, com este
método, ao invés de estimar todos os fluxos e agregados de raiz, torna-se possível
“regionalizar” os elementos da matriz nacional, para os quais não se dispõe de
informação própria suficiente, pelo recurso a proxies – trata-se da metodologia mista
ou híbrida. Esta é, aliás, a prática seguida nas Contas Regionais construídas segundo
os procedimentos estipulados pelo EUROSTAT.
É na perspectiva da consistência inter-matricial, que se torna pertinente questionar se
a distinção entre num extremo, o caso da construção de matrizes para uma única
região e, no outro extremo, o da construção de matrizes para todas as regiões de um
país, não é artificial.
A metodologia seguida pelo autor em projectos de construção matricial para uma única
região (casos do Norte, relativa a 1990, e dos Açores, relativa a 1998) baseou-se, nas
primeiras iterações, num sistema a duas regiões – a região de referência e o “resto do
1 Que englobam fluxos produzidos e importados, e em que os fluxos englobam todas as margens –
impostos líquidos, comércio e transportes.
2

país”. Todavia, as operações de equilíbrio intra-matricial foram efectuadas apenas
para a região de referência, o que significa que, na prática, o “resto do país” foi tratado
como um resíduo. No sistema multi-regional desenvolvido, com referência ao ano de
1977 e para as cinco regiões do Continente (quando as únicas matrizes existentes
eram as do ex-GEBEI, e as regiões autónomas não eram abrangidas), a consistência
entre as matrizes regionais e as matrizes do Continente ficou simplificada por, na
estimação do comércio inter-regional, se ter seguido o método dos saldos, o que
significa que todos os enviesamentos de estimação dos vários fluxos foram remetidos
para os saldos.
No sistema de matrizes para todas as regiões (NUTS II) do País, cuja construção se
está a configurar no DPP, procura-se recorrer a métodos de estimação do comércio
inter-regional, alternativos ao método dos saldos, o que coloca a questão da
consistência inter-matricial num patamar de complexidade bastante mais elevado,
exigindo adaptações nos métodos de ajustamento matricial normalmente seguidos, a
saber, o RAS 2 . Num caso e noutro, nas soluções a ensaiar, para além do que se
possa retirar da bibliografia especializada, filtrado pelas disponibilidades estatísticas
nacionais com detalhe regional, procura-se também tirar partido de alguns ensaios
realizados com a construção da matriz para os Açores.
2. Fluxos inter-regionais: métodos de estimação e sectorialização
Na ausência de estatísticas de comércio inter-regional, a estimação dos fluxos de
comércio de cada produto i entre cada par de regiões r e s – – tem sido feita
frequentemente com base em métodos que conduzem à determinação de um fluxo
líquido de exportação ou de importação. Trata-se do método dos saldos (aplicável
quando se dispõe da oferta e da procura doméstica e internacional de cada produto
em cada região) e do método dos quocientes de localização (quando não se dispõe
daquela informação). Ambos os casos têm subjacente uma limitação essencial:
quando o comércio mundial é crescentemente intra-sectorial o comércio inter-regional
assim determinado é do tipo intersectorial.
Sargento (2009) faz uma apresentação deste tipo de métodos, incluindo dos
processos de sofisticação do método dos quocientes de localização que visam
resolver o problema do benchmarking que, na formulação original daquele indicador, é
resolvido de forma insatisfatória assimilando a estrutura intersectorial da produção (ou
do emprego) do país à estrutura sectorial de procura interna da região. É possível
complementar aqueles métodos com a aplicação de parâmetros de crosshauling
share 3 os quais nos dão o peso que o saldo de comércio inter-regional tem no valor
bruto das exportações inter-regionais. Conhecidos aqueles parâmetros é possível
determinar, para cada produto, os fluxos de importação e exportação inter-regional
(Sargento, 2009).
2 Outros métodos têm sido referidos na literatura, mas os estudos comparativos efectuados, com todas as
suas limitações pois não há verdadeiramente benchmark, têm apontado para o RAS como sendo o método
mais adequado. Acresce ainda a maior facilidade da sua aplicação, comparativamente a outros métodos
mais elaborados (Lenzen, Gallego e Wood, 2008).
3 Que, embora mantendo a designação inglesa, arriscamos traduzir por “parâmetros de extracção” das
exportações inter-regionais.
3

O problema está em determinar os valores daquele parâmetro para cada produto (e
para cada par produto / região se estivermos perante um sistema matricial multiregional).
Ramos e Sargento (2003), referidos por Sargento (2009), fizeram
estimações daqueles coeficientes para as regiões portuguesas com base nas
estatísticas de fluxos inter-regionais de transporte de mercadorias mas, como refere
Sargento (2009), a solução revelou-se limitada devido às insuficiências daquelas
estatísticas (nomeadamente as decorrentes da nomenclatura de transportes e da não
cobertura dos serviços, bem como da impossibilidade de distinguir entre os fluxos
entre fornecedor e utilizador de cada produto e os fluxos de intermediação).
Alves, Martins et al (2004) na matriz dois Açores recorreram às estatísticas de
transporte marítimo para, com base nas quantidades descarregadas e carregadas nos
portos açorianos (após dedução dos fluxos inter-ilhas e internacionais) e nos preços
médios de importação e exportação internacionais, procederem à estimação de fluxos
de importação e exportação, de e para, o resto do país. Para além das limitações
decorrentes dos problemas deste tipo de estatísticas, referidos no parágrafo anterior,
que no caso vertente se esperava ver diminuídas devido à insularidade da região, o
método acabou por não ser retido na totalidade dos produtos por os resultados, na
confrontação entre oferta e procura regional, não se afigurarem satisfatórios.
Bo e Asao (2005), a partir do cruzamento do carácter probabilístico ou determinístico
dos métodos de determinação daqueles fluxos com a sua fundamentação em escolhas
individuais ou em processos da física social, referem os procedimentos baseados na
escolha individual, que podem ser determinísticos ou probabilísticos, e os
procedimentos baseados na física social, que podem ser gravitacionais ou entrópicos.
Na sequência, aqueles autores propõem a inserção das teses da teoria da escolha
determinística na estrutura do modelo de input-output inter-regional: o fluxo de
comércio inter-regional de cada par produto / região passa assim a ser determinado
pelo preço de aquisição (preço no produtor mais custo de transporte) e por um
parâmetro de substituição (assente na hipótese de Armington de substituição
imperfeita no comércio entre regiões), podendo o modelo ser resolvido como problema
de maximização do lucro ou de minimização do custo. Para além do cativante
interesse teórico deste tipo de soluções, o problema reside na sua operacionalidade
tendo em conta as variáveis que se torna necessário valorizar e a ausência de
informação estatística para o efeito, o que implica o recurso a proxies que são
frequentemente de difícil identificação.
Lindall, Olson e Alward (2006), estabelecem um modelo gravitacional com dupla
restrição, baseado no Modelo IMPLAN de Comércio Inter-regional dos EUA, para
estabelecer Coeficientes de Compra Regional (Regional Purchase Coefficients). Para
desenvolver o seu trabalho apoiaram-se em bases de dados associadas àquele
modelo contendo as distâncias e tempos de viagem entre unidades territoriais
estatísticas elementares por modo de transporte e as toneladas X milhas percorridas.
Saliente-se que o coeficiente de compra regional define-se pela parcela da procura
regional de cada produto que é satisfeita com produção da própria região. Também
Robinson e Liu (2006) recorreram a este tipo de conceito para, baseando-se naquelas
fontes de dados, estimarem os fluxos de mercadorias entre condados do Missouri,
comparando os respectivos resultados com os apurados pelo método dos Quocientes
de Localização.
4

Leontief e Strout (referidos em Bo e Asao, 2005) propõem o seguinte modelo para a
estimação dos fluxos inter-regionais do produto i no contexto de um sistema regional
fechado ao exterior:
5
(Eq. 2.1)
Em que representa o fluxo do produto i exportado de r para s, a produção de i
em r e a procura de i em s. constitui um parâmetro de atrito da distância sobre
os fluxos inter-regionais que, na nossa interpretação, assimilamos a um parâmetro de
liberdade de comércio inter-regional 4 .
Efectivamente, se o atrito da distância é suficientemente grande para que não
haja comércio inter-regional, se é não há qualquer atrito da distância ao
comércio inter-regional, pelo que a liberdade de comércio é total. O 2º coeficiente, que
designamos por α, representa a quota da região r na produção de i.
Desde logo ressalta aqui uma dificuldade: T depende de D sendo que para se
conhecer D é preciso conhecer T. Considerando ainda o sistema regional como
fechado em relação ao exterior, Moses (referido em Bo e Asao, 2005) propõe que:
(Eq. 2.2)
onde representa os totais de empregos de i internos à região s com origem na
própria região, que podemos assimilar a fluxos do produto i produzido e utilizado na
própria região. Daquela equação resulta que:
(Eq. 2.3)
Em 2.1 quanto maiores forem a quota de produção de r e o grau de liberdade de
comércio entre r e s, maior será a sua quota de mercado em s ( ) e,
consequentemente o seu volume de exportação para s - . Para além disso, o
parâmetro é único para todas as regiões r, independentemente da propensão de
4 No sentido da Nova Geografia Económica.

cada região para importar das outras regiões, não relevando também da propensão de
cada região para exportar.
A formulação de sugere, todavia, que poderá gerar-se um problema de
sobrevalorização das exportações. Concretamente, no limite, quando ambos os
parâmetros são iguais a um (concentração total da produção de i em r e liberdade total
de comércio) toda a procura de i por s é sustentada em importações de r ( ),
mas a determinação de vai gerar procura infinita (neste caso, basta que a produção
de i em s seja nula).
Uma solução alternativa pode passar pela definição de coeficientes que, ainda que de
forma indirecta e aproximativa, integrem no modelo a propensão de r para exportar e
também a propensão de s para importar das outras regiões, coeficientes que sendo
uniformes, no caso das exportações, para cada região de destino e, no caso das
importações, para cada região de origem, acabam por resultar diferenciados devido à
filtragem exercida pelo parâmetro da liberdade de comércio.
Trata-se de ter presente:
Deste modo:
Que a propensão para a exportação inter-regional de r depende também da
sua própria procura do produto i. Quanto mais a região pesar na procura de i
menor será a sua disponibilidade para exportar para as outras regiões; e,
Que a propensão de s para a importação inter-regional de i depende do seu
peso na procura desse produto.
6
(Eq. 2.4)
Coloca-se novamente o problema da determinação de , que nesta formulação se
agrava, pois não apenas permanece a possibilidade de o denominador da função de
poder ser igual a zero o que, como se pode verificar pela fórmula seguinte,
sucederá sempre que o somatório no denominador for igual a um, como também os
parâmetros e passam a depender de .
(Eq. 2.5)
Antes de passarmos a uma possível aproximação a que possa evitar o recurso à
equação acima indicada, generalizemos aquela solução para um sistema aberto ao
exterior, cuja representação matricial se exprime na 2.2.

Figura 2.2
Matriz de fluxos inter-territoriais do produto i
Orig/Dest 1 2 … r s … k e Oferta
1 … …
2
…
… … … … … … … … … …
r
s
…
…
… … … … … … … … … …
k
e
Procura
…
…
…
Considerando aquela matriz, onde as exportações de r para o exterior estão
assinaladas como , teremos que:
7
…
…
…
…
…
…
(Eq. 2.6)
No quadro das disponibilidades estatísticas, para a determinação de não vemos
outra solução que não a de nos basearmos nas primeiras estimativas feitas a partir
das fontes estatísticas. Efectivamente, considerando o método desconcentrado de
estimação dos fluxos de procura intermédia e final interna de cada região, baseado na
regionalização dos fluxos da matriz nacional de relações totais, poderemos considerar
que os mesmos abrangem os fluxos de produção de cada região , mais as
importações internacionais de cada região e as importações inter-regionais de
cada região correspondentes ao fluxo da origem inicial (o produtor) para destino final
(o utilizador). Isto é, excluem apenas os fluxos de intermediação que na matriz
nacional estão consolidados. Por exemplo, se um produto produzido no Norte é
objecto de consumo final em Lisboa, depois de passar por um intermediário do Centro,
apenas o fluxo entre o Norte e Lisboa está implícito na matriz nacional.
Deste modo, segundo o método desconcentrado, cada fluxo do produto i na matriz
nacional de relações totais, corresponde a:
(Eq. 2.7)

onde , e corresponde fluxo de relações totais de i para j
na matriz da região s (fluxo de todas as origens).
Por conseguinte, numa primeira fase podemos considerar que:
8
(Eq. 2.8)
em que j representa os ramos de procura intermédia e de procura final interna mais as
exportações internacionais, isto é, só não inclui as exportações inter-regionais.
Deste modo teremos que:
. (Eq. 2.9)
Colocam-se então os problemas da determinação do parâmetro da liberdade de
comércio de cada produto e da aferição dos fluxos de comércio assim determinados.
Para a obtenção do parâmetro da liberdade de comércio poder-se-á recorrer a
modelos de inter-acção espacial, ou a procedimentos mais elementares, recorrendo,
por exemplo, às matrizes de transporte inter-regionais (ITR complementado pela
matriz de transportes ferroviários). Pode-se inclusivamente recorrer a um método
misto, em que se estima o grau de liberdade de comércio inter-regional apenas para
os produtos ponderosos considerando-se igual a um nos restantes casos.
Saliente-se que, nas condições de Portugal Continental, os custos de transporte não
são muito relevantes pois as distâncias também não o são, exceptuando entre regiões
antípodas na direcção norte – sul, e as diferenças de especialização “impõem”
determinados fluxos inter-regionais. A geografia produtiva do país dá-nos alguns
exemplos, como o da cortiça produzida no Alentejo e transformada no Norte, embora
tratando-se de um produto ponderoso. O custo de transporte para as regiões
autónomas torna-se mais relevante, todavia a sua posição insular e ultraperiférica em
relação aos espaços continentais acaba por beneficiar o Continente que lhes é mais
próximo.
Todavia, mesmo apenas no caso do Continente, como se pode ver pelas figuras 2.1 e
2.2, em 2007, os volumes totais de tráfegos em toneladas inter-regionais, segundo o
Inquérito ao Transporte Rodoviário de Mercadorias, são bastante inferiores aos
volumes intra-regionais, e tendem a diminuir à medida que passamos de regiões
contíguas para regiões não contíguas. Naturalmente que os tráfegos por produto
poderão apresentar perfis territoriais diversificados em que aquela característica não
seja observada. Uma avaliação mais detalhada permitirá responder a essa questão e
ajudar a melhor decidir sobre os procedimentos a adoptar.

Figura 2.1
Peso do transporte rodoviário de mercadorias inter-regional no transporte intraregional
2007 - origens
1,000
0,800
0,600
0,400
0,200
0,000
Fonte: DPP baseado em ITR/INE
Figura 2.2
Peso do transporte rodoviário de mercadorias inter-regional no transporte intraregional
2007 - destinos
1,000
0,800
0,600
0,400
0,200
0,000
Fonte: DPP baseado em ITR/INE
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Algarve
Alentejo
Lisboa
Centro
Norte
Algarve
Alentejo
Lisboa
Centro
Norte
Norte
Centro
Lisboa
Alentejo
Algarve
Norte
Centro
Lisboa
Alentejo
Algarve

Para aferição dos fluxos inter-regionais estimados segundo a metodologia que se
propõe, pode-se estipular que os mesmos devem assegurar que o saldo de r daí
resultante, iguale o saldo que resulta do diferencial entre recursos e empregos da
região r, antes da determinação das exportações e importações inter-regionais.
Admite-se, assim, que as reexportações inter-regionais são nulas.
Deste modo, considerando o total de exportações de i, de r para as outras regiões
como sendo
10
(Eq. 2.10)
e o total de importações de i por r, provenientes das outras regiões, como sendo
tem que se garantir que, para cada produto i,
(Eq. 2.11)
(Eq. 2.12)
em que corresponde à produção de i em r, corresponde à importação
internacional de i por r, corresponde ao total de margens incidentes no produto i na
região r e corresponde à procura de i interna da região r estimada com a equação
2.8.
Uma vez que, como vimos acima, o cálculo dos fluxos inter-regionais é determinado e
determina a procura regional do produto i, a aplicação de todo o algoritmo de cálculo
dos fluxos inter-regionais tem de ser efectuada de forma iterativa e os ajustamentos
com as margens previamente fixadas tem de ser feito por procedimento RAS ou outro
semelhante.
Porque o RAS não é aplicável a diferenças, o procedimento a seguir deverá ser o
apresentado na secção seguinte, considerando-se os como correspondendo aos
recursos totais do ramo j e o como correspondendo aos empregos do produto i.
Haverá, no entanto, que garantir, no caso dos fluxos inter-regionais, que o total de
importações inter-regionais de cada produto tem de igualar o total de exportações
inter-regionais desse mesmo produto, o que significa introduzir uma restrição de
compatibilidade inter-regional diferente da aplicada às restantes colunas da matriz.
Não está no âmbito do projecto DPP, na primeira fase, proceder à sectorialização dos
fluxos inter-regionais, determinando os sectores de origem e destino de cada fluxo
inter-regional – fluxos intersectoriais inter-regionais (IRIO – Interregional Input-output).
Para a estimação desses fluxos há procedimentos sofisticados, nomeadamente os que
envolvem a programação quadrática ou funções de entropia (Canning e Wang, 2005)
que, partindo de estimativas iniciais desses fluxos, visam garantir a sua coerência com
o sistema multi-regional na sua globalidade e permitem atenuar o problema da
explosão dimensional que pode ocorrer quando, nas aplicações reais, se acrescentam
os fluxos intersectoriais inter-regionais aos sistemas multi-regionais. Trata-se de
metodologias a explorar no caso da extensão do projecto do sistema multi-regional do
DPP àqueles fluxos.

3. Níveis de consistência nos sistemas multi-regionais: problemática e
métodos
O RAS constitui um procedimento, já muito disseminado, de ajustamento biproporcional
de matrizes, visando minimizar os desvios entre as somas em linha e em
coluna de uma matriz e as margens tomadas como objectivo para a matriz que se
pretende apurar. Trata-se de um procedimento de grande utilidade na construção de
matrizes de input-output. Aplica-se a matrizes bidimensionais, e segue um
procedimento iterativo de ajustamento proporcional, alternadamente em linha e em
coluna, até os referidos desvios se reduzirem para níveis considerados desprezíveis.
Reunindo as condições de convergência, os desvios que se vão obtendo em cada
iteração vão tendendo para zero.
O RAS não é totalmente estranho aos procedimentos de programação quadrática e de
entropia, como referem (Canning e Wang, 2005) ao escreverem que the entropy
function is motivated from the information theory and is the objective function
underlying the wellknown RAS procedure e que, no caso da solução quadrática, When
the initial estimates are taken as the weights, solution of the model gives a weighted
constrained least-square estimator, which is … a good approximation of the RAS
solution.
No caso dos modelos multi-regionais surge a necessidade de se proceder a
ajustamentos matriciais em sistemas tridimensionais, uma vez que, para além de se
ter de garantir o equilíbrio interno a cada matriz regional do sistema, tem que se
garantir a consistência dos fluxos de cada matriz regional com os fluxos homólogos da
matriz nacional. Em termos muito simples, e como se referiu já na secção anterior, tem
que se garantir que fluxo nacional tem de ser igual à soma dos fluxos regionais
homólogos, isto é:
11
(Eq. 3.1)
O algoritmo que se apresenta de seguida constitui uma solução para este problema e
designamo-lo de RAS por ciclos a dois tempos uma vez que, iterativamente, em
cada ciclo se procede sequencialmente:
a um ajustamento inter-regional intra-sectorial, em que, para cada sector, se
estabelece a identidade entre o somatório dos fluxos regionais e o
correspondente fluxo nacional, como se ilustra na equação 3.1; e,
a um ajustamento intra-regional intersectorial, em que cada matriz regional é
tornada consistente com as margens que lhe são previamente fixadas, isto é:
e .
A figura 3.1 ilustra este processo, e na figura 3.2 procede-se a uma explicitação da sua
aplicação a um sistema matricial a dois sectores e duas regiões. Havendo
convergência matricial em cada tempo de cada ciclo, haverá convergência entre
tempos.

Para aplicar este procedimento de RAS, parte-se da estimativa inicial da
regionalização de cada uma das colunas da matriz (1º tempo do 1º ciclo) e no segundo
tempo procede-se à composição da matriz de cada região e, com o RAS, procede-se
ao seu ajustamento de modo a garantir a consistência em linha salvaguardando a
consistência em coluna. No 1º tempo do ciclo 2, recompõem-se as matrizes interregionais
por ramo e, através do RAS, procede-se à compatibilização de cada uma
com a respectiva coluna da matriz nacional, salvaguardando a sua consistência em
coluna.
Genericamente, em cada ciclo t, reequilibra-se a matriz inter-regional de cada ramo
herdada do ciclo t-1, tornando a soma das suas colunas (as regiões) idêntica à coluna
homónima da matriz nacional, desequilibrando cada matriz regional. No 2º tempo,
recompõe-se a matriz de cada região com as matrizes inter-regionais de cada ramo, e
procede-se, através do RAS, ao seu ajustamento de modo a que as somas em linha e
coluna gerem o mesmo valor para cada produto e ramo homónimos (equilíbrio de input
e de output), rompendo a condição de equilíbrio inter-regional em cada ramo.
Por conseguinte, o processo assenta numa alternância de equilíbrios – desequilíbrios
que tendem a ser progressivamente menores: estabelece-se o equilíbrio inter-regional
intra-sectorial rompendo o equilíbrio intra-regional intersectorial; restabelece-se este
último rompendo o primeiro, e assim sucessivamente.
Respeitadas as condições de convergência 5 , os vectores de desvio entre a matriz e as
margens objectivo no final de cada tempo de cada iteração, tenderão para zero. Feito
um número de ciclos suficiente, os desvios serão marginais e poderão ser
desprezados.
Na figura 3.2, as setas a vermelho indicam a dimensão em que, no tempo anterior se
reintroduziram discrepâncias que devem ser anuladas com a aplicação do RAS nesse
tempo.
Este procedimento foi aplicado na matriz dos Açores (Alves, Martins et al, 2004) a uma
situação (o apuramento de outputs por produto e de inputs por subsector do sector
primário, para os Açores e para o Resto do País) um pouco mais complexa no sentido
em que não se verificava a igualdade entre inputs e outputs em cada matriz, impondo
assim que cada ciclo comportasse três tempos. Certamente que, trabalhando a sete
regiões e várias dezenas de sectores o cálculo torna-se mais pesado e, por isso, mais
exigente em termos informáticos. Simultaneamente, a aplicação concreta do método
exige várias truncagens (de todos os elementos que se devam considerar fixos) e a
resolução dos problemas de convergência em presença de fluxos negativos. Não
trataremos aqui dessas questões. Há também a necessidade de um procedimento
específico para os fluxos inter-regionais, como decorre do exposto na secção anterior.
Cabe, no entanto, referir que no caso dos fluxos negativos se pode recorrer à
segmentação da matriz a ajustar em duas, uma de valores positivos e outra de valores
negativos. Trata-se do método GRAS desenvolvido por Junius e Oosterhaven (2003)
referido por Lenzen, Gallego e Wood (2008). Estes autores propõem uma extensão do
5 Que pode ser impossibilitada nos casos de ocorrência de valores negativos e de insuficiente
preenchimento da matriz de partida face às margens objectivo estabelecidas. Para além disso, as margens
devem ser estabelecidas com valores pontuais, não admitindo definições por intervalos (Lenzen, Gallego
e Wood, 2008, referindo Taracon e Del Rio, 2005)
12

GRAS, que designam por KRAS, com que pretendem evitar a necessidade de acertos
manuais na truncagem. A solução proposta, que não cabe aqui desenvolver, baseia-se
na já referida analogia do RAS à minimização de uma função de entropia.
Figura 3.1
Ajustamento matricial biproporcional num procedimento cíclico a dois tempos
13

Figura 3.2
Aplicação do ajustamento matricial biproporcional num procedimento cíclico a dois
tempos, a uma economia a duas regiões e dois sectores
14

4. Conclusões
A estimação de matrizes multi-regionais é muito exigente em informação, e apresenta,
entre outros, dois grandes problemas: os fluxos inter-regionais, especialmente se
forem, simultaneamente intersectoriais (matrizes de relações intersectoriais interregionais)
e a compatibilização entre diferentes tipos de matrizes e níveis territoriais
(consistência matricial).
Para a estimação dos fluxos inter-regionais, vários tipos de soluções têm sido
desenvolvidas. Umas, menos exigentes em informação estatística, têm o
inconveniente de assentarem numa perspectiva de comércio inter-sectorial quando a
abertura das economias tem acentuado o carácter intra-sectorial do comércio externo.
Outras, porventura com resultados mais interessantes, são muito mais exigentes em
informação o que as torna inviáveis nos países com sistemas estatísticos mais fracos
nesta perspectiva.
Neste texto, apresenta-se uma proposta que assenta na exploração da solução de
Leontief e Strout, introduzindo parâmetros de modelação da oferta e procura regional
de comércio inter-regional, e propondo uma solução para a determinação prévia da
procura regional de cada produto que sirva como base para a primeira iteração da
estimação dos fluxos inter-regionais de comércio por produto, quantificados por origem
e destino. Trata-se de um procedimento ainda não testado, mas que se prevê que o
venha a ser no âmbito do projecto de construção de um sistema de matrizes regionais
para as sete regiões NUTS II nacionais, em curso no Departamento de Prospectiva e
Planeamento do MAOT.
Relativamente à consistência matricial, preconiza-se uma aplicação do RAS por ciclos
a dois tempos, em que alternadamente se procede ao ajustamento inter-regional de
cada ramo das matrizes regionais, compatibilizando-as com a matriz nacional, e ao
ajustamento de cada matriz regional, compatibilizando-a com as respectivas margens.
Trata-se de um procedimento já aplicado, noutra dimensão, na matriz regional dos
Açores de 1998.
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