Computaįão Quântica para leigos - USP
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Computação <strong>Quântica</strong> <strong>para</strong> <strong>leigos</strong><br />
Ana Basalo e William Gnann<br />
IME-<strong>USP</strong><br />
3 de dezembro de 2010<br />
Ana Basalo e William Gnann (IME-<strong>USP</strong>) Computação <strong>Quântica</strong> <strong>para</strong> <strong>leigos</strong> 3 de dezembro de 2010 1 / 42
1 Introdução<br />
2 Quantum bit<br />
3 Propriedades quânticas<br />
4 Evolução<br />
5 Propriedades desejáveis <strong>para</strong> implementação<br />
6 Implementações<br />
7 Implementações plenamente funcionais!<br />
8 Algoritmos Quânticos<br />
9 Algoritmo de Deutsch<br />
10 Algoritmo de Shor<br />
11 Aplicações e possibilidades da Computação <strong>Quântica</strong><br />
12 Companhias que atuam com Computação <strong>Quântica</strong><br />
13 Correção de erros<br />
14 Conclusões<br />
15 Dúvidas<br />
Ana Basalo e William Gnann (IME-<strong>USP</strong>) Computação <strong>Quântica</strong> <strong>para</strong> <strong>leigos</strong> 3 de dezembro de 2010 2 / 42
História?<br />
Tudo começou com...<br />
Não conseguimos simular sistemas quânticos! E agora?<br />
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Quantum bit ou qubit<br />
qubit<br />
O qubit é um sistema quântico de dois estados.<br />
|ψ〉 = α |0〉 + β |1〉<br />
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qubit<br />
Wikipedia CACM, Kenn Brown e Chris Wren / Mondolithic Studios<br />
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it x qubit<br />
qudit<br />
Propriedade bit qubit<br />
Tipo número vetor<br />
Gasto n 2 n<br />
Natureza determinística probabilística<br />
Quântico não sim<br />
Não há, de fato, uma necessidade de representarmos sistemas quânticos<br />
usando o qubit. Podemos ter estruturas básicas com mais estados como o<br />
qudit.<br />
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Sobreposição<br />
Sobreposição<br />
A sobreposição é a capacidade do sistema quântico estar em mais de um<br />
estado de uma vez.<br />
|0〉 + |1〉<br />
O sistema está em |0〉 e em |1〉 simultaneamente.<br />
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Gato de Schrödinger<br />
Wikipedia<br />
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Emaranhamento<br />
Emaranhamento<br />
Existem sistemas quânticos com estados estritamente ligados entre si de tal<br />
forma que a ‘informação’ contida em um é exatamente a mesma do outro.<br />
Propriedade<br />
Funciona como um “se, e somente se”.<br />
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Emaranhamento<br />
Aplicações<br />
Algumas aplicações do emaranhamento são:<br />
‘Teletransporte quântico’;<br />
‘Codificação super densa’;<br />
‘Criptografia’.<br />
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Interferência<br />
Interferência<br />
Interferência é a capacidade de um estado quântico influenciar o outro.<br />
Contra-intuitiva;<br />
Pode ser construtiva ou destrutiva.<br />
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Observação<br />
Observação<br />
A observação é a ação de verificar a situação de um sistema quântico.<br />
Colapso<br />
Quando observamos um sistema quântico, ele colapsa <strong>para</strong> um estado<br />
observável, destruindo a sobreposição.<br />
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Observação mais de perto<br />
Observação<br />
Ao observarmos o qubit<br />
|ψ〉 = α |0〉 + β |1〉<br />
Obteremos |0〉 com probabilidade |α| 2 ou |1〉 com probabilidade |β| 2 .<br />
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Reversibilidade<br />
Reversibilidade<br />
Toda estrutura de controle dos qubits, exceto pela observação, deve ser<br />
reversível - diferentemente das portas lógicas clássicas.<br />
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Reversibilidade<br />
As portas lógicas quânticas são:<br />
Equivalentes a transformações lineares unitárias;<br />
Utilizadas <strong>para</strong> podermos ‘observar’ a informação desejada;<br />
Manipulam o sistema quântico assim como as portas lógicas clássicas.<br />
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Decoerência<br />
Decoerência<br />
Depois de um tempo, o qubit perde a informação.<br />
Problema<br />
Terminar depois do tempo de coerência não é legal.<br />
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Evolução<br />
Atualmente<br />
Devemos ter cerca de 10qubit, mas há empresa que alega 50!<br />
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Critério de DiVincenzo<br />
Qubits bem definidos e escaláveis;<br />
Longo tempo de coerência;<br />
Conjunto universal de portas;<br />
Observação eficiente;<br />
Inicialização.<br />
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Implementações<br />
Armadilhas de íons;<br />
Óptica linear;<br />
Supercondutores;<br />
Híbridos;<br />
“Adiabático”;<br />
Outros.<br />
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Implementações plenamente funcionais!<br />
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Algoritmos Quânticos<br />
Algoritmos clássicos x Algoritmos quânticos<br />
Qualquer problema que pode ser resolvido por um computador<br />
quântico pode ser resolvido por um computador clássico e vice-versa.<br />
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Algoritmos Quânticos<br />
Tese de Church-Turing<br />
Portanto, um computador quântico não fere a Tese de Church-Turing que<br />
diz:<br />
Toda função que seria naturalmente computável pode ser computada por<br />
uma Máquina de Turing.<br />
O grande interesse nos algoritmos quânticos vem, portanto, do fato<br />
de que eles podem resolver alguns problemas mais rapidamente que<br />
os algoritmos clássicos.<br />
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Algoritmo de Deutsch<br />
O primeiro algoritmo quântico foi descrito por David Deutsch em<br />
1989.<br />
O Problema de Deutsch<br />
O problema que o algoritmo de Deutsch resolve consiste em, dada uma<br />
caixa preta (um circuito) que devolve os resultados da aplicação de uma<br />
função f : {0, 1} → {0, 1}, determinar f (0) ⊕ f (1).<br />
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Algoritmo de Deutsch<br />
Do ponto de vista clássico, precisaríamos fazer duas consultas à caixa<br />
preta <strong>para</strong> determinar f (0) ⊕ f (1).<br />
O algoritmo quântico proposto por Deutsch faz apenas uma consulta.<br />
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Algoritmo de Deutsch<br />
Transformamos o circuito caixa preta que calcula f num circuito<br />
quântico.<br />
Tal circuito quântico pode ser representado por<br />
Uf : |x〉|y〉 ↦→ |x〉|y ⊕ f (x)〉<br />
Se mantivermos o segundo qubit no estado |y〉 = |0〉 e o primeiro bit<br />
em |x〉 = |0〉, obteremos |0 ⊕ f (0)〉 = |f (0)〉.<br />
Analogamente <strong>para</strong> |x〉 = |1〉, |y〉 = |0〉, obteremos |f (1)〉.<br />
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Algoritmo de Deutsch<br />
Poderíamos, no entanto, fornecer entradas tais que os qubits fossem<br />
uma sobreposição de |0〉 e |1〉: ainda mantendo o segundo qubit da<br />
entrada no estado |y〉 = |0〉, colocamos o primeiro qubit no estado<br />
1<br />
√ |0〉 +<br />
2 1<br />
√ |1〉<br />
2<br />
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Algoritmo de Deutsch<br />
Entrada<br />
A entrada <strong>para</strong> Uf : |x〉|y〉 ↦→ |x〉|y ⊕ f (x)〉 seria então<br />
Saída<br />
Na saída de Uf , teríamos o estado<br />
( 1<br />
√ 2 |0〉 + 1<br />
√ 2 |1〉)|0〉<br />
= 1<br />
√ 2 |0〉|0〉 + 1<br />
√ 2 |1〉|0〉<br />
Uf ( 1<br />
√ 2 |0〉|0〉 + 1<br />
√ 2 |1〉|0〉) = 1<br />
√ 2 Uf |0〉|0〉 + 1<br />
√ 2 Uf |1〉|0〉<br />
= 1<br />
√ 2 |0〉|0 ⊕ f (0)〉 + 1<br />
√ 2 |1〉|0 ⊕ f (1)〉 = 1<br />
√ 2 |0〉|f (0)〉 + 1<br />
√ 2 |1〉|f (1)〉<br />
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Algoritmo de Deutsch<br />
Note, pela saída obtida 1<br />
√ 2 |0〉|f (0)〉 + 1<br />
√ 2 |1〉|f (1)〉, que, de certa forma,<br />
calculamos os valores de f (0) e de f (1) simultaneamente num único<br />
passo.<br />
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Algoritmo de Shor<br />
Foi publicado em 1994 por Peter Shor.<br />
É o algoritmo quântico mais conhecido, pois resolve um problema<br />
intratável do ponto de vista clássico em tempo polinomial.<br />
Decomposição em fatores primos<br />
O algoritmo de Shor resolve o seguinte problema: dado um inteiro positivo<br />
N, achar os fatores primos de N.<br />
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Algoritmo de Shor<br />
Algoritmo Shor(n)<br />
1 escolha um inteiro 1 < x < n aleatoriamente<br />
2 se mdc(x, n) > 1<br />
3 então devolva mdc(x, n)<br />
4 seja r o período da função f (a) := x a mod n<br />
5 se r for ímpar ou x r<br />
2 ≡ −1 (mod n)<br />
6 então o procedimento falhou<br />
7 devolva mdc(x r<br />
2 + 1, n)<br />
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Algoritmo de Shor<br />
Algoritmo Shor(15)<br />
1 escolha um inteiro 1 < x < n aleatoriamente<br />
Escolhemos 7.<br />
2 se mdc(x, n) > 1 ...<br />
mdc(7, 15) = 1.<br />
3 seja r o período da função f (a) := x a mod n<br />
O período de f é r = 4 (f (x) assume os valores 1, 7, 4, 13, 1, 7, 4, . . .<br />
quando x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . respectivamente).<br />
4 se r for ímpar ou x r<br />
2 ≡ −1 (mod n)...<br />
r = 4 é par e 72 ≡ 4 (mod 15).<br />
5 devolva mdc(x r<br />
2 + 1, n)<br />
mdc(50 = 7 4<br />
2 + 1, 15) = 5.<br />
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Criptografia<br />
Criptografia moderna - incluindo o RSA - e vários mecanismos de<br />
segurança na Internet são baseados em dois fatos: é fácil achar<br />
números primos com muitos dígitos num tempo razoável e é difícil<br />
achar os fatores primos de um número num tempo viável.<br />
A implementação do algoritmo de Shor comprometeria vários<br />
sistemas de criptografia de chave pública.<br />
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Criptografia <strong>Quântica</strong><br />
Criptografia <strong>Quântica</strong> refere-se tanto ao uso de criptografia clássica<br />
como proteção a “ataques quânticos”, como ao uso de efeitos da<br />
mecânica quântica <strong>para</strong> quebrar ou implementar sistemas<br />
criptográficos.<br />
Sistemas criptográficos quânticos<br />
Permitem a detecção de intrusos<br />
Sua segurança não depende do poder computacional do intruso<br />
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Sistemas criptográficos quânticos<br />
Utilizados <strong>para</strong> produzir e distribuir as chaves, não <strong>para</strong> transmitir a<br />
mensagem.<br />
One-time pad<br />
É um algoritmo comumente associado com criptografia quântica.<br />
Combina-se o texto com uma chave aleatória - pad - de mesmo<br />
comprimento do texto.<br />
Se seu uso atender certas exigências, é considerado totalmente seguro.<br />
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Speedup de algoritmos clássicos<br />
O termo speedup refere-se ao quanto um algoritmo quântico é mais<br />
rápido que um algoritmo clássico <strong>para</strong> o mesmo problema.<br />
Algoritmo de Grover: algoritmo de busca em dados não ordenados.<br />
Buscar um item numa lista com N itens está em O(N 1<br />
2 ) (tempo). Os<br />
algoritmos clássicos estão em O(N) (tempo linear).<br />
Algoritmo de Shor: com entrada N inteiro positivo, o algoritmo está<br />
em O((log N) 3 ) (tempo). Os algoritmos clássicos estão em<br />
O(e (log N) 1 3 (log log N) 2 3 ).<br />
Ana Basalo e William Gnann (IME-<strong>USP</strong>) Computação <strong>Quântica</strong> <strong>para</strong> <strong>leigos</strong> 3 de dezembro de 2010 35 / 42
Simulação de sistemas quânticos<br />
Sistemas quânticos não podem ser simulados de maneira eficiente em<br />
computadores clássicos.<br />
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Outras aplicações<br />
Geração de números aleatórios<br />
Aprendizagem computacional<br />
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Companhias que atuam com Computação <strong>Quântica</strong><br />
Ana Basalo e William Gnann (IME-<strong>USP</strong>) Computação <strong>Quântica</strong> <strong>para</strong> <strong>leigos</strong> 3 de dezembro de 2010 38 / 42
Correção de erros<br />
Qualquer dispositivo físico que implementa um modelo computacional<br />
é imperfeito e limitado, devido à suscetibilidade de seus componentes<br />
à ação do ambiente.<br />
Ruídos causam mal funcionamento dos componentes, geram erros e<br />
resultados inválidos. Portanto, seja na computação clássica ou na<br />
quântica, é necessário implementar algum mecanismo de detecção e<br />
correção de erros.<br />
Ana Basalo e William Gnann (IME-<strong>USP</strong>) Computação <strong>Quântica</strong> <strong>para</strong> <strong>leigos</strong> 3 de dezembro de 2010 39 / 42
Correção de erros<br />
Computadores quânticos são mais suscetíveis a erros que os clássicos,<br />
porque sistemas quânticos são mais delicados e difíceis de controlar.<br />
Prova-se que é possível corrigir erros em computadores quânticos com<br />
um overhead polinomial.<br />
Ana Basalo e William Gnann (IME-<strong>USP</strong>) Computação <strong>Quântica</strong> <strong>para</strong> <strong>leigos</strong> 3 de dezembro de 2010 40 / 42
Conclusões<br />
A Computação <strong>Quântica</strong> constitui um novo <strong>para</strong>digma de<br />
Computação.<br />
Introduz a Complexidade <strong>Quântica</strong>, diferente da Complexidade<br />
Clássica: problemas considerados intratáveis pela Computação<br />
Clássica podem ser resolvidos pela <strong>Quântica</strong> em tempo polinomial.<br />
Existe muita pesquisa na área, muitas universidades e companhias<br />
envolvidas. Embora os resultados sejam modestos, estão ocorrendo<br />
avanços.<br />
Ana Basalo e William Gnann (IME-<strong>USP</strong>) Computação <strong>Quântica</strong> <strong>para</strong> <strong>leigos</strong> 3 de dezembro de 2010 41 / 42
Dúvidas<br />
“No, you’re not going to be able to understand it. You see, my physics<br />
students don’t understand it either. That is because I don’t understand it.<br />
Nobody does. The theory of quantum electrodynamics describes Nature as<br />
absurd from the point of view of common sense. And it agrees fully with<br />
experiment. So I hope you can accept Nature as She is absurd.”<br />
Richard Feynman<br />
Ana Basalo e William Gnann (IME-<strong>USP</strong>) Computação <strong>Quântica</strong> <strong>para</strong> <strong>leigos</strong> 3 de dezembro de 2010 42 / 42