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Resolução das atividades complementares<br />
Matemática<br />
M11 — Noções de Matemática Financeira<br />
p. 7<br />
1 Uma loja realizará uma promoção no sábado, vendendo qualquer produto com 8% de desconto.<br />
Determine o preço de promoção p(x) de um produto em função do preço x desse produto. p(x) 0,92x<br />
Resolução:<br />
Se x é o preço do produto, temos:<br />
p(x) 5 x 2 0,08x 5 (1 2 0,08)x 5 0,92x<br />
p(x) 5 0,92x<br />
4<br />
2 Um corretor de imóveis cobra uma comissão de 5% do valor de cada imóvel vendido. Se ele vendeu<br />
uma casa por R$ 119 700,00, quanto recebeu de comissão?<br />
Resolução:<br />
5% de 119 700,00 5 5<br />
R$ 5 985,00<br />
? 119 700 5 5 985,00<br />
100<br />
Portanto, o corretor recebeu R$ 5 985,00 de comissão.<br />
3 Pedro, que recebia R$ 1 500,00, teve um reajuste de 8% no mês de março. Em setembro ele<br />
conseguiu uma promoção e seu salário aumentou 12%. Qual é o novo salário de Pedro? R$ 1 8<strong>14</strong>,40<br />
Resolução:<br />
8% de reajuste 5 1 500 1 1 500 ? 0,08 5 1 500 ? (1 1 0,08) 5 1 620,00<br />
12% de aumento (promoção) 5 1 620 ? (1 1 0,12) 5 1 8<strong>14</strong>,40<br />
Portanto, o novo salário é R$ 1 8<strong>14</strong>,40.<br />
4 Se o raio de um círculo aumentar em 10%, de quanto aumentará sua área? 21%<br />
Resolução:<br />
S 5 πr2 nova área 5 π ? (r 1 0,1 ? r) 2 5 π ? (1,1 ? r) 2 5 π ? 1,21 ? r2 Ou seja, a área aumentará 21%.<br />
5 Um lojista vendeu um casaco por R$ <strong>14</strong>4,00. No final do dia ele percebeu que errara o preço e tivera<br />
um prejuízo de 10%. Por quanto o lojista comprara esse casaco? R$ 160,00<br />
Resolução:<br />
R$ <strong>14</strong>4,00 é o preço do casaco com prejuízo de 10%, portanto:<br />
x ? (1 2 0,10) 5 <strong>14</strong>4 → 0,90x 5 <strong>14</strong>4 → x 5 160<br />
O lojista comprara o casaco por R$ 160,00.
6 Um comerciante investiu R$ 36 000,00 na compra de dois carros de marcas A e B. Ele vendeu o<br />
carro de marca A com um lucro de 10%, mas na venda do outro carro ele teve um prejuízo de 5%. Nas duas<br />
vendas juntas ele obteve um lucro de R$ 1 200,00. Quanto ele pagou e por quanto ele vendeu o carro de<br />
marca A? Pagou R$ 20 000,00 e vendeu por R$ 22 000,00.<br />
Resolução:<br />
investimento: R$ 36 000,00; lucro: R$ 1 200,00 → total R$ 37 200,00<br />
Sejam x o valor da compra de A e y o valor da compra de B.<br />
x 1 y 5 36 000<br />
venda de A → lucro → x ? (1 1 0,1) → 1,1x<br />
venda de B → prejuízo → y ? (1 2 0,05) → 0,95y<br />
1,1x 1 0,95y 5 37 200<br />
⎧x<br />
1 y 5 36 000 → y 5 36 000 2 x ( I)<br />
Com os dados, temos o sistema ⎨<br />
⎩1,1x<br />
1 0,95y 5 37 200 (II)<br />
Substituindo (I) em (II), temos: 1,1x 1 0,95 ? (36 000 2 x) 5 37 200 → x 5 20 000,00.<br />
O valor pago por A foi R$ 20 000,00.<br />
valor vendido 5 20 000 ? (1 1 0,1) 5 R$ 22 000,00<br />
7 Os icebergs, blocos de gelo que se desprendem das geleiras polares, são formados quase totalmente<br />
por gelo. Suponha que o ar, a matéria orgânica e outras substâncias componham 2% de seu volume.<br />
Sabendo que a parte não submersa de um iceberg corresponde a 1 de seu volume e que um iceberg nas<br />
9<br />
proximidades da Groenlândia tinha sua parte submersa com um volume calculado em 1 560 000 m3 , qual o<br />
volume de gelo puro desse iceberg? 1 719 900 m3 Resolução:<br />
Se 1<br />
é a parte não submersa, então<br />
8<br />
é a parte submersa.<br />
9 9<br />
8<br />
1 560 000 m 195 000 e<br />
9<br />
9<br />
3<br />
5 → 5 5<br />
9<br />
1<br />
3<br />
1 755 000 m<br />
9<br />
2<br />
3<br />
2% de impureza 5 ? 1 755 000 5 35 100 m<br />
100<br />
Então, o volume de gelo puro é: 1 755 000 2 35 100 5 1 719 900 m3 .<br />
8 Durante certo período os salários dos professores de uma escola subiram 30%. Nesse mesmo período<br />
os preços subiram em média 82%. Para que os professores recebessem um salário com o mesmo poder de<br />
compra do início desse período, quantos por cento de aumento eles deveriam ter? 40%<br />
Resolução:<br />
Sejam P<br />
o poder de compra inicial e a a taxa<br />
de aumento desejável.<br />
S<br />
P P 1 0,82P 1,82P<br />
5<br />
5 → a 5 1,40<br />
S a( S 1 0,3S)<br />
a(1,3S)<br />
Ou seja, os professores deveriam ter um aumento de 40%.<br />
9 Necessitando vender suas mercadorias o mais rápido possível, uma loja faz uma promoção,<br />
reduzindo os preços em 20% durante 10 dias. Ao final desse período apresenta uma nova promoção,<br />
reduzindo os novos preços em 30%. Qual é o desconto dessa nova promoção em relação aos preços<br />
anteriores à primeira promoção? 44%<br />
Resolução:<br />
primeira promoção: x ? (1 2 0,20) 5 x ? 0,80<br />
segunda promoção: (x ? 0,80) ? (1 2 0,30) 5 x ? 0,80 ? 0,70 5 x ? 0,56<br />
desconto total 5 x ? (1 2 0,56) 5 x ? 0,44 5 44%
10 Um televisor no valor de R$ 1 020,00 foi vendido para ser pago em duas vezes: uma entrada no ato da<br />
compra e uma prestação a ser paga um mês depois, com 4% de acréscimo. Os dois pagamentos, entrada e<br />
prestação, têm valores iguais. Qual é esse valor? R$ 520,20<br />
Resolução:<br />
1 020<br />
primeira prestação 5 5 510<br />
2<br />
segunda prestação 5 510 ? (1 1 0,04) 5 1,04 ? 510 5 530,40<br />
p. 9<br />
510 1 530,40<br />
Como as duas prestações são iguais, então: P 5<br />
→ P 5 R$ 520,20.<br />
2<br />
11 Uma geladeira cujo preço é R$ 1 050,00 foi comprada pagando‑se R$ 240,00 de entrada e o restante<br />
em 12 prestações mensais iguais, com juro simples de 4% a.m. Qual o valor de cada prestação? R$ 99,90<br />
Resolução:<br />
Como a entrada foi R$ 240,00, então o valor da dívida é 1 050 2 240 5 R$ 810,00.<br />
j 5 Ci<br />
i 5 0,04 a.m. → em 12 meses, i 5 0,48<br />
j 5 810 ? 0,48 5 388,80<br />
M 5 C 1 j 5 810 1 388,80 5 1 198,80<br />
Como a geladeira será paga em 12 prestações iguais, temos:<br />
1198, 80<br />
x 5 5 99,90<br />
12<br />
Portanto, cada prestação terá o valor de R$ 99,90.<br />
12 Um capital de R$ 100 000,00 foi aplicado a uma taxa de juro simples de 2,5% a.m. Quanto tempo ele<br />
deve ficar aplicado para render juro de R$ 7 500,00? 3 meses<br />
Resolução:<br />
j 5 Ci<br />
j 5 7 500<br />
C 5 100 000<br />
i 5 0,025 a.m.<br />
t 5 x meses<br />
7 500 5 100 000 ? 0,025 ? x → x 5 3<br />
Ou seja, o capital deve ficar aplicado por 3 meses.<br />
13 Um capital de R$ 16 000,00 foi aplicado durante 6 meses, resultando em um montante de<br />
R$ 17 200,00. Qual foi a taxa mensal de juro simples dessa aplicação? 1,25%<br />
Resolução:<br />
C 5 16 000<br />
t 5 6 meses<br />
M 5 17 200<br />
M 5 C 1 j<br />
17 200 5 16 000 1 j → j 5 1 200<br />
j 5 Ci<br />
1 200 5 16 000 ? i → i 5 0,<strong>07</strong>5 → 7,5% em 6 meses<br />
7,5<br />
i 5 5 1,25% a.m.<br />
6
<strong>14</strong> Uma dívida de R$ 2 500,00 foi paga com 3 meses e 15 dias de atraso. O contrato dessa dívida previa<br />
juro simples de 5% a.m., em caso de atraso. Qual foi o valor pago? R$ 2 937,50<br />
Resolução:<br />
C 5 2 500<br />
t 5 3,5 meses<br />
i 5 5% a.m.<br />
J 5 Ci<br />
J 5 2 500 ? 0,05 ? 3,5 5 437,5<br />
M 5 C 1 j 5 2 500 1 437,5 5 2 937,50<br />
O valor pago foi R$ 2 937,50.<br />
15 Um capital de R$ 40 000,00 foi aplicado a uma taxa anual de 11% em regime de juro simples. Em<br />
quanto tempo ele produzirá juro de R$ 2 200,00? 6 meses<br />
Resolução:<br />
C 5 40 000<br />
0,11<br />
i 5 11% a.a. 5 % a.m.<br />
12<br />
J 5 2 200<br />
t 5 x meses<br />
J 5 Ci<br />
0,11<br />
2 200 5 40 000 ? t → t 5 6 meses<br />
12<br />
16 Otávio comprou um automóvel no valor de R$ 24 000,00 pagando R$ 8 000,00 de entrada mais<br />
R$ 18 000,00 dois meses depois. Qual foi a taxa, a juro simples, cobrada de Otávio? 6,25% a.m.<br />
Resolução:<br />
valor de compra 5 24 000<br />
entrada 5 8 000<br />
restante 5 C 5 160 000<br />
dois meses depois 5 18 000<br />
J 5 18 000 2 16 000 5 2 000<br />
J 5 Ci<br />
2 000 5 16 000 ? i ? 2<br />
i 5 0,0625 → i 5 6,25% a.m.<br />
p. <strong>14</strong><br />
17 Se eu aplicar R$ 3 000,00 em um investimento que rende 2% a.m. de juro composto, quanto terei ao<br />
fim de 3 meses? R$ 3 183,62<br />
Resolução:<br />
C 5 3 000<br />
i 5 2% 5 0,02 a.m.<br />
t 5 3 meses<br />
M 5 C ? (1 1 i) t<br />
M 5 3 000 ? (1 1 0,02) 3 5 3 000 ? (1,02) 3 5 3 183,62<br />
Ao final de 3 meses, o montante será R$ 3 183,62.
18 Odete aplicou R$ 50 000,00 em um fundo de investimentos que rendia 3% a.m. de juro composto.<br />
Após 10 meses, resgatou seu investimento. Qual foi o juro recebido? (Dado: 1,035 5 1,16; use aproximações<br />
com duas casas decimais.) R$ 17 280,00<br />
Resolução:<br />
C 5 50 000<br />
i 5 3% 5 0,03 a.m.<br />
t 5 10 meses<br />
M 5 C ? (1 1 0,03) 10 5 50 000 ? (1,03) 10 5 50 000 ? (1,035 ) 2 5 50 000 ? (1,16) 2 → M 5 67 280,00<br />
J 5 M 2 C 5 67 280 2 50 000 5 17 280<br />
O juro recebido foi R$ 17 280,00.<br />
19 Em uma época de inflação alta o salário desvalorizava 10% todo mês. Se uma pessoa guardasse um<br />
valor equivalente a R$ 100,00, em casa, quanto valeria esse montante depois de 5 meses?<br />
Resolução:<br />
M 5 100<br />
i 5 10% 5 0,1 a.m.<br />
t 5 5 meses<br />
M 5 C ? (1 1 i) t → 100 5 C ? (1 1 0,1) 5 → 100 5 C ? (1,1) 5 R$ 62,09<br />
→ C 5<br />
100<br />
5 62,09<br />
1,6105<br />
Depois de 5 meses, o montante valeria R$ 62,09.<br />
20 Uma pessoa fez uma aplicação à taxa de 2% a.m. e resgatou‑a 6 meses depois, recebendo<br />
R$ 16 000,00. Quanto ela havia aplicado? R$ <strong>14</strong> 2<strong>07</strong>,54<br />
Resolução:<br />
M 5 16 000<br />
i 5 2% 5 0,02 a.m.<br />
t 5 6 meses<br />
M 5 C ? (1 1 i) t → 16 000 5 C ? (1,02) 6 → C 5 <strong>14</strong> 2<strong>07</strong>,54<br />
A aplicação inicial era R$ <strong>14</strong> 2<strong>07</strong>,54.<br />
21 Um empresário fez um empréstimo de R$ 20 000,00 à taxa anual de 20% de juro composto. Após um<br />
ano, pagou R$ 8 000,00, e, após o segundo ano, quitou a dívida. Qual foi o valor desse segundo pagamento?<br />
Resolução:<br />
R$ 19 200,00<br />
Pelos dados, temos:<br />
empréstimo 5 20 000<br />
i 5 20% 5 0,2 a.a.<br />
8 000<br />
primeiro pagamento 5<br />
1 1 0,2 (após 1o ano)<br />
segundo pagamento 5<br />
x<br />
(1 0,2) 2 (após 2<br />
1<br />
o ano)<br />
8 000<br />
20 000 5 1<br />
x<br />
2<br />
1 1 0,2 (1 1 0,2)<br />
20 000 ? 1,44 5 9 600 1 x → x 5 19 200<br />
Ou seja, o valor do segundo pagamento foi R$ 19 200,00.
22 Um capital de R$ 15 000,00 foi aplicado a uma taxa anual de 8%. Quantos anos, no mínimo, ele<br />
deverá ficar aplicado para que o aplicador resgate o dobro do que aplicou? 10 anos<br />
Resolução:<br />
C 5 15 000<br />
i 5 8% 5 0,08 a.a.<br />
M 5 30 000<br />
M 5 C ? (1 1 i) t<br />
30 000 5 15 000 ? (1 1 0,08) t<br />
2 5 1,08t → log 2 5 log 1,08t → log 2 5 t log 1,08 → 0,3010 5 0,0334 ? t<br />
t 5 9,01<br />
Portanto, mínimo de 10 anos.<br />
23 Uma televisão pode ser comprada à vista por R$ 600,00 ou com uma entrada de R$ 150,00 mais um<br />
pagamento, dois meses após a compra, de R$ 544,50. Determine a taxa de juro composto cobrada. 10%<br />
Resolução:<br />
valor de compra 5 600<br />
entrada 5 150<br />
544,50<br />
restante 5 2<br />
(1 1 i)<br />
(após 2 anos)<br />
544,<br />
50<br />
600 5 150 1<br />
2<br />
( 1 1 i) 544, 50<br />
→ 450 5 2<br />
(1 1 i)<br />
2<br />
→ (1 1 i)<br />
5 1,21 → 1 1 i 5 1,1 → i 5 0,1 5 10%<br />
24 Uma loja vende um liquidificador, cujo preço à vista é R$ 122,00, em 3 parcelas mensais de R$ 50,00,<br />
sendo a primeira delas no ato da compra. Qual é a taxa de juro composto cobrada por essa loja? 25%<br />
Resolução:<br />
valor de compra 5 122<br />
entrada 5 50<br />
primeira parcela 5 50<br />
1 1 i (após 1o mês)<br />
50<br />
segunda parcela 5<br />
2<br />
(1 1 i) (após 2o mês)<br />
122 5 50 1<br />
50<br />
1<br />
50<br />
72 ? (1 1 ) 2 50 ? 1 1 2 50<br />
2<br />
1 1 1 1<br />
2<br />
→ i ( i)<br />
5 0 →<br />
i ( i)<br />
i <br />
188<br />
ou<br />
50 2 500 <strong>14</strong> 400 <strong>14</strong>4<br />
1 i <br />
<strong>14</strong>4<br />
i <br />
80<br />
(não convém)<br />
<strong>14</strong>4<br />
i 5 0,25 5 25%
25 Por quantos meses, no mínimo, deve‑se aplicar a quantia de R$ 15 000,00, a juro composto de<br />
8% ao semestre, capitalizada ao final de cada semestre, para obter R$ 21 600,00? (Dados: log 2 5 0,301 e<br />
log 3 5 0,477.) 30 meses<br />
Resolução:<br />
M 5 C ? (1 1 i) t<br />
21 600 5 15 000 ? (1 1 0,08) t → 1,44 5 (1,08) t → log 1,44 5 t ? log 1,08<br />
0,15836 5 t ? 0,0342 → t 5 4,73 5 5 semestres 5 30 meses<br />
26 Júlia comprou uma televisão cujo preço à vista era R$ 350,00. Como não dispunha de todo o<br />
dinheiro, deu R$ 100,00 de entrada no momento da compra e parcelou o restante em 3 prestações mensais<br />
iguais com juro de 2% a.m. Qual foi o valor de cada prestação?<br />
Resolução:<br />
valor de compra 5 350<br />
entrada 5 100<br />
primeira prestação 5 x<br />
1,02 (após 1o R$ 86,60<br />
mês)<br />
x<br />
segunda prestação 5<br />
terceira prestação 5<br />
1,02 2 (após 2 o mês)<br />
x<br />
1,02 3 (após 3 o mês)<br />
350<br />
1,02 1,02 3<br />
5 100 1 1 1<br />
1 02 2<br />
x x x<br />
,<br />
250 ? 1,023 5 x ? 1,022 1 x ? 1,02 1 x<br />
265,30 5 3,0604 ? x → x 5 86,60<br />
O valor de cada prestação foi R$ 86,60.