Jogar e Aprender Matemática - LP-Books

Jogar e Aprender
Matemática

Jogar e Aprender
Matemática
Organizadoras :
ADRIANA MARIA CORDER MOLINARI
CAMILA LEME ZAIA
LIA LEME ZAIA
MARTA RABIOGLIO
ORLY ZUCATTO MANTOVANI DE ASSIS
SONIA BESSA

Editora
LP-Books
www.lp-books.com
Editor Responsável
João Antonio Carvalho
Produção editorial
LivroPronto
Studio e Gráfica
Capa
LivroPronto
Studio e Gráfica
Jogar e Aprender Matemática
Copyright © Orly Zucatto Mantovani de
Assis
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quaisquer sem a prévia autorização da
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
A848j
Assis, Orly Zucatto Mantovani de,
Jogar e Aprender Matemática/Orly Zucatto
Mantovani de Assis - São Paulo: LP-Books 2012.
174p; 21cm
ISBN 978-85-7869-340-4
1. Matemática - Jogos. I. Título.
São Paulo, 2012
1ª Edição
CDU 519-83

É preciso ensinar os alunos a pensar, e é impossível
aprender a pensar num regime autoritário. Pensar,
é procurar por si próprio, é criticar livremente e é
demonstrar de forma autônoma. O pensamento supõe
então o jogo livre das funções intelectuais e não o
trabalho sob pressão e a repetição verbal.
Berna, 08 de julho de 1944.
Jean Piaget.
(in Piaget, Teoria e Prática , XIII Enc. Nac. de Prof. do
Proepre)

Sumário
1. CONSTRUTIVISMO E APRENDIZAGEM
Constance Kamii................................................................. 13
2. COMO AS CRIANÇAS CONSTROEM OS CONCEITOS
MATEMÁTICOS
Orly Zucatto Mantovani de Assis........................................ 23
3. OS EFEITOS NOCIVOS DO ENSINO PRECOCE DOS
ALGORÍTMOS
Constance Kamii e Marta Rabioglio.................................... 39
4. JOGAR PARA DESENVOLVER E CONSTRUIR
CONHECIMENTO: jogar para desenvolver o prazer de
aprender matemática
Lia Leme Zaia..................................................................... 49
5. EXERCITANDO O CÁLCULO MENTAL EM JOGOS
Marta Rabioglio................................................................... 83
6. SOLUÇÃO DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS:
possibilidades dos jogos
Adriana Maria Corder Molinari.......................................... 107
7. MATEMÁTICA: Implicações e relações
Sonia Bessa da Costa Nicacio Silva................................. 127
8. LÓGICA, MORAL E EDUCAÇÃO: que relação é esta?
Amal Rahif Suleiman e Ricardo Leite Camargo............... 139
9. ESTRUTURA DO TRABALHO DIÁRIO NAS AULAS DE
MATEMÁTICA
Lia Leme Zaia e Orly Zucatto Mantovani de Assis............ 151

Apresentação
Com prazer apresento este livro, nascido do encontro
de educadores e pesquisadores interessados no jogo, na
matemática, na criança que aprende e em seu professor.
O grupo formou-se para atender à necessidade específica
dos professores de matemática que recebem, na quinta
série, crianças que ainda não aprenderam as operações
aritméticas.
Interessados no trabalho preventivo, para evitar que
outras crianças sejam colocadas na mesma situação, e
conscientes da necessidade de recuperar o prazer e a
possibilidade de aprender, os autores se apoiaram na teoria
piagetiana. Ação e reflexão constituem a condição prioritária
do desenvolvimento e aprendizagem. Os jogos de regras,
na qualidade de instrumentos privilegiados para provocar
a necessidade de pensar antes de agir, de refletir sobre a
ação realizada e suas consequências, são propostos com o
objetivo de propiciar a conquista da autonomia intelectual e
moral.
No capítulo “Construtivismo e Aprendizagem”,
Constance Kamii explica como as crianças constroem o
conhecimento, especialmente o da aritmética, diferenciando
o conhecimento lógico-matemático do conhecimento físico e
do social, apontando a importância de se permitir à criança
errar, tentar, tomar consciência e autocorrigir-se.
No capítulo “Como as crianças constroem os conceitos
matemáticos”, Orly Zucatto Mantovani de Assis descreve
pesquisas realizadas por Piaget, que envolvem conceitos
numéricos e representação do espaço, cujos resultados
se aplicam ao conhecimento humano e ao processo de
aprendizagem em geral.

Constance Kamii e Marta Rabioglio escrevem o capítulo
“Matemática no Ensino Fundamental: Os efeitos nocivos do
ensino precoce dos algoritmos”, cujo título não deixa dúvidas
sobre sua posição contrária ao ensino mecânico de fórmulas
convencionais, na defesa dos procedimentos construídos
pela criança.
Lia Leme Zaia, em “jogar para desenvolver e construir
conhecimento: jogar para desenvolver o prazer de aprender
matemática” descreve o desenvolvimento do jogo na criança,
analisa seu papel no desenvolvimento cognitivo, afetivo, social
e moral. Descreve a construção da aritmética na criança, a
partir da análise de quatro jogos, especialmente escolhidos
por possibilitarem a aplicação de procedimentos e estratégias
já construídos por ela.
O capítulo “Exercitando o cálculo mental em jogos”,
foi dividido por Marta Rabioglio em duas partes, na primeira
discute o ensino e aprendizagem das operações aritméticas e
a importância do cálculo mental, e na segunda parte apresenta
e sugere jogos para a sala de aula.
O capítulo “Solução de Problemas Aritméticos:
possibilidades dos jogos”, de Adriana Maria Corder Molinari,
discute a solução de problemas como um processo que
favorece o desenvolvimento das estruturas cognitivas.
Apresenta algumas características da operação aritmética
de divisão e dois jogos que propiciam o desenvolvimento
da capacidade de solucionar problemas e a construção da
noção de divisão.
Sônia Bessa da Costa Nicacio Silva, no capítulo
“Matemática: Implicações e Relações”, discorre sobre
algumas das descobertas da Epistemologia Genética e suas
implicações pedagógicas, analisando formas de assegurar às
novas gerações o direito de aprender matemática.
Amal Rahif Suleiman e Ricardo Leite Camargo, em
“Lógica, Moral e Educação: que relação é esta?”, estabelecem
relações entre raciocínio moral e organização cognitiva,

a partir da teoria piagetiana e defendem o uso de jogos na
educação com o objetivo de propiciar o desenvolvimento
cognitivo e a conquista da autonomia.
Encerrando as reflexões sobre jogo, educação e
matemática, Orly Zucatto Mantovani de Assis apresenta uma
proposta de trabalho inovadora “Estrutura do Trabalho Diário
nas aulas de Matemática” que já vem sendo aplicada às
diferentes áreas curriculares, propiciando o desenvolvimento
da autonomia cognitiva e moral de crianças e adolescentes.
Abril de 2010
Lia Leme Zaia

Jogar e Aprender Matemática
CONSTRUTIVISMO E APRENDIZAGEM 1
Na educação tradicional é fácil falar em ensinar e
aprender. O professor apresenta o conhecimento aos
estudantes e acredita que estes o aprendem por meio
da internalização de tais informações. E, caso eles não
aprendam, os adultos podem dizer que a responsabilidade é
toda deles, pois não são suficientemente inteligentes.
Pediram-me para escrever sobre o tema “Construtivismo
e Aprendizagem”, notem que apenas o termo aprendizagem
foi mencionado, enquanto ensino não o foi.
Constance Kamii
Professora titular da Faculdade de Educação da
Universidade do Alabama em Birmingham nos EUA e professora
adjunto da Universidade Chugoku Gakuen em Okayama, no
Japão. Pós-doutorado sob coordenação de Jean Piaget no Centro
Internacional de Psicologia Genética e Universidade de Genebra.
1Tradução feita por Marta Rabioglio, em palestra proferida pela
Prof. Dra. Constance Kamii, em 06/04/2010, no Seminário: Jogos e
Educação Matemática, realizada na UNICAMP, pelo LPG/FE.
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Orly Zucatto Mantovani de Assis
As pessoas que me fizeram esta solicitação devem
saber que primeiro devemos entender como os estudantes
aprendem para depois começarmos a falar sobre como
ensinar. Em outras palavras, quem me pediu para escrever
sobre construtivismo e aprendizagem sabe que há uma
grande diferença entre a forma que os construtivistas pensam
sobre como as crianças aprendem e como os educadores
tradicionais o veem. Na educação tradicional e positivista,
acredita-se que o aprendizado parte da internalização de
regras sociais, por meio dos sentidos. Em contrapartida, os
construtivistas acreditam que a aprendizagem se dá a partir
de uma construção interna do sujeito.
O exemplo mais ilustrativo de como acontece esta
construção interna se relaciona à forma como os bebês
aprendem a falar. Na medida em que a maioria dos cidadãos
norte americanos aprendem o inglês e a maioria dos brasileiros
aprende o português, é fácil pensarmos que as crianças
aprendem a língua por um processo de internalização do
meio. Porém, se ouvirmos com atenção as primeiras falas
dos bebês, notaremos que primeiro eles usam apenas uma
palavra para se comunicar, como por exemplo: “bola!”, ao
invés de dizerem “Eu quero a bola.” Depois eles usarão duas
palavras, como por exemplo: “bola dá”. Observem que não
podemos dizer que eles aprenderam esta forma de linguagem
por internalização de regras sociais, já que nenhum adulto
fala desta forma, “bola”, ou “bola dá”. Os bebês ouvem os
adultos ao seu redor diariamente e, no entanto, constroem
a sua primeira linguagem, usando apenas uma e depois
combinando duas palavras.
Por volta dos 6 ou 7 anos, elas cometem outros
erros mais sofisticados, como dizer “Eu fazi.” Esses erros
expressam a construção de regras, criadas por elas, sobre
como devem ser os verbos no passado.
A forma ou o caminho como as crianças aprendem
a falar, por um processo de construção interna, ilustra um
ponto muito importante enfatizado por Jean Piaget: As

Jogar e Aprender Matemática
crianças aprendem na medida em que passam de um nível
de erros mais elementar para outro nível mais elevado. Em
outras palavras, as crianças não aprendem saltando de uma
completa ignorância para o conhecimento perfeitamente
correto. Dizer “Bola dá”, usando apenas duas palavras,
não está certo, porém é menos errado do que dizer apenas
“Bola.”
A compreensão de que a aprendizagem se dá por
um processo de superação de erros de diferentes níveis, é
um ponto importante para os professores que incentivam a
ortografia “inventada”, ou o famoso “escreva do seu jeito”.
Aqueles que têm conhecimento das pesquisas de Emília
Ferreiro, já devem estar familiarizados com as surpreendentes
formas em que as crianças podem escrever quando estão
aprendendo. Professores que acreditam que elas aprendem
por uma sucessão de erros, não as corrigem quando escrevem
“TACSI”, querendo escrever a palavra “TAXI”.
Construtivismo e Aritmética
Passarei agora à discussão de como as crianças
constroem a aritmética. Antes, porém, é necessário tratar
dos três tipos de conhecimento distinguidos por Piaget,
de acordo com suas principais fontes. Se não tivermos
clara esta distinção, é impossível compreendermos como
a criança constrói aritmética, naquilo que difere da forma
como ela constrói a ortografia. Os três tipos de conhecimento
apresentados por Piaget são: conhecimento físico,
conhecimento social-convencional e conhecimento lógico
matemático.
Conhecimento físico é o conhecimento de objetos
como papel, lápis, cadeiras, maçãs e laranjas. Sabermos que
bolinhas de gude rolam, quando soltas no chão, também é um
exemplo deste tipo de conhecimento e a sua fonte primeira
está nos objetos do mundo externo.
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Orly Zucatto Mantovani de Assis
Um exemplo de conhecimento social-convencional
são as línguas, como o português e o inglês. A escrita de
símbolos como “ABC”, “46”, e “XLVI” e feriados como o
natal, também ilustram este tipo de conhecimento, cuja fonte
principal encontra-se nas convenções estabelecidas entre as
pessoas.
Enquanto o conhecimento físico e o social-convencional
têm suas fontes no mundo externo, a fonte principal do
conhecimento lógico matemático é o próprio sujeito. Se por
exemplo, nos apresentarem uma maçã e uma laranja, nós
podemos dizer que elas são diferentes. Nesta situação, a
diferença não é observável porque ela não existe no mundo
externo. A diferença - bem como a semelhança entre dois
objetos - é uma relação mental estabelecida por cada sujeito,
em cada situação. A maçã e a laranja são observáveis
(conhecimento físico), mas a diferença entre elas não o é
(conhecimento lógico matemático).
Cada sujeito pode dizer ainda que a maçã e a laranja
são semelhantes, e isto é tão verdadeiro quanto dizer que elas
são diferentes. Um terceiro exemplo de relação mental que
pode ser estabelecida entre as frutas é a relação numérica,
dois. Cada objeto é observável (conhecimento físico),
porém, os números “um” e “dois” não o são (conhecimento
lógico matemático). A fonte principal de todos os números
subsequentes que cada criança constrói (incluindo o “oito”,
o “dez”, “uma dezena” e “duas dezenas”) é o seu próprio
raciocínio.
Dentre os 3 tipos de conhecimento, o mais difícil de
ser compreendido é o conhecimento lógico matemático, na
medida em que fomos criados em uma tradição empirista.
E de acordo com o empirismo, os seres humanos adquirem
conhecimento internalizando-o por meio dos sentidos. A
teoria de Piaget é fundamentalmente diferente dessa ideia
e fortemente influenciada pelo racionalismo, que coloca a
ênfase no papel da razão. De acordo com Piaget, os conceitos
numéricos só podem ser adquiridos por meio do raciocínio

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de cada sujeito. De acordo com o empirismo, ao contrário,
conceitos numéricos são adquiridos a partir dos objetos do
mundo externo e das pessoas que ensinam as crianças a
contar.
Espero que tenha ficado claro que a ortografia é um
conhecimento social-convencional, portanto não pode ser
inventado pelas crianças. Não há como a criança inventar,
por exemplo, como se escreve a palavra “TAXI”. Portanto, isto
precisa ser ensinado, no sentido de ser transmitido a ela. Ao
contrário, conceitos numéricos podem e devem ser inventados
pelas crianças, por meio de seu próprio raciocínio. Em outras
palavras, não há como um adulto ensinar diretamente estes
conceitos a ela.
Apresentarei a seguir um exemplo que mostra o que
acontece quando a aritmética é ensinada à criança de fora
para dentro, ou ao contrário, ela é encorajada a construir ou
inventar, de dentro para fora. O exemplo diz respeito à adição
de números com dois algarismos. Eu não preciso dizer-lhes
que, comumente as crianças são orientadas a usar a regra do
“vai 1” para responder a uma pergunta como essa:
87
+ 24
Ao contrário, quando são encorajadas a construir
procedimentos a partir de sua maneira própria de pensar, as
crianças universalmente começam a adição pelas grandes
unidades (no caso, as dezenas) para depois somar as
unidades menores. Assim, elas começam fazendo: 80 + 20
= 100, e depois 7 + 4 = 11, que dá 111. 2 Um pesquisador nos
2 Em um vídeo (Kamii, 1989), que está disponível em meu site
(www.constancekamii.org) você pode ver diferentes crianças inventando
procedimentos desse tipo.
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Orly Zucatto Mantovani de Assis
E. U. A. chamado Robert Ashlock (1972, 1976, 1982, 1986,
1990, 1994, 1998, 2002, 2006, 2010) vem, a pelo menos 40
anos, estudando os diferentes tipos de erro cometidos por
crianças que aprendem os algoritmos convencionais a partir
de regras como o “vai 1”. Segue um exemplo de um tipo
de erro encontrado por Ashlock. Será que você consegue
descobrir que regra é esta que a criança construiu a partir da
regra do “vai 1” ensinada por sua professora?
1 4
74 385
+ 43 + 667
18 9116
Este tipo de erro demonstra que a aprendizagem se dá,
não pela internalização de regras arbitrárias, mas por uma
construção interna do sujeito 3 .
Há sim crianças cujo conhecimento lógico matemático
já está desenvolvido o suficiente para compreender a
explicação da regra do “vai 1” pelo professor. Essas crianças
são capazes de construir para si a regra apresentada em
sala de aula. Há, contudo, muitas outras crianças cujo
conhecimento lógico matemático está menos desenvolvido
e os erros que acabei de apresentar, demonstram o grande
esforço que elas fazem para extrair sentido daquilo que o
professor ensinou. Em outras palavras, de acordo com o
construtivismo, as crianças sempre usam o conhecimento
que já construíram para construir o próximo nível. Se elas
já se encontram em um nível elevado de desenvolvimento,
elas conseguem ver sentido nas explicações do professor.
Se ao contrário, estiverem em um nível mais baixo, não verão
3 O que estas crianças fizeram foi inventar uma nova regra, justapondo
uma técnica convencional, que ainda não compreendem, a uma ideia criada
por elas mesmas, de que se deve começar a resolver a operação pela
esquerda, onde se encontram as ordens maiores.

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sentido e procurarão construir a melhor aproximação daquilo
que ouviram. Tanto é verdade que, se perguntarmos a elas
onde aprenderam tais regras, elas nos dirão com convicção:
“Foi meu professor que ensinou”.
Até agora eu tenho discutido a partir do ponto de vista do
construtivismo sobre como as crianças aprendem. No entanto,
se eu digo que as crianças aprendem construindo a aritmética
de dentro para fora, isto não significa que ao professor cabe
cruzar os braços e esperar por essa construção. Ao contrário,
o papel do professor é muito importante, porque quanto
mais as crianças usarem o próprio raciocínio, mais elas
desenvolverão o conhecimento lógico matemático. A questão
que precisa ser respondida agora é: Como os professores
podem encorajar as crianças a raciocinar? Como fazê-las
pensar de forma própria e genuína?
Princípios construtivistas do ensino da aritmética
Há dois princípios básicos que as professoras do vídeo
mencionado anteriormente seguem. São eles:
1. Oferecer problemas que estejam no nível adequado
e encorajar as crianças a inventar suas próprias soluções,
sem mostrar-lhes como fazer.
2. Quando as crianças derem alguma resposta, não
dizer a elas “Está certo” ou “Está errado’, em vez disso,
encorajá-las a trocar pontos de vista com o grupo classe.
Como já dito, as crianças constroem (inventam) novas
formas de resolver problemas, usando o conhecimento que
já construíram. Portanto, é importante que o professor saiba
o que elas já sabem.
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Orly Zucatto Mantovani de Assis
Se o professor sabe, por exemplo, que seus estudantes
já possuem um conhecimento sólido de todas as combinações
que formam o número 10 com duas parcelas (9+1, 8+2,
7+3 etc.), ele pode perguntar: “Qual é um caminho rápido e
fácil para saber quanto é 9 + 6?” A solução que as crianças
geralmente inventam é: 9 + 6 = 10 + 5 = 15.
Se o professor, ao contrário, mostra às crianças como
resolver cada problema, elas se tornam dependentes de suas
instruções. Além disso, não é por imitação do professor que
elas aprendem aritmética. Como vimos, os diferentes tipos
de erro apresentados por Ashlock mostram o resultado de se
forçar as crianças a reproduzir procedimentos que não fazem
o menor sentido para elas.
Na educação tradicional, é papel do professor reforçar
as respostas corretas e corrigir as erradas. Contudo, quando
o professor afirma que uma dada resposta está certa, todo
o raciocínio se paralisa. Se, ao invés disso, ele se voltar à
classe e perguntar: “Todos concordam com o ponto de vista de
fulano?”, as crianças se sentirão ávidas em tentar convencer
os outros de que sua resposta é melhor que qualquer outra.
Da mesma forma, se a turma debater suficientemente, eles
certamente chegarão a um consenso sobre qual é a resposta
correta. (Se isto não acontecer, provavelmente a pergunta foi
difícil demais para a classe.)
O conhecimento lógico matemático se desenvolve
por meio do uso do raciocínio, (pelo engajamento em ações
mentais). A troca de ideias é importante porque, ao tentar
convencer o outro de que seu raciocínio faz sentido, a criança
precisa encontrar argumentos e raciocinar com afinco.
Você, que é professor, deve ter vivido a experiência
de corrigir os mesmos tipos de erro, reiteradas vezes. Isto
prova que a correção, quando realizada de fora para dentro é
inócua. As crianças precisam aprender a se corrigir, a partir de
seu próprio ponto de vista. O debate, que leva ao intercâmbio
de idéias em sala de aula, promove muitas oportunidades

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de cada um rever o seu raciocínio e se corrigir. No vídeo
mencionado por mim anteriormente, você poderá ver uma
criança anunciar à classe: “Eu discordo de mim mesmo!”
Espero ter dado indicações importantes sobre como o
ensino de matemática precisa se transformar, baseado no que
hoje sabemos sobre a forma pela qual a criança aprende.
Referências
ASHLOCK, Robert B. Error Patterns in Computation.
Boston: Allyn & Bacon, 2010, 2006, 2002, 1998, 1994, 1990,
1986,1982, 1976, 1972.
KAMII, Constance. Adição de números com dois
algarismos: professoras usando a teoria de Piaget (video).
New York: Teachers College Press, 1989. (disponível em inglês
no site: www.constancekamii.org)
_____ Desvandando a Aritmética. Campinas, SP:
Papirus Editora, 1995. (sobre a 3ª série – 4º ano do EF de 9 anos)
_____ Crianças Pequenas Reinventam a Aritmética. 2ª
ed. Porto Alegre: Artmed Editora, 2002. ( sobre a 1ª série – 2º
ano do EF de 9 anos)
_____ Crianças Pequenas Continuam Reinventando
a Aritmética. Porto Alegre: Artmed Editora, 2005. (sobre a 2ª
série – 3º ano do EF de 9 anos)
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