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CAPÍTULO 1<br />
FUNDAMENTOS DO ELETROMAGNETISMO<br />
As reais causas do Magnetismo não são, até hoje, perfeitamente explicadas, porém<br />
seus efeitos e aplicações são conhecidos e utilizados desde muitos séculos antes de Cristo.<br />
Os chineses, por exemplo, já usavam bússolas rudimentares, construídas a partir de<br />
pequenos imãs naturais, para se orientarem em suas viagens há mais de 2.000 anos atrás.<br />
Em 1820, Oersted descobriu que correntes elétricas eram capazes de produzir<br />
campos magnéticos semelhantes aos de ímãs: nascia, assim, o Eletromagnetismo,<br />
fundamento teórico das atuais máquinas elétricas, transformadores e mais centenas de<br />
aplicações na área de Eletrotécnica e Eletrônica.<br />
1.1. O CAMPO MAGNÉTICO<br />
O Magnetismo é o ramo da Física que se desenvolveu a partir do estudo de ímãs.<br />
Como se sabe, os ímãs tem dois pólos, o norte (N) e o sul (S), que não podem ser<br />
isolados. Sabe-se, ainda, que pólos de mesmo nome se repelem e pólos de nomes<br />
contrários se atraem. Em fins do século XVII, Coulomb demonstrou que esta forma de<br />
repulsão (ou atração) é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os dois<br />
pólos.<br />
Podemos observar que alguns fenômenos “peculiares” acontecem no espaço que<br />
circunda um ímã: pedacinhos de ferro são atraídos, ponteiros de bússolas são desviados,<br />
etc. Dizemos, então, que nesta região do espaço existe um campo magnético.<br />
A representação de um campo magnético pode ser feita através das chamadas<br />
linhas de indução. Para traçá-las, imaginemos que fosse possível isolar os pólos de um<br />
ímã e que o pólo norte fosse tomado como “corpo de prova”; a trajetória descrita por este<br />
pólo tangenciaria a linha de indução no ponto considerado. A Fig. 1.1(a) mostra as linhas<br />
de indução do campo magnético de um ímã; ali, no ponto A é mostrado o “corpo de<br />
prova”, que é repelido pelo pólo N com a força FN e atraído pelo pólo S com a força FS .<br />
<br />
A força resultante FR FN FS<br />
mostra a direção e o sentido do deslocamento do “corpo<br />
de prova” naquele ponto.

Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow<br />
Figura 1.1 - Linhas de indução do campo magnético de um ímã: (a) reto; (b) em<br />
ferradura.<br />
Vê-se ainda na Fig. 1.1 que as linhas de indução sempre “nascem” no pólo N e<br />
“morrem” no pólo S, fechando-se por dentro do ímã. Aliás, uma das características das<br />
linhas de indução é o fato de que sempre são fechadas.<br />
Um campo magnético também pode ser representado quantitativamente por uma<br />
grandeza vetorial chamada indução magnética (simbolizada por B ), que se relaciona às<br />
linhas de indução da seguinte forma:<br />
o vetor B em um ponto qualquer é tangente à linha de indução que passa pelo ponto<br />
considerado, apontando no sentido dessa linha;<br />
o módulo de B é proporcional ao número de linhas de indução por unidade de área<br />
(isto é, a indução será maior nas regiões onde as linhas estiverem mais juntas).<br />
Na Fig. 1.2 são mostradas<br />
as linhas de indução de um<br />
campo magnético hipotético; as<br />
relações acima apontadas podem<br />
ser visualizadas para dois pontos<br />
(X e Y) deste campo.<br />
No Sistema<br />
<br />
Internacional<br />
Figura 1.2 - Vetor indução magnética B para<br />
2 pontos (X e Y) de um campo magnético.<br />
2<br />
a unidade de<br />
B é o Tesla<br />
(símbolo T). Outras unidades<br />
comumente empregadas são:<br />
1 gauss = 1 linha/cm 2 = 10 -4 T<br />
1 quilolinha/pol 2 = 1,55.10 -2 T<br />
O número de linhas que atravessa uma superfície delimitada é denominado fluxo<br />
magnético (símbolo ). A expressão mais geral para o fluxo magnético é<br />
<br />
B dS (1.1)

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que é a integral de superfície de um produto escalar, sendo dS o vetor área unitária<br />
(sempre perpendicular à área considerada). O fluxo magnético representa, portanto, o<br />
somatório de B sobre a área considerada.<br />
Quando as linhas de indução forem perpendiculares à área considerada, o que<br />
acontece em grande parte dos casos práticos, a equação anterior pode ser reescrita como<br />
BS (1.2)<br />
No Sistema Internacional, o fluxo magnético é expresso em Webber (símbolo Wb)<br />
Outras unidades bastante usadas são: 1 quilolinha = 10 -5 Wb<br />
1 maxwell = 1 linha = 1 uem = 10 -8 Wb<br />
1.2. AÇÃO DE CAMPO MAGNÉTICO SOBRE CARGA ELÉTRICA EM<br />
MOVIMENTO<br />
Uma importante característica dos campos magnéticos é o fato de agirem sobre<br />
cargas elétricas em movimento. Se uma carga de prova q (positiva por convenção) for<br />
lançada com velocidade v numa região do espaço onde existe um campo magnético de<br />
indução B , surgirá uma força F que desvia esta carga de sua trajetória inicial. Esta força é<br />
dada pelo produto vetorial<br />
<br />
F qv B<br />
(1.3)<br />
sendo seu módulo dado por<br />
F qvBsen<br />
(1.4)<br />
onde é o ângulo formado pelos vetores v e B . A direção e o sentido da força são dados<br />
(a) (b)<br />
Figura 1.3 - (a) Força que atua sobre uma carga elétrica em movimento dentro de um<br />
campo magnético; (b) regra da mão direita.<br />
pela regra da mão direita. mostrada na Fig. 1.3: com o dedos médio e indicador<br />
apontando, respectivamente, no sentido de B e v , o polegar coincidirá com F .<br />
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Observe-se que esta regra se aplica a cargas positivas; em caso de cargas negativas devese<br />
inverter o sentido obtido.<br />
1.3. AÇÃO DE CAMPO MAGNÉTICO SOBRE CONDUTOR PERCORRIDO POR<br />
CORRENTE ELÉTRICA<br />
Se uma carga elétrica em movimento é afetada por campos magnéticos, parece<br />
claro que um condutor percorrido por corrente elétrica (que é carga em movimento)<br />
também o será.<br />
(a) (b)<br />
Figura 1.4 - (a) Ação do campo magnético sobre um condutor que transporta corrente<br />
elétrica; (b) regra da mão direita.<br />
Na Fig. 1.4a é mostrada uma porção de fio condutor, com comprimento l, imerso<br />
em um campo magnético de indução B (constante e saindo da página) e conduzindo uma<br />
corrente i (sentido indicado na figura). Desde que a corrente convencional é constituída<br />
por cargas q positivas, cada uma delas sofrerá a ação de uma força (dada pela Eq. 1.3)<br />
<br />
F qv B<br />
que no desenho aponta para cima. Nesta equação, v é a velocidade média das cargas<br />
portadoras da corrente, podendo ser expressa por<br />
l<br />
v <br />
t<br />
onde t é o tempo gasto por uma carga para percorrer<br />
<br />
a distância l. Então<br />
<br />
F q l<br />
t B <br />
onde l é o vetor comprimento, sempre tangente ao condutor em cada ponto deste e<br />
apontando no mesmo sentido da corrente no ponto considerado. Lembrando que a razão<br />
entre carga elétrica q e o tempo t fornece a corrente elétrica i<br />
<br />
F il B<br />
(1.5)<br />
O módulo desta força é dado por<br />
F ilBsen<br />
(1.6)<br />
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onde é o ângulo formado pelos vetores l e B ; a direção e o sentido são dados pela<br />
regra da mão direita, onde os dedos médio, indicador e polegar correspondem,<br />
respectivamente, ao vetor B , à corrente i (já que esta aponta no mesmo sentido de l ) e à<br />
força F , conforme mostrado na Fig. 1.4b.<br />
Exemplo 1.1<br />
A Fig. 1.5a mostra um condutor de comprimento l que se desloca com velocidade v<br />
constante em uma região de campo magnético de indução B também constante.<br />
Determinar a expressão da tensão induzida e entre as extremidades deste condutor,<br />
sabendo que o ângulo formado entre os vetores v e B é .<br />
Figura 1.5 - (a) Condutor se deslocando dentro de campo magnético do Exemplo 1.1; (b)<br />
representação esquemática e regra da mão direita.<br />
Solução<br />
A regra da mão direita (Fig. 1.3b) mostra que as cargas positivas livres no condutor se<br />
deslocarão para o “fundo” da folha, como mostra a Fig. 1.5a; as cargas livres negativas<br />
sofrerão a ação de força em sentido contrário. O módulo da força que age sobre cada uma<br />
das cargas é dado pela Eq. 1.4<br />
F qvBsen<br />
A separação das cargas gera um campo elétrico<br />
<br />
<br />
E F<br />
vBsen<br />
q<br />
e, conseqüentemente, uma tensão e = El, ou seja<br />
e Blv sen (1.7)<br />
A Eq. 1.7 fundamenta a ação dos geradores elétricos e merece uma análise mais<br />
cuidadosa. O mesmo arranjo da Fig. 1.5a é repetido esquematicamente na Fig. 1.5b,<br />
estando o condutor colocado perpendicularmente ao plano da página. Podemos interpretar<br />
a Eq. 1.7 como uma indicação de que o importante é a componente da velocidade v que é<br />
perpendicular às linhas de indução do campo magnético (mais adiante diremos que é a<br />
componente de v que “corta” as linhas). Esta componente é<br />
v vsen( ) vsen<br />
900 <br />
<br />
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A polaridade da tensão induzida e pode ser encontrada pela aplicação de uma nova<br />
variação da regra da mão direita, como mostra a Fig. 1.5b, com os dedos indicador, médio<br />
e polegar representando, respectivamente B , v e e (sendo que a ponta do dedo polegar<br />
representa o pólo + da tensão induzida).<br />
1.4. CAMPO MAGNÉTICO GERADO PELA CORRENTE ELÉTRICA EM UM<br />
CONDUTOR<br />
Um condutor percorrido por corrente elétrica gera um campo magnético: esta<br />
constatação, que interliga a Eletricidade e o Magnetismo, deu origem ao ramo da Física<br />
chamado Eletromagnetismo.<br />
A Fig. 1.6 mostra um fio condutor retilíneo, percorrido por uma corrente i.<br />
Experiências simples, realizadas com a utilização de limalha de ferro ou agulhas imantadas,<br />
mostram que as linhas de indução geradas pela corrente tem a forma mostrada no<br />
desenho: são círculos concêntricos cujo sentido é dado pela regra do polegar direito:<br />
segurando-se o fio com a mão direita, estando o polegar apontando no mesmo sentido da<br />
corrente, os demais dedos darão o sentido das linhas.<br />
Figura 1.6 - Linhas de indução geradas pela corrente elétrica em um condutor retilíneo e<br />
regra do polegar direito.<br />
A relação entre o valor da indução magnética B do campo gerado e a corrente i é<br />
dada pela chamada Lei de Ampère, expressa pela seguinte equação:<br />
<br />
B dl iT (1.8)<br />
O lado esquerdo desta equação consiste na integral de linha de um produto escalar . A<br />
linha (percurso) é escolhida de tal forma que facilite a integração, e sobre ela é tomado o<br />
vetor dl , chamado comprimento unitário e tangente ao percurso em cada ponto do<br />
mesmo. No lado direito da equação iT é a corrente total englobada pelo percurso e é<br />
uma característica de meio onde está imerso o condutor, chamada permeabilidade<br />
magnética, que será melhor estudada no próximo capítulo. Para o vácuo, a<br />
permeabilidade é<br />
Wb<br />
o 4 10<br />
A m<br />
7<br />
.<br />
.<br />
6

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Exemplo 1.2<br />
Determinar o valor da indução magnética B a uma distância R de um fio condutor<br />
retilíneo e muito comprido,<br />
quando este é percorrido por<br />
uma corrente i, como mostra a<br />
Fig. 1.7.<br />
7<br />
Figura 1.7 - Exemplo 1.2<br />
Solução<br />
Já que as linhas do campo magnético são circulares, escolhe-se um percurso que coincida<br />
com a linha situada à distância R, como mostrado na Fig. 1.7. Pode-se deduzir que o valor<br />
(módulo) de B será o mesmo em qualquer ponto deste círculo, já que todos estes pontos<br />
estão à mesma distância do condutor. Além disso, em qualquer ponto deste circulo os<br />
vetores B e dl têm o mesmo sentido, logo<br />
<br />
o<br />
B dl Bdl cos0 Bdl <br />
i<br />
Como B é constante para qualquer ponto do percurso<br />
Bdl B dl B( 2R) i<br />
logo<br />
i<br />
B <br />
R<br />
<br />
(1.9)<br />
2<br />
É importante notar, nesta equação que a intensidade do campo magnético é<br />
diretamente proporcional à corrente no condutor; em outras palavras, correntes elevadas<br />
geram campos magnéticos fortes.<br />
Um simples condutor retilíneo não é capaz de gerar campos magnéticos intensos,<br />
a menos que a corrente seja muito elevada. Porém, se este condutor for enrolado,<br />
formando um solenóide (ou, como se diz na prática, uma bobina), como mostra a Fig. 1.8,<br />
cada porção dl do fio contribuirá para reforçar o campo dentro da bobina, como se pode<br />
deduzir pela regra do polegar direito; já o campo fora da bobina será relativamente<br />
pequeno, desde que ali as porções dl diametralmente opostas produzem campos em<br />
sentidos contrários. Uma comparação entre as Figs. 1.1 e 1.8 mostra que os campos de<br />
um ímã e de uma bobina percorrida por corrente são similares; de fato, a bobina da Fig.<br />
1.8 pode ser considerada como um eletroímã, cujo pólo Norte está situado à direita no<br />
desenho.

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1.5. INDUÇÃO MAGNÉTICA<br />
Figura 1.8 - Campo magnético em um solenóide<br />
Em 1831, o cientista inglês Michael Faraday descobriu que “quando o fluxo<br />
magnético em uma bobina de N espiras varia com o tempo, uma tensão e é induzida<br />
entre seus terminais”. Esta constatação, conhecida como Lei de Faraday, pode ser<br />
expressa matematicamente através da seguinte equação:<br />
e N d<br />
<br />
(1.10)<br />
dt<br />
Esta equação mostra que a tensão induzida não é proporcional ao valor do fluxo, mas sim<br />
à sua taxa de variação temporal.<br />
A polaridade da tensão induzida pode ser determinada a partir da corrente que<br />
circula na bobina quando uma carga for conectada a seus terminais. Esta regra, conhecida<br />
como Lei de Lenz, estabelece que “a corrente induzida sempre aparece de forma a<br />
contrariar a variação do fluxo magnético que a produziu”. Em outras palavras, se o fluxo<br />
na bobina está variando, a corrente induzida terá um sentido tal que produza um campo<br />
magnético cujas linhas se oponham a esta variação.<br />
Por exemplo, veja-se a Fig. 1.10, que mostra um ímã cujo pólo N está se<br />
aproximando de uma bobina. Como o número de linhas que cortas espiras da bobina está<br />
aumentando (ou seja, está aumentando), a corrente induzida i terá o sentido indicado,<br />
gerando linhas (em tracejado no desenho) que contrariam este aumento. Para que isto<br />
aconteça, a tensão induzida e terá a polaridade indicada (lembrar que nas cargas o terminal<br />
+ é aquele por onde entra a corrente).<br />
8

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9<br />
Figura 1.9 - Tensão induzida<br />
pela aproximação de um ímã em<br />
relação a uma bobina<br />
Se a bobina estiver com os terminais em aberto não haverá corrente induzida, mas<br />
apenas tensão. Neste caso, para se determinar a polaridade de e, imagina-se que o<br />
enrolamento está fechado e aplica-se a Lei de Lenz.<br />
A Lei de Faraday explica o funcionamento de muitos dispositivos práticos como,<br />
por exemplo, os transformadores e os alternadores.<br />
1.6. CORRENTES PARASITAS<br />
Quando um enrolamento construído ao redor de um núcleo magnético é percorrido<br />
por corrente alternada, cria-se um fluxo magnético variável que induzirá uma tensão neste<br />
material. Considerando que, na prática, os núcleos são construídos com materiais<br />
condutores (como aço ou ferro), segue-se que serão induzidas correntes, com<br />
conseqüente aquecimento do material do núcleo. Estas são as chamadas correntes de<br />
Foucault ou correntes parasitas, já que produzem perdas por calor.<br />
Pode-se reduzir as perdas por correntes parasitas construindo-se o núcleo através<br />
da justaposição de lâminas de material magnético isoladas entre si, ao invés de usar-se<br />
núcleos maciços. Esta providencia reduz a resistência elétrica do percurso por onde se<br />
desenvolve a corrente parasita, diminuindo-a, portanto.<br />
Para melhor entender o acima exposto, veja-se a Fig. 1.10(a), que mostra parte de<br />
um núcleo em torno do qual existe um enrolamento onde circula CA. Sabe-se que o fluxo<br />
através do núcleo será variável; imaginemos que num certo instante as linhas tenham o<br />
sentido indicado na figura. Suponhamos ainda que, nesse instante, a variação do fluxo é tal<br />
que a corrente parasita tenha o sentido indicado no desenho. Observe-se que esta corrente<br />
é estabelecida para uma pequena seção S do núcleo. Considerando as dimensões deste<br />
núcleo, a resistência elétrica é dada por<br />
2a 2 b<br />
R'<br />
<br />
onde é a resistividade do material do núcleo. Se este núcleo for dividido em duas partes,<br />
como mostra a Fig. 1.10(b), e fazendo as mesmas considerações anteriores, a resistência<br />
elétrica de cada uma das partes é<br />
S

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b<br />
a <br />
a b<br />
R"<br />
S S<br />
<br />
2 2 <br />
2 2 <br />
<br />
Claramente, a resistência diminuiu com a laminação do núcleo. Considerando-se que a<br />
tensão induzida é a mesma nos dois casos, as correntes parasitas serão menores no núcleo<br />
laminado.<br />
Figura 1.10 - Correntes parasitas criadas por circulação de CA em um enrolamento feito<br />
em torno de um núcleo: (a) inteiriço; (b) laminado.<br />
A potência dissipada sob forma de calor devido às correntes parasitas depende das<br />
dimensões do núcleo e do material com o qual este é feito. A expressão que se segue dá o<br />
valor desta potência por unidade de massa do núcleo:<br />
P K f B<br />
2 2<br />
p p M<br />
(1.11)<br />
onde Kp é uma constante que depende da resistividade do material e da espessura das<br />
lâminas, f é a freqüência da CA e BM é o maior valor atingido pelo vetor indução<br />
magnética durante um ciclo.<br />
1.7. INTENSIDADE DO CAMPO MAGNÉTICO<br />
O vetor indução magnética, definido na Seção 1.1, tem um grave inconveniente:<br />
sua dependência com o meio atavés do qual se desenvolve o campo magnético.<br />
Isso acontece porquê o campo magnético no interior de um material será<br />
influenciado por características magnéticas próprias do mesmo. Por exemplo, o campo<br />
magnético gerado no interior de uma bobina percorrida por corrente poderá variar<br />
significativamente caso o núcleo da mesma seja de ferro ou de aço.<br />
Para eliminar esta dependência, introduz-se uma nova grandeza vetorial,<br />
denominada intensidade de campo magnético, dada por<br />
10

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<br />
<br />
H B<br />
(1.12)<br />
<br />
cuja direção e sentido são idênticos ao de B em qualquer ponto do campo magnético. No<br />
Sistema internacional, a unidade para H é o<br />
Ampere espira A e<br />
<br />
metro m <br />
que corresponde à intensidade magnética do campo gerado no centro de uma espira com 1<br />
metro de raio, quando esta for percorrida por corrente de 1 A. Outras unidades usadas<br />
são:<br />
Para melhor entendermos esta grandeza, imaginemos que uma fonte qualquer (um<br />
ímã ou um solenóide) gera um no vácuo campo magnético cuja intensidade é dada (em<br />
módulo) por<br />
H B<br />
<br />
o<br />
Se neste mesmo campo for colocado outro material, como um núcleo de ferro, a<br />
intensidade magnética continuará sendo a mesma, porém a indução magnética em seu<br />
interior será dada pela soma dos efeitos devido ao campo externo e à chamada<br />
polarização magnética (simbolizada por M ), isto é:<br />
B = o (H + M)<br />
Esta equação pode ser colocada sob a forma<br />
M<br />
B<br />
H M<br />
<br />
o 1<br />
<br />
<br />
onde o termo entre parênteses representa a permeabilidade magnética relativa do<br />
material, portanto<br />
B = orH<br />
Então, de acordo com a Eq. 1.12<br />
B = H (1.13)<br />
que é a mesma Eq. 1.12 anteriormente obtida.<br />
Obviamente, o uso do vetor intensidade de campo magnético altera as fórmulas<br />
vistas anteriormente. Assim, a Lei de Ampère, dada pela Eq. 1.8, transforma-se em<br />
<br />
H dl iT (1.14)<br />
e a Eq. 1.9, que dá o valor de B ao redor de um fio percorrido por corrente elétrica,<br />
reduz-se a<br />
i<br />
H (1.15)<br />
2 R<br />
11