4 - Engenharia Naval e Oceânica

Aprovada por
TO DE UM NAVIO EN ONDAS LOXGITUDINAIS"
RIO DE JANEIRO
ESTADO DA GUANABARA - BRASIL
JUNRO 1971

Po Prof. Dnitri M. Rostovtsev, pela
valiosa orientação, incentivo e pelo
desenvolvinnento dado ao Programa de
Ehgenharia Naval da CDPPE;
Ao Pmf. ~oão Luiz H. Selasco, pelo
apoio e incentivo constantes;
A COPPE que E wrmitiu desenvolver
&te trabalho;
Aos colegas do N.C.E. e aos colegas
Ney Santos, ~uiz ~aurício Por-
tella e Tiago Piedras pela calabora -
ção nos c5lculos n&rlcos ;
A EMAQ §/A que cm sua ajuda tomou
possfvel EU estudo na COPPE.

Com um desenvolvimento puramente hidrodinâmico, estudamos
os movimentos acoplados de arfagem e afundamento e o momento fletor
de onda, para um modêlo da série 69, encontrando em seu avanço um
sistema de ondas 1 ongitudinai S.
Para a solução do problema de potencial de velocidades,
devemos resolver um problema tridimensional.
*
Da dificuldade de soluçao deste, e com a finalidade de c02
siderarmos aproximadamente a terceira dimensao, introduzimos uma for-
- -4 .,
mulação em que a interaçao das seçoes é levada em conta pela variaçao
da boca ao longo do comprimento do navio.
Calculamos as amplitudes dos movimentos e do momento fle-
tor de onda utilizando para cálculo do coeficiente de amortecimento
.,
ora o método de Grim ora uma distribuiçao dada por Gerritsma.
.,
Para comparaçao dos resultados utilizamos o método de Kor-
vin-Kroukowsky e alguns resultados experiment ai S.
w

ABSTRACT
iii
This work concerns the study of the coupled motions of pit -
ching and heaving together with the wave bending moment of a serie-
60 ship model, which meets a train of longitudinal waves.
The problem of velocity potencial is in three dimensions ,
whose difficult solutions led to a simplified formulation. This t2
kes into account the interaction between adjoining sections with
the rate of change of the breadth to the length of the ship.
The amplitudes of the two motions and the wave bending mo-
ment were calculated making use of either Grim's method or a Gerrits -
ma's damping coefficient distribution to work out the damping coef-
ficient .
The final results are compared with Korvin-I

I N D I C E
.
I. Introduçao ...................................... 1
11. ~olocação do Problema
11.1 Força atuando sobre um navio em movimento.. 5
11.2 Estudo de um navio em ondas longitudinais.
Movimento de arfagem e afundamento
1. ~i~óteses .............................. 21
2. Forças atuando sobre o navio
a) ~Ôrças devido ao movimento osci-
latório em águas tranquilas ......... 25
b) ~Ôrças devido ao movimento das
ondas do mar ........................ 40
c) Forças devido difração das ondas... 44
d) ~Ôr~as devido ao potencial OSt....... 55
e) Forças hidrostática e de inércia
do navio devido ao movimento osci-
latório ............................. 60
f) Carregamento total atuando sobre o
navio ............................... 61
-
111. Equaçoes do movimento ........................... 63
IV. cálculo dos momentos fletores ................... 78
V. ~álculo aplicado a modêlo 88
-
.......................
.....................
VI. Apresentaçao dos resultados 103
.,
VII. Discussao ....................................... 105
Resultados em gráficos e tabelas ................ 114
~eferências ..................................... 156

Quando estudamos o problema dos movimentos de afun-
damento e arfagem de um navio, em ondas longitudinais, chegamos a
-
um sistema de duas equaçoes diferenciais lineares acopladas.
- &
Para a soluçao dessas equaçoes muito se tem feito
com a finalidade de obter seus coeficientes. Korvin-Kroukovsky
[I] em 1957 com um método de dedução mais físico que matemático ,
. .-
c4 CI
apresentava soluçao para o problema, com grande contribuiçao para
engenharia devido a sua aplicabilidade imediata. Baseava-se o mé,
,.a
todo, no estudo de cada seçao em separado sem levar em conta a in-
II ,-4
teraçao das seçoes.
.-A
Para análise dos coeficientes das equaçoes de enor-
.
me valia foram os trabalhos deGerritsma [2] 9 131. i [43 sobre de-
,v
terminaçoes práticas dos coeficientes.
Gerritsma e Smith [5] e &rritsma e Beulcelman [6] a-
i-i -
presentam uma deduçao mecânica para obtençao dos coeficientes que

'CI
leva as mesmas equaçoes de Korvin-Kroukomky.
#w
Vossers [7] na sua consideraçao de corpo alongado dec -
preza a influência da velocidade de avango do navio e suas equações
diferem das de Korvin-Kroukowsky por êstes %&mos.
#w
Para det erminagao dos coeficientes das equações 6
preciso conhecer os coeficientes de massa virtual e amortecimento
.-a
de cada seçao. Ursell [8] desenvolveu um método de cálculo dêsses
w
coeficientes para seçoes circulares. Grim [9] e Tasai e01 desen -
volveram, a partir de transformag~o conforme, processo para obten -
- ,., w
çao dêsses coeficientes para seçoes nao circulares.
Be um ponto de vista puramente hidrodinâmico, Has-
kind [uJ e Ne~rman p2] estudaram o problema de forças atuando sÔ-
- -.
bre corpos oscilando em meio fluido. A partir dêsses estudos, farz
.-a .-a 6-4 .,
mos a deduçao das equaçoes dos movimentos, lançando mao, entao, de
um método puramente hidrodinâmico.
A descrição total do problema não pode ser dada por
um modêlo bidimensional , devendo ser considerada a tridirnensionali-
dade do escoamento. Entretanto, assim procedendo, somos levados a
," - N
problemas de difíceis soluçoes. Entao, introduzimos uma fwiçao que

-
caracteriza o potencial de velocidades devido a irradiaçao de ondas,
., -
em que a terceira dimensao é representada pela boca em funçao do
.,
comprimento do navio, levando em consideraçao aproximadamente a tri
-
dimensionalidade do escoamento.
Para o projeto estrutural do navio, o momento fletor
.,
aplicado em cada seçao deve ser determinado. A partir do conheci -
.-. e
mento das cargas, a que estao solicitadas as diversas seçoes, cal-
laremos o momento fletor de ondas ao longo de um navio.
Joosen, Wahab e W oortman [UJ de terminaram experime~
talmente as amplitudes dos movimentos e do momento fletor de ondas
para modêlos da série 60 e compararam com resultad-os teóricos obti
dos das equações de Vossers e Korvin-Kroukcgsky.
Devido os resultados obtid-os para coeficiente de a-
mortecimento, calculados pelo método de Grim, nos levarem a certas
N
discrepâncias para seçoes da popa e da proa, utilizare.gos,~ também,
N
as distribuiçoes dêsses coeficientes ao longo do navio dadas por
Gerritsma eBeukelman ( 6 ] .
Calcularemos pelo método proposto e pelo método de
Korvin-Kroukovsky as amplitudes dos movimentos e dos momentos fleto -
-

es para um modêlo da série 60 com CB = O,7O usando para coeficien-
te de amortecimento os resultados obtidos pelo método de Grim e a
distribuipão dada em [6J . Os resultados assim obtidos serão cornpa
-
rados com os experimentais de [13] .

I1 - 1. ~Ôrças atuando sobre um navio em movimento.
Quando um navio está em repouso sobre a superfície
livre do mar, duas forças agem sobre êleo seu pêso e empuxo. Estas
agem em sentidos opostos com a mesma intensidade. Quando em movi-
mento a forma submersa modifica-se a cada instante, mudando o pon-
-
to de aplicagão e a intensidade da força de empuxo. A pressao no
.-a
ponto não mais será funçao sòmente da altura hidrostática, mas tam
,.a
bém função do movimento de ondas do mar, velocidades, aceleragoes
m
e deslocamentos do navio. Assim sendo, à pressao hidrostática se-
N
rao acrescidas outras parcelas, e êste somatório constitui a pressão
hidrodinâmica .
O desequil

fenômeno em quatro grupos:
Podemos então distinguir as forças agindo sobre o
a) Pêso do navio
b) Forças de inércia da massa do navio
c) Forças devido a ~ressões da água
d) Forças viscosas
," &
As forças devido a pressoes da água poderao ser di-
vididas em três grupos como se segue:
w
c.1 - Forças devido a pressoes da água quando o navio os-
em duas distintas:
-
cila em águas tranquilas.
c.2 - ~Ôrças devido as ondas do meio
c.3 - Forças devido as ondas formadas pelo navio.
m
A primeira parte desta subdivisao pode-se separar
c.l.1 - ~Ôrças hidrostáticas
c.1.2 - Forças hidrodinâmicas
As forças hidrostáticas são as resultantes das pres -
soes hidrostáticas ao longo do casco. A diferença entre as forças
w
hidrostáticas e pêso do navio nos dao a força restauradora devido

w r*
a variaçao da posiçao de equilíbrio.
N
Quando o navio oscila na ágwa, aceleragoes são trang
mitidas para as partículas d'água na vizinhança do casco, isto é,
N
haverá uma irradiaçao de ondas partindo do navio para a infinito.
N
aste movimento será acompanhado de forças agindo sobre o navio, nao
N
necessàriamente em fase com a aceleraçao. Estas Torças poderão ser
divididas em duas partes, uma em fase com a aceleraçao e outra com
N
a velocidade, características do movimento da seçao.
w
Ao coeficiente de proporcionalidade entre aceleraçao
e a força em fase com a aceleraçao chamamos de coeficiente de massa
virtual e, ao coeficiente de proporcionalidade entre velocidade e
força em fase com a velocidade, damos o nome de coeficiente de a-
mortecimento. ~êste modo, dividimos as forças hidrodinâmicas em
duas parcelas: força de inércia e força de amortecimento.
?d
As forças viscosas nao serao consideradas para o pri
,.#
blema em estudo, pois sao desprezíveis quando comparadas com outras
f orças agindo no modêl o. ~ erri
t sma [3] mostrou experimentalmente
,.,
que tal suposiçao é válida.

Consideremos agora a parte devido as ondas do mar.
Como foi dito, calculamos uma parte de força agindo sobre o navio
N e..
devido a variaçao da posiçao das seçoes em águas tranquilas. Da fei -
N
ta que haja onda, deveremos levar em conta a elevaçao de ondas. A
,"
esta parte dá-se o nome de força devido a elevaçao da água que será
calculada segundo a hipótese de Froude-Krylov que diz:
'!cada ponto de uma supe'rfície submersa de um navio,
N
experimenta uma pressao hidrodinâmica tal que seu
w
valor 6 determinado pela equaçao do movimento da
onda para o ponto considerado".
Convem observar que segundo a hipótese de Froude -
Krylov a pressão 6 determinada para pontos do meio fluido, ignoran-
do que dada a impenetrabilidade do casco o escoamento se modifica
#.a
dando origem a outras forças, que serao divididas em duas partes,
força de inércia e força de amortecimento.
.-4
Com o movimento de translaçao do navio na superfície
N
livre, é criado um sistema de ondas que modificará as pressoes das
#.,
partículas sobre o corpo. Estas pressoes criam forças que só inte-
,-A
ressam ao estado da resistência ao avanço, por nao influirem no ca-

&ter oscilatório dos movimentos e do momento fletor de ondas.
M
Podemos entao formar o quadro abaixo, de forças que
contribuem para o problema em estudo.
M
FÔrças agindo em cada seçao
'
~Ôqas devido ao movimento do
FÔrças devido a agão das ondas
navio em águas tranquilas do mar sobre o navio
~nércia da
massa do
navio I
~idrostática
Hi dr o dinâmi ca
~Ôrças~devido a
elevaçao das á-
guas (Hi.p.de Frog
de-Kryl ov)
J=----7
inércia Amortecimento
Forças hidrodinâmicas
de$do
da interaçao ca2
co-onda
J
Inércia Amortecimento

Cabe ressaltar que a análise feita é puramente me-
cânica. Estudemos agora o problema de um ponto de vista hidrodinâ-
mi co .
Quando um navio se desloca com velocidade constante
em águas tranquilas, transfere movimento ao mar, criando um sistema
de ondas de Kelvin.
Se, no entanto temos um sistema de ondas longitudi -
nais incidindo sobre o navio, aparecem fÔrgas excitatrizes obrigan-
do o navio a ter outros movimentos além de avanço uniforme. estes
M
outros movimentos serao oscilatÓrios devido ao caráter oscilatório
das forças excitatrizes atuantes. Consequentemente será transmiti-
N
do movimento as partículas do meio, havendo irradiagao de ondas em
todas as diregoes. Com a presença do navio no meio fluido, as par-
tículas dotadas de velocidades devido as ondas também modificarão
suas velocidades levando-se em conta a impenetrabilidade do casco.
- N
M w
Entao , as partículas t erao suas velocidades, deslocamentos e acele-
raçoes dados por quatro fatores: modificaçao do escoamento devido
N
5 velocidade de avaiqo do navio, irradiagao de ondas devido ao moQ
-
mento oscilatÓrio do navio, movimento de ondas do mar e difraçao
das ondas devido à presenga do navio. Se admitirmos que êsses qua-
tro problemas possam ser maiisados independentemente teremos os ss

guintes problemas a analisar:
a) lodificação do escoamento dada pela influência da velo4
cidade de avango do navio. Teremos uma série de pontos de -pressão
se deslocando na superfície livre que segundo Kelvin originarão um
sistema de ondas. Se adotarmos um sistema de referências fixo ao
navio tal movimento será permanente.
b) irradiação de ondas dado pelo movimento oscilatÓrio de
um navio na superfície livre em águas tranquilas.
navio.
c) Novimento de ondas existente no mar sem a presença do
d) ~ifra~ão das ondas devido a presenGa do navio.
Sejam dois sistemas de eixos, um fixo no espago
(o1 , 5 , y , 5 ) e outro fixo ao navio (O, x, y, z), se o navio
1 1
w
avança com velocidade constante na direçao O x temos
x =U t +X
1 o (1)
Supondo que o fluido 6 ideal e o regime irrotacio-
H
nal, existe uma funçao $ , potencial de velocidades, tal que:
grad $ = v
., ( 2)
#.,
e se, ainda, supomos que o fluido é incompressivel a equaçao da c02
tinuidade é:

div v=o -
Dessas duas condiçges obtemos
w w
isto é, a função$ é soluçao da equagao de Laplace.
N
A pressao p em qualquer ponto é determinada pela e-
- quaçao de Ga~-&yo
onde p - massa específica
r4
g - aceleragao da gravidade
- 'a@
a t
- indica que
é expressa no sistema fixo no espaço
Por simplicidade a função ~(t) ser& omitida e inclu.
*o .
remos o têrmo - , desde que façamos
P
\=$-
,.#
onde $ - é a pressao na superfície livre,
o
P
Abandonando o índice 1 em , e supondo as veloci-
dades serem pequenas podemos desprezar seus quadrados e a equaQ&
( 5) será escrita:

Seja a equação da su~erficie Livre dada pela expressa0
1
= 6 bi, "1, t)
Logo, na superfície livre temos
Diferenciando
Lembrando que
na superfície livre
esta expressão obtemos
a componente vertical da velocidade é dada por
isto porque, dzl/dt significa a derivada em relaçao ao tempo da
N
funçao implícita 6(x1, yl, t) em que x
-
e yl variam com o tempo,
porque uma partícula move-se também nas direçoes horizontais.
Se assumimos que o plano tangente a superficie livre
-
difere pouco do horizontal, a elevaçao da água é infinitesimal e
-

.
pouco varia com q e yl, logo e 2.A- ,ao suficientemente pe-
a x1 a Yl
quenos podem ser desprezados e de (10) a componente vertical da ve-
locidade pode ser dada por
8 6
a
Vzl = at
mas
Logo, na superfície livre teremos
w
Como a elevaçao da água 6 infinitesimal podemos to-
,.,
mar a condiçao de superfície livre para z = O ao invés de
1
z 1 E 6 (xl, Jí,
Se for expressa no sistema de coordenadas móvel te-
w
e a condiçao de superfície livre será

Se conhecemos a velocidade linear d-e um corpo rígi-
do e sua velocidade angular podemos determinar a velocidade de qual -
quer ponto do corpo.
-
onde u. - componentes da velocidade linear nas direçoes
-3.
Ox, Oy, Oz
r - raio vetor do ponto
'
w
- velocidades angulares nas direçoes Ox, ~ y , ~z
ni
podemos escrever
e ao invés de (14)
Como temos na direção Qx a velocidade uniforme u O
onde xi - velocidades lineares oscilatórias nas direçoes Ox, Oy,~z.
Num ponto junto a superficie S do casco do navio,
uma particula terá a componente normal da velocidade igual a compg
*
nente da velocidade da superficie na direçao da normal no ponto.
A componente normal da superfície será:

onde
e
n - - unitário da direçao normal a superfície no ponto.
Se @ é o potencial de velocidades
= u = cos(n, x) + n na superfície S (18)
an n O
e+
&tão, em resumo a funçao +. deverá satisfazer as se-
-
guintes condiçoes linearizadas
Seja
2
V @ = O em todo o fluido
-2!L =u
o cos(n, x) + v na superfície S
a n n

onde
$ - potencial de velocidades das ondas geradas devido a
s t
velocidade de avanço do navio em águas tranquilas
'w - potencial de veloaidades das ondas livres do mar
4 - potencial de velocidades do navio oscilando em águas
at
r"
'&if - potencial de velocidades para a difraçao das ondas
mas independentes :
do mar.
Substituindo (20) em (19) chegamos a quatro proble-
1) Navio, oscilando em águas tranquilas
?..
Nesta condiçao, o navio irradiará ondas que partem do
w
navio para o meio em todas as direçoes.
.-a
condigoes
.,
A funçao +at(x, y, z, t) deverá satisfazer as seguintes
2
v "t
= O em todo o f3uido (21)
2 2 2
a Oat a 'at 2 a 'at
- 2u
+ + u
a t 2
a'at
O atax 0 ibi2 a z
ri. v na superfície S
an n
a' a,
i?- = O para a = O

A soluç~o da fu2ição $ pelas condiçoes acima nao é
at
,.,
Única. Devemos excluir a superposiçao de ondas livres, já que para
ICI
qualquer solução, satisfazendo as condiçoes impostas, 6 possível sg
marmos o potencial de velocidades de um sistema de ondas Livres. Se
impusermos que as ondas irradiadas partam do navio para o meio, em
todas as direções, e que no infinito suas velocidades tendam a zero,
., ..#
a funçao será completamente determinada. A expressa0 matemática
desta condição 6 [14] :
onde
2) Ondas livres incidindo sobre o navio
No mar, existe um sistema de ondas, tal que seu compor-
-
tamento pode ser descrito por uma Iunçao potencial de velocidades
",
% , que deverá satisfazer as seguintes condiçoes:
2
V $w = O em todo o fluido (23)
a 2 h
at 2
--
a2 ow
2 a*$
f U - + g-- O - para z = O
O
2
at ax a x a z
2 Uo -
a 4w
- OI

w
Satisfazendo a estas condiçoes, temos várias solu -
e
. çoes, das quais, escolheremos uma Única, que corresponde a ondas
w
senoidais deslocando-se na direçao -x.
3) ~ifra~ão das ondas livres
Temos um sistema de ondas livres no mar, que, pela pre-
sença do navio, terá suas características modificadas.
Seja $dif o potencial de vel ocidad-es que represen-
N
ta o problema e deverá então satisfazer as seguintes condiçoes:
para z = O
V' 'di f
= O em todo o fluido ( 24)
2 2 2
a $f a 'dif + 2 a @dif , a@ dif = O
a t2 - 2u O a tax O ax2 a~
aBif a$ w
=-- na superfície S
a n a n
Do mesmo modo
N
radiaçao, para conseguir uma
i
como procedemos para o problema de i:
w
única soluçao, devemos impor a segui2

4) Ondas devido a velocidade de avanço do navio em águas
tranquilas
Quando o navio deloca-se na superfície livre, teremos,
N
junto ao casco do navioj uma série de pontos de pressao, Segundo
,"
Kelvin, um ponto de pressao deslocando-se na superfície livre de
um meio fluido criará um sistema de ondas, conhecido por sistema
de ondas de Kelvin. Se o fluido 6 ideal, incompressivel e o regi-
OI
me irrotacional existe uma funçao @ , potencial de velocidad-e que
st
M
deverá satisfazer às seguintes condiçoes:
- = u cos(n,x) na superfície S
an o
Devemos lembrar que, se
@s t
6 dada segundo o sistew
a
ma móvel, o regime é permanente, nao aparecendo os têrmos em -
N
na condiga0 de superfície livre.
N
este problema nao será visto com grandes detalhes
at

já que sua influência, como será mostrado, é desprezivel no estudo
que faremos.
convém observar que, pa,ra obtermos o potencial a
partir de quatro potenciais, de modo que cada um dêles seja a solu-
ção de um p~oblema independente dos demais, é necessário que as c02
c" M -
diçoes para soluçao sejam as condiçoes (19) que nos obrigam a estu
dar problemas lineares.
I1 - 2. Estudo de um navio em ondas longitudinais. Novimentos de
arfagem e afundamento.
Para -tal estudo assumiremos que:
w w
a) ~Ôdas as seçoes experimentam pequenas oscilaçoes e a am
."
plitude de onda é pequena em relaçao ao comprimento de onda. Assim
.-4 ,.4
sendo, as equaçoes diferenciais dos movimentos sao equaçoes linea -
res com coeficientes constantes [15] . Em tais condições podemos
-.,
aplicar o princípio da superposiçao .
b) As fÔrgas agindo sobre o navio serao divididas como no
quadro j á citado e analisadas separadamente.

i) Forças hidrostáticas
ii) Forças de inércia
iii) Forças hidrodinâmicas do movimento do navio em 6-
mas tranquilas
iv) Forças hidrodinâmicas devido as ondas
c) O fluido é ideal, incompress$vel e o escoamento
-d -
cional, entao existe uma funçao $ potencial de velocidades
rá dividida em quatro partes
'
independentes:
" O B + -w + + o dif 'st
navio é um corpo alongado
irrota-
que se-
posiGão do navio será descrita por dois sistemas de
fixo no espaço (ol, 5, y19 q) e outro fixo ao navio
Sejam c e $ respectivamente os deslocamentos linear e
gular de afundamento e arfagem

ordenadas :
1 ivre
-
p/água t ranquil a
Entre os dois sistemas temos as seguintes relagões de co-
x = u t txcos JI- z siri$
1 O
Yl = Y
z = ctz cosJI +x sin $
1.
Admitindo que os movimentos C e il) sejam infinitesimais,
M
obtemos as seguintes relaçoes:
z1 = 5 +z + XJI
-
Se o sistema fixo nao oscila
xl=u t+x2 onde O x y z - sistema fixo ao
O 2222
Yl = Y2
II
navio nao oscilando

Se um fungão for dada no sistema O , z teremos
2yx2 2 2
w
onde o índice 3r~efe%~-se a fungoes descsites no sistema móvel.
-
Fazendo x2 = x, o operador 8iferencial em relaçao ao tem-
po, de fungoes descritas no sistema fixo ao navio será:
CI
Os deslocamentos verticais sao:
Sabendo que, para conhecermos a velocidade de qual-
quer ponto de um corpo rígido, devemos saber a velocidade linear de
um ponto, a velocidade angular do corpo e o raio vetor entre os
dois pontos
% =u w + wxr
(29)
Aplicando ao navio teremos:
? - velocidade linear do sistema fixo ao navio
2 - velocidade angular do sistema
2 - raio vetor do ponto no sistema 0, x, y, z

N #.,
As projeçoes nos eixos ordenados sao:
2. ~Ôrças atuando sobre o navio
a) Forças devido ao movimento oscilatório em águas
tranquilas
N
Como visto, existe uma fwiçao kt satisfazendo as equa-
m
ções (21) e condiçao assintótica (22) que descreve o escoamento.
Mas
De (21), teremos:
onde u e u são dados em (30) PY z
Para o problema de arfagem e afundamento e se admitirmos
.,
que haja um movimento osci1atÓri.o na direçao Ox, da forma
ECOS wet, onde E é da mesma ordem que c e IJJ:

Substituindo (32) em (30) e em (31)
V = ( E cos we t + $e) cos(n,x) + ( i * uo - x$ cos(n, z) (33)
n
Sendo o navio um corpo alongado, o têrmo
( E. cos we t L $ z) cos(n,x) é de segunda ordem podendo ser despreza
do.
Testes feitos por Gerritsma [4] mostram que a influ-
ência de tal movimento é desprezivel para movimentos de afundamen-
to e arfagem. Assim sendo, se considerarmos que haja tal movimen-
to, &te será desprezível e de (34) temos:
-

-
Seja y = ~(x, z) a equagao da superfície do casco
Logo
e de (36) temos
Como o navio 6 considerado como um corpo alongado

Onde n é a normal a superfície num plano perpendicular ao eixo
1
Emlugar de (35) teremos:
Kirchoff mostrou que se tomarmos um sistema de orde-
nadas móvel O,x,y,z fixo a um corpo que se desloca num meio fluido
em repouso, o escoamento do fluid~ em torno do corpo ~oderá ser re-
presentado na seguinte forma:
Se o movimento do corpo a cada instante pode ser definido
m
pelas velocidades de translaçao u u e u da origem, e pelas ve-
x' Y z
-4
locidades angulares w e w do corpo, onde as funçoes
x' wy z
N N w
(i = 1 . . . .6) sao funçoes de x, y e z e sao determina-
das pela forma do corpo (ver 16 § 181 pg. 161 e 17 § 76 ~g.391) *
Para o caso de afundamento e arfagem

1 ogo
.-a
Segundo a direçao n teremos as velocidades
1
Comparando (41) com (38);
--- a45 - x- a $3
a n1 a nl
podemos supor entao que
Has ainda 6 preciso satisfazer as condições (21) e (22).
Substituindo (40) nas condiGões (21) e (22) obtemos:
-- a2% a2 $3 2 a2%
8%
2uo axat O
at 2 2 g a e = O para z = O (44)
ax
C U -

-
Na consideraçao do navio como um corpo alongado e u-
tilizando coordenadas relativas, isto é
Da equapão de Laplace obtemos
* .
onde o primeiro têrmo pode ser desprezado em relaçao. aos outros e
cairemos num problema bidimensional

Da condigão assintótica obtemos
que se torna um problema bidimensional
2 2
= O quando y + z -+ m
e .-"
Esta condiçao impoe que as ondas irradiadas do navio
deverão ser paralelas ao eixo longitudinal do navio, desprezando-se
-
as ondas irradiadas transversalmente nas regioes x > ~ / 2 OU
w
Se a velocidade de avanço u nao for muito grande a
O
-
equaçao da superfície livre reduz-se a .
para +5 teremos
Se supomos 4 =-d3

logo
mas supondo que 43 varie pmco com x chegamos a
4 da forma
5
9
c # ~ P-x~~
~
N
satisfaz as condipoes (3) desde que
o corpo seja alongado, mostrando que o-problema dos potenciais de
rr)
irradiaQão pode ser resolvido por uma Única funga0 potencial, 4
3
m
2
6 soluça^ de um problema em que v

,-4 w
teremos uma seçao, por conseguinte uma equagao dey, logo tridi,
mensional idade.
.-,
a pressa0 em um ponto qualquer do escoamento segundo o sistema
fixo ao navio, 6 dada por

N
Substituindo a expressa0 obtida para equaçao (52) em
,., M
A força agindo em cada seçao na direçao Oz 6 dada por:
-.
iU
onde Rse refere ao comprimento da seçao.
Substituindo (54) em (55)
o.
q(x, t) = ~ ( + 5 mo6 - j;x) Sg cos(nl, z) de
R
Em (56) temos as seguintes integrais:

de (42) temos - -
Onde h 6 o coeficiente complexo hidrodinâmico para a se
33
-
Eão [ll] . Na forma complexa
onde m33 - massa virtual
n - coeficiente de amortecimento
33
w - frequência de encontro
e
Para estimar as integrais do tipo (57-b) devemos co-
nhecer a expressão da função 4 o que torna o problema de dificil
3
- soluçao. Nas se lembrarmos que, para grandes frequências, é da-
do, para uma meia elipse por
onde a - boca da sepao
T - calado

.-.
faremos a suposiçao que para qualquer f requêncba
o
corpo estreito.
c4
Outra base para a formulaçao acima pode ser feita supondo o
Lembrando que a equagão da superficie do navio pode ser da-
da aproximadamente na seguinte forma:
Obtemos
Para formas finas, formas de Nitchel, temos pequenos
valores para % (x) e para Z' ( z) e se o navio 6 um corpo alongado
. - é de ordem E e da expressa0 acima obtemos
Como
cos(n, z) an(x) Z' (z)
- = cos(n, z)
an

1 ogo
Nas
1 ogo
com x.
.-4
ç ao
N
Consideremos entao que 4 seja da foxma
3
o
4 = BJX) 43 (Y, 4
B
é válida para:
" = Bn(x)4,0
aBn x
= cos(n,x) 6 um têrmo de segunda oraem
a n a x
w -
Para o corpo considerado, nao há muita variaçao da forma
-
Com a análise feita chegamos & conclusao que a representa-
a) corpo alongado de seções elíticas
b) corpos de Mitchel
*
Para formas de navio analisemos a soluçao
C,~na;b&+rando o navio como um corpo alongado

pois
aB
aBn x
= cos(n, x) de ordem E 2
a n a x
como B
-- a' - cos(n,z) = n(x) (e)
an
Bn(r) Z1 (r)]2 I (x)z(z)]21 (70)
Comparando (69) e (70) temos:
a 4;
-- Z1 (z) (71)
a n I
Observamos que 4'
3
depende
c"
da seçao, isto é, depeg
," '1
de de x, mas como B (x) varia muito pouco de seçao para seçao,
n
também varia pouco, podendo ser estudada em cada seçao como uma-f-,
w N
çao bidimensional. Nestas condiçoes, é possível estudarmos 4 como
3
,.a
uma fwiçao bidimensional, e parece coerente se observarmos a expres
,., -4 '*
s;o do cos(n, z) e suas implicaçoes que a suposiçao da expressa0 4 3
da forma:
4 = ~Jx) $3 (37, 4
r-4 -
é uma boa aproximaçao para soluçao do problema.
Substituindo (60) em ( 57-b)
N
4;

R R
Como a integragão ao longo do contôrno 2 6 tomada para
,.,
um x fixo podemos fazes as funçoes que dependam de x como paramétri-
cas :
Usando a forma complexa (59)
ril
Segundo o método de Korvin-Kroukowsky, a expressa0 do carre-
gamento em águas tranquilas 6 dada por
I

Isto é, ao invés do coeficiente complexo hidrodinâm~
co, admite-se que o coeficiente de proporcionalidade entre força e
c"
aceleraçao seja s6mente a massa virtual.
igual dade .
.,
Também supoe o método, a
que &o 6 verdadeira dado o contorno 1 ser função de x.
A força de amortecimento é introduzida parte como
o produto do coeficiente de amortecimento e a velocidade da seção.
b. Forças devido ao movimento de ondas do mar
.-
Devido ao movimento das ondas, as pressoes na super-
N
fície do navio modificam-se com a elevaçao da água. Como esta ele-
N N
vaçao nao é constante ao longo do calado, devemos levar em conta e2
r., m ,"
ta variaçao. A força na seçao é calculada pela integral da pressao
N
ao longo da seçao. Esta parte 6 calculada pela hipótese de Froude-

Krylov e 6 conhecida como parte principal das forças excitatrizes.
m
Para o potencial de ondas livres, tomemos a solugao
-&ir e "1 e i [nt - k(x 1 cos a + y 1 sin a)] (81)
+w-w o
onde r - altura de onda
o
k - coeficiente de onda
w - frequência de onda
-
CY - ângulo entre as direçoes do movimento do navio e da,
onda
Para ondas longitudinais a = 180° e sabendo que
?.X+U O t
m
o potencial de ondas em fungao de x,y,z,t será
- r ekz e i(wet + kx)
$ (x>Y,z>~)
- O
onde w = w 4 k% 6 a frequência de encontro
e
A pressão em cada ponto será

. .
U P kz i(wet + kx)
kz i(w t + kx)- o gro e e
e e e
W O W
kz $(wet + kx)
pw=pgTp
rn w
A fÔrga em cada segao será entao:
como cos(nl, z) dl = - dy
onde i' =r e
i(wet +
'W O
equação da superficie livre
Na equação (84.) temos uma integral a calcularmos,
que pode ser dividida em duas partes:

Aplicando a fórmula de Green
Com (85) e (86) em (84)

onde
N
X(kT) 6 o coeficiente de correçao de Smith que leva em
N S W m
conta a variaçao da pressao devido a elevagao da onda ao longo do
casco.
.w
C. FÔrças devido 5 difraçao das ondas
?4 N
A força devido 5 difraçao em uma seçao do navio 6 ds
w
onde a pressao em cada ponto é
Logo a força será
\

logo
L
A função $dif é da forma
Substituindo (93) em (92)
Como o potencial de difraçao $dif e o potencial de
w w
irradiaçao tt devem anular-se no infinito e com a condiçao para
superfície livre, aplicando o teorema de Green temos a seguinte con-
N
diçao:
Disto segue

e como 4w
Das condigões de contorno;
é dado pela expressão (82)
-- - i w r e kz .i(w t + kx)
e
a~ O
-
Seja agora uma funpao +8 tal que
(b) (99)

Como
Temos:
temos:
N IN
Diferenciando a expressa0 da condiga0 assintótica (25) ob-
Fazendo o limite
X
lim
R+ O3 K
k 2
a 'di f

No primeiro limite temost
- X <
-1 e lim
6-
portamento que
--
a' dif
k 2
i - $ dif
R+rn g ) = o
Isto nos mostra que a função tem o mesmo com-
'dif e
crita na seguinte forma:
Logo, a Última integral da equação (96) pode ser es-

Aplicando Green como em (95)
N
Com (100) e (101) em (99) a expressa0
comprimento toma a seguinte forma:
da f Ôsça ao longo do
-iiipuowroJ~ 3 i(wet t BX) cos(n,, X) dl

w = w - kuo
e
Desprezando os têrmos de ordem superior a segunda e como
(W e +
IZX)cos(nl,
i) dl +
kz .i(wet + kx) a
+iPu w r
O op3 e, - cos(nl, z) dl (103)
a x
como cos(nl, 4 =K a43 e + = B,(x) 4 (Y, 4
Substituindo (104) em (103) /
+i6 uo3ro $(wet + kx)
n

hidrodinâmico.
Como
Em (105) temos a integral
Que 6 dimensionalmente semelhante ao coeficiente complexo
A expressão (105) pode ser escrita na forma seguinte
w
onde 7 (,I é a aceleraqao de qualquer ponto do meio
='w
cw(z) 6 a velocidade

a'3 dl- coeficiente complexo hidrodinâmico para um 2
lemento de linha dl do contôrno.
I*
Comparando (107) com (73) observamos duas expressoes análo -
w
gas. O primeiro têrmo da eqmçao (107) difere apenas por ser a ate-
,.#
raçao funçao do calado. O mesmo se observa para os segundos têrmos
que nos dão a influência da velocidade de avanço.
r.,
Por comparaçao dos dois fenômenos, vemos no primeiro caso
um corpo que transmite movimento para o meio, a partir de seu movir.,
-
mento, tal que velocidades e aceleraçoes sao iguais para todos os
.,
pontos da seçao considerada. Enquanto no segundo estudamos a modifi
r.,
caçao de um movimento do meio devido a presença do corpo. O'oserva-
," w
mos que neste caso que as velocidades e aceleraçoes que serao modifi
cadas, variam com a profundidade.
Da exapéssão (106) temos a seguinte integral:
Assumiremos que esta integral pode ser obtido por intermé-

-
Para determinaçao de X faremos o seguinte procedimento.
1
Calcularemos o valor, de X para uma elipse e aplicaremos este va-
1
c.,
lor para formas navais de modo que a elipse tenha as dimensoes prin
.-,
cipais iguais a boca e ao calado da seçao.
Para elipse temos:
Substituindo em ( 109)
Onde A é a área da semi-elipse.
Desenvolvendo as integrais separadamente8

Logo
Usando (110) em (107) ,

Na forma complexa podemos expressar q do seguinte modo:
di f
. ~Ôrças devido ao potencial
$st
Como mostrado, êste potencial descreve o movimento
do meio fluido devido as ondas ocasionadas pelo deslocamento do cor -
po na superfície livre. Para um sistema de referências fixo ao na-
vio êste potencial independe do tempo,
w r., r" -
Junto ao casco as pressoes nao mais serao as pressoes esti
N
ticas mas terao valores constantes com o tempo, ocasionando uma diz
..a
tribuigao de empuxo ao longo do navio diferente da estática.
Quando o navio encontra-se em equilibrio estático temos
~(x) + fl ( 4 = q1 (x) (113)

onde ~(x)
N
- pêso por unidade de comprimento na seçao
fl(x) - força por unidade de comprimento devido bs pressões
hidrostáticas.
-d
ql(x) - carregamento a que está sujeita a seçao
N w
. Se-superpomos a esta condiçao a de psessoes hidrodinâmi-
- ,.A
cas dada a formaçao de ondas, teremos o carregamento em cada seçao
dado por:
onde
f2(x) - 6 a farpa por unidade de comprimento devido as pres -
~ f ~ ( x )
soes hidrodinâmicas
N
- é a força das pressoes hidrostáticas devido a nova
N
posiçao de equilíbrio do navio.
As condiçoes de equilíbrio de forças e momentos impõem

.,
Para o caso do navio sem movimento de avanço a condiçao de
equilibrio de forças nos dá:
L/ 2
r
JL/2
q1 (x) x dx = O (b)
Com (116) e (115) em (114) obtemos

,.,
Isto mostra que as pressoes hidrodinâmicas, devido ao poten-.
,., - -
cial gst e a variaçao da posiçao de equilíbrio do navio nao influem
nas amplitudes dos movimentos.
-
Se conhecemos o carregamento total agindo em cada seçao para
um navio em ondas longitudinais, podemos calcular o momento fletor
-
em. qualquer seçao.
onde M~(x) é O momento fletor na seçao
obtemos:
g(x, t) é carga total agindo ao longo do navio
-
Se subtrairmos do carreqamento total a parte nao oscilatória
onde M~~(x)
w
.-4
- é o momento fletor devido as cargas que neo de-

pendam do tempo
IvI (x,t;)é o momento fletor de ondas
fw
Substituindo (114) em (121)
X X X X
Nesta expressão temos a primeira integral representana0 o
1
momento fletor para um navio parado sobre a superfície livre, e a
w
segunda a variaçao no momento fletor devido a velocidade de avanço.
Em (120) temos o têrmo
IvIfw (x, t) = M~(x,~)-M~~(x) (123)
Chamado de momento fletor de ondas, que representa o mo-
mento fletor devido as cargas de caráter oscilatório pois i& (x)
f 2
c-,
nao varia com o tempo.

Para um ponto xa do navio o momento fletor será:
qxa, t) = + q2(xa) + ~ ~ ( t) x ~ (124) ,
onde M;~(X ) e M$~(x ) se referem 5 primeira e 2 segunda i2
a a
tegral de (122) respectivamente.
Isto 6, teremos o momento fletor total como um valor que os -
cila em torno de uma posição média dada pela soma do momento fletor
para o navio parado e o momento fletor devido a velocidade de avanço
do navio.
e. ~Ôr~as hidrostáticas e de inércia do navio devido
1) Forças hidsostáticas
ao movimento oscilatório
Com os movimentos oscilatÓrios de arfagem e afundamento, as
M w
várias seçoes do navio terao seus calados variando com o tempo, acag
retando o desiquilibrio do navio. ~Ôrças
tendendo o navio ao equilíbrio.
.-4
restauradoras aparecerao,
," a
Seja h(x, t) a variagao de calado numa seçao distando x do

centro de ordenadas
h(x, t) = C(%) - x$ (t)
A força por unidade d-e comprimento será
2) ~Ôrças de inércia
#., w
Devido à aceleraçao das seçoes temos a força de inércia por
unidade de comprimento
f. Carregamento total atuando em cada seçao
O carregamento total que contribui para os movimentos e ~a. -
M
ra o momento fletor de ondas, será entao a soma dos carregamentos
devido as pressões hidrodinârnicas quando o navio oscila em águas
," ,.A
tranquilas, a pressao das ondas do mar, a pressao hidrodinâmica de-
- - -
vido a difraçao das .ondas, pressao hidrostática devido a variaçao

do calado e a força de inércia da massa do corpo.

- w
Para que sejam preenchidas as condiçoes de equilíbrio de
forças e momentos o carregamento total distribuido ao longo do navio
-
deverá em cada instante satisfazer as seguintes condiqoes:
I 'total
(x,t) dx = O
Se substituirmos a expressão do carregamento (128) nestas
condigzes obteremos duas equações diferenciais que representam as - e
w ,.a
quaçoes dos movimentos de arfagem e afundamento. Da condiçao de e-
quilíbrio de forças (129-a) obtemos a equação do movimento de afun-
damen t o

e da condição (129-b) a equação do movimento de arfagem
onde

onde : H - razão entre amplitude de forças excitatrizes e ampli-
o
tude de onda
fih - ângulo de fase
f%#
onde : M - razao entre amplitude do momento excitatriz e amplio
tude de onda
6p - ângulo de fase

HO1 = pt3 2/ B ~(kb) cos Ic x dx
n
- w x m coskxdx-
133
J- 4 2 -L/ 2
e
n
~~n~~sinkx dx T wu sin kx dx
o B -
n
%m33
- J
--
u w
O
-~/2 -~/2
B '
x1 "33 cos kx dx - m cos kx dx -
o
B
n '
-
w B X1n33
e n
-~/2
4 2
sin kx dx (133-b)

Bn x(kT) x cos kx dx + w x cos kx dx+
B '
- n
x cos k x dx
B Xl n33
n
MO2 = - Pg Bn x(kT) x sin k x dx + w
-L/ 2
B ' n
B n
P 3 3
x sin k x dx
x sin k x dx -
Xl m33

te obtemos:
,-,
Como exemplo faremos a derivaçao do coeficiente d.
N
Da condiçao de equilíbrio (129-a) separando convenientemen -
Como $ 6 uma funpão harmônica de frequêizcia w podemos
e
colocar na seguinte formar
Logo

e finalmente
Substituindo em (136), temos
Segundo Ko~vin-Krovlcowslqy os coeficientes das equagGes dos
N -
movimentos terao as seguintes expressoes:

*=/
~ / 2
m33x2dx+/
~ / 2 ~ / 2
P 2 7 x dxt- u02J w
nj3x dx "1 2
dm
33. íix dx
w
e e
-L/2 -L/2 -~/2 -~/2

,(k~) .os k x dx -21
m33 X
(k~) cos k x dx -

n33 x (k~) cos k x Qx - wu
o
33
L/Z
x(~T) cos k x dx
%1= - X(W) x cos k x dx + w x x(k~)cos kx dx+
+. / .33
x(kT) x sin k x dx + wu O
33 X(BT) x sin k x dx

n x x(~T) cos k x da - uow
33
-L/ 2
33 x(~T) x cos k x dx
dx
As distintas abordagens dos dois métodos pela não conside-
ração do coeficiente complexo hidrodinâmico no método de Korvin-
-
Kroukowsky, como mostrado na equaçao (-79), refletem-se nas equaçoes
dos movimentos com a não existência de coeficientes que dependam de
B ' B1 dm
- n
n
e a substituigão de têrmos da forma - B m33 por - 33
B
n
n33
dx
n
Como já foi mostrado, os movimentos de arfagem e afunda-
- mento sao movimentos oscilatÓrios, podendo ser expressos como:
onde r
[o
- amplitude do movimento de afundamento
$o - amplitude do movimento de arfagem
% - ângulo de fase do movimento de afundamento
%- ângulo de fase do movimento de arfagem
em vez de (140) podemos utilizar:

- .-4
onde 5 e $ sao complexos da seguinte forma
tal que
,.#
Para soluçao
Korvin-Kroukowsky [l]
das equagões usaremos a forma
, onde os valores de 5 e $ e
-4
te Co, e Fq, sao determinados das expressoes:
onde r P=-aw 2
e
+ ibw + c
e
proposta por

Substituindo (146) em (145)~ separando em parte real e par -
te imaginária, obtemos CO1> CO29 Jbi e dO2 e com (143) e (144) caL
cul amo s C, 3 7 2 e +,e
m
,- Os resultados serao calculados nas formas adimensionai s
L0 $0 w - e - . As equaGões (l4.5) serao substituidas pela forma ad-imen
r
o kro
sional
e obteremos as formas adimensionais
-

IV. C~LCULO BOS MONEETOS FLETORES
-
Conhecido o carregamento ao longo do navio, o momento fle-.
w
tor em qualquer seçao x, em um instante t, 6 dado pela integral dg
w
pla do carregamento até a seçao
~ubstituindo(l28)
N
na equaçao acima e desenvolvendo, temos:

onde

onde
- razão entre amplitude do momento fletor devido as for
Go
ças excitatrizes e amplitude de onda
6 = ângulo de fase
9

W
e - y/
X1 n3) sin Ir x cix 2
#.,
O momento fletor em cada seqao pode ser expresso matemàti-

-4
camente por uma funçao harmônica
onde r
- \
- amplitude do momento fletor de onda
Mfo
8 - ângulo de fase do momento fletor com a onda
M
e temos as seguintes relaçoes:
Substituindo (141) e (152) em (149) obtemos
-4
Com (141) e (142) na expressa0 acima e igualando parte re-
al. e parte imaginária obtemos:

-
Se calcularmos os coeficientes A1, B1, . . . . G1, para uma
segao x, e os valores de

-
onde *L 6 uma funçao harmônica.
onde Eró
- amplitude do momento fletor adimensional
M
e temos as seguintes relaçoes
Se utilizamos os resultados das equa9&s dos movimentos
nas formas adimensionais 5'
01 '

onde A;=kJA1
Segundo o método de Korvin-Kroukowsky teremos:

-~/2 -L/2
x(~T) sin k x dx2 +
2
dx
33 x(~T) sin k x dx -
2
x(~T) cos k x dx -

N N
Para determinaçao dos coeficientes das equaçoes dos movi -
mentos e cálculo dos momentos fletores, devemos conhecer as caract~
w
rísticas geométricas do navio, distribuigao de pêsos, de massa vir-
tual e de coeficiente de amortecimento ao longo do navio.
serão feitos cálculos dos movimentos e momentos fletores
para um modêlo da série 60 com coeficiente de bloco S. = 0.70. Os
resultados obtidos serão comparados com os resultados experimentais
-
da referência [,:I. As características do modêlo es-tao apresentados
w
na tabela 111 . Quanto distribuiçao de pêsos adotaremos a distri-
buição apresentada na figura 2 seguindo exemplo apresentado em
.-d
C181 . Os cálculos serao feitos para velocidades correspondentes a
N
Fr 5 0,10, 0,15, 0,20 e 0,25 e em cada caso as ondas terao compri-

mento A= 0,75L, 1,OL, 1,25L e 1,SL.
Ursell [8] calculou massa virtual para um cilindro oscilan-
do na superfície livre de um fluido, assumindo que o problema fosse
w
bidimensional* Determinou a relaçao entre a massa virtual para um
cilindro na superfície e um totalmente imerso. Para outras formas,
r"
Lewis determinou um coeficiente k por transformaçao conforme de um
2
semi-circulo, de modo que a massa virtual para outras formas possa
ser determinada. Korvin-Kroukowsky 111 calculou a massa virtual por
4
N
intermédio da corregao k,
onde :
r-4
área da segao
Ci) m -
coeficiente de correçao dada a seçao nao ser
cir cul ar
relag& entre massa virtual para um cilindro na
superfície livre e um totalmente imerso.
Tasai 10 e Grim [9] calcularam para formas de Lewis me-
,"
diante transformagao conforme, os coeficientes k e k
2 4 '

90
estes resultados foram confirmados por Paulling [19] e Porter [ 201 .
Jacobs [.Sl]"plotou"êsses resultados de maneira tal que se tornam de
mais fácil emprêgo. Obtem-se dêsses gáficos um coeficiente C em
r* ,-4
função do coeficiente de seçao Pn = BT> da relaçao boca-calado
n w 2~
e n
B e da frequência do movimento we pelo coeficiente --
n/~ 50- g2
Com o coeficiente C obtemos os produtos k k
2 4
a massa virtual será
,.,
Para obtençao dos coeficientes de amortecimento devemos ds
rrf
terminar a relação à entre a amplitude de onda devido a irradiaçao
e amplitude de movimento. Os valores de A foram desenvolvidos para
-
formas de Lewis
-
em conexao com os cálculos de massa virtual. Jacobs
plotou êstes valores da mesma forma que o coeficiente C. Como amog
,.,
tecimento é medida de energia dissipada na formaçao de ondas 6
*
indicaçao dessa perda. Havelock mostrou que o coeficiente de amor-
tecimento é dado por

Os gráficos para cálculo de C e à na forma apresentada por
.-A
Jacobs encontram-se também em[22], os quais serao utilizados no pre
sente trabalho.
Observa-se nêsses gráficos que quando c0 - O, isto é
B - O, os valores de C -a. Mas, se B - O a área S tende a zen
n n
.-A .w
ro, e fisicamente nao haverá massa virtual nem dissipaçao de ener -
gia logo m 33 e n33 devem anular-se quando B tende a zero.
n
B ' n
Devemos também pbservar os têrmos da forma m
33
n
e
B '
.-A .-.A
n
n - que aparecem na derivaçao do problema, pois, se nao há se-
33 Bn
.-e
çao, êstes devem se anular quando B - O. Mas em tais condipões te
n
rU w
m
mos indètermina$oe's - 33 e 3 . Outro particularsao os valo-
B B
n n
res da funpão BA (r) quando B -O. A ré do navio poderemos ter
n
uma forma circular fazendo com que B' -+ - co quando B -+ O.
n n
sendo, passemos a a~álise dêsses têrmos quando B -0.
n
Assim
Para o modêlo em estudo quando B - O o valor do calado
n
.-A
T - O e podemos supor nesta regiao que a massa virtual seja dada pe
-
la expressao:
-
-

onde C é uma constante
1
Como mostrado por Tasai 10' para pequenos valores de %
o coeficiente k pode ser dado como: /
4
,-.
onde C2 - 6 uma constante que depende da forma em questao
1 ogo
- 2 2
- C B log 5, - C4 Bn
m33 3 n
O segundo têrmo se anula quando B -0, logo analisemos,
n
-
sòmente a expressa0
2
= - C B log 5,
m33 3 n
como w 2
-- e
50 - 2g Bn

1 ogo
mas
logo
TT 2
e
log E. = log B + log -
n 2g
Substituindo em (168)
m3 3
W 2
- - 2 e . 2
- C B log Bn - C log -
3 n 3 2g Bn
O segundo têrmo tem limite nulo quando B - O
n
Z
l i m Bn log ,Bn = O
lim m = O
3 3
B-O
n
B '
Para os têrmos da forma m n ,.,
33 - teremos após substituigao
Bn
de m dada em (167)
3 3

Para a perpendicular de vante B' tem valor finito e o limin
w
te da funçao é zero quando B - O. A ré do navbo imaginemos que a 2
n
nha d'água seja um arco de circunferência de raio 2 e estudemos o
w L
mite da funçao quando x = - - 2
onde
quando B -+ O
n
De (172) obtemos
1 ogo
," w
Temos entao a seguinte equaçao de B na extremidade
n
Analisemos primeiramente o segundo têrrno da equagão (171)
temos uma indeterminagao pois Bl -+ -
I
-
n

aplicando o limite
2
l i m C Bn
4
B +O
n
que é um valor finito.
temos
Deve-se notar que IB' I decresce muito mais ~àpida~iiente que
n
B cresce. Logo, apesar de obtermos no ponto onde B = O valor de
n n nll
-
# O, a influência de tal valor pode ser desprezada. Nao necessà-
riamente, em formas de navios, B' é infinito quando B = O e também
n n
se o for após um comprimento infinitesimal dx êste valor torna-se
finito. Assim a função C BA cujo limite 6 finito e igual a
4 Bn n
-R se dá ao longo de um comprimento infinitesimal dx tendo o produ
to da função pelo elemento dx um valor infinitesimal, podendo ser
desprezado e considerado nulo o valor da função nêste ponto extre-
mo.
zero.
B '
2 n
Analisemos agora o têrmo B log B;B quando B tende a
n n
n

Temos
2 B;
Bn log Bn - - - ( B log ~ B ~ )
B
n
. B;
quando B + O temos B log B -+ O e B' + - ao na extremidade de ré
n n n n
do navio. Como anteriormente, seja a curva de linha d'água circu -
\
lar, logo de (175) obtemos
I -
B ' /R 2 - B 2
2 n - v n
Bn log Bn --BnlogBn0
n n
= - log Bn
O limite desta expressão é infinito, mas como &te valor
atua num elemento de comprimento dx' ,poderá não contribuir no todo
quando integrado. Seja a integral
e calculemos lim ~(x' )
Bn+ O
n

Dada a forma circular
Substituindo em (176)
Ix' dx> 2 2
F(xl) -
log dx' = log (R - x )dx
Integrando por partes
s(x1) = 2-
7
1 X'
w
Fazendo a substituiçao
e integrando
2
R2 - x' = t
f 3 1
2
log (R - xI2) 7-2 dxt
" R -xl
Substituindo (172) na expressão acima
B '
F(x') = - -
n 2 1 2
log Bn - - 4 Bn
4
Fazendo o limite
078f

i i m ~(x:) = O
B + O
n
w
Isto mostra que apesar de termos o valor da fungao infini-
to para Bn = O, a influência deste valor é desprezível.
a zero.
B ' n
Analisemos agora os têrmos da forma n - quando B tende
33 Bn n
Segundo a expressão de Havelock
/"
e dos de Jacobs podemos observar que para pequenos valores
-
de c,, isto é, para B aproximadamente zero, a curva de A é aproxL
n -
madamente uma reta e pode ser dada pela equaçao:
L
logo B
- CWe n
A =
2,
,"
Substituindo na expressa0 de Havelock

BA r"
O têrmo n 33 r será entao
n
Se o corpo 6 alongado e sua extremidade é angulosa
lim C6 Bn Bn = O
Bn' o
e se a extremidade fÔr circular temos de (174) que o limite é um va -
lar finito.
Mas como B; após um elemento infinitesimal de comprimento
B '
w d
n
tem valor finito, a funçao n - anula-se. E entao quando feita a
33 Bn
.-w
integraçao, êsse valor diferente de zero na extremidade, atua sobre
," ,"
um comprimento infinitesimal, tendo entao uma contribuiqao infinitz
,-4
simal para toda integraçao podendo ser desprezado.
,.
Como faremos integraçao numérica adotaremos nos extremos

n n n iguais a zero.
m33y "33' B m33' n 33
w
O coeficiente como já foi mostrado serve de correçao
Xl
para o c&lculo de um têrmo semelhante ao coeficiente complexo hidrg
w
dinâmico. Como não conhecemos a funçao 6 tentada uma aproxima-
P., -
çao, calculando-se o coeficiente para o caso em que a Iunçao
$3
fosse a de uma elipse inlersa oscilaindo num meio fluido. Aplicamos
B
o valor obtido a sepão do navio com mesma relaçao . A função $3
T
utilizada só é válida para $ > T e alguns pontos do modêlo afas-
2
?"
tam-se dessa condiçao. Mas como o valor de x obtido só depende do
1
calado, tal corregão torna-se cômoda por ser o calado constante ao
longo do modêlo.
OS coeficientes x(k~), coeficiente de correçao de Smith,que
leva em conta a variação da elevação da onda com a profundidade são
.,
apresentados em. 11 5i astes coeficientes sao obtidos no gráfico
citado em função da razão comprimento de onda-comprimento do navio
- X
e do coeficiente de seção
L 4
Quando pn < 0,5 torna-se difícil o cálculo de m 3 3 e n33
com facilidade de se cometer grandes erros. Como já foi visto nos
*
I-"".

extremos êstes valores podem ser considerados nulos, e como quando
Pn < 0'5 temos pequenos valores paraB S eB podemos supor
n' n n/~
N N
que as distribuiçoes sejam lineares nesta regiao calculando os valo -
N
res por interpolaçao entre o valor zero para o extremo e o valor na
rn
seçao em que p r 0,s.
n
Calcularemos o valor de todas as funções para vinte e uma
N
balisas do modêlo e procederemos a integraçoes numéricas.
O valor de B' será dado pela expressão
n
como se a tangente a B fosse paralela à reta que une os pontos
n i
B n i+l e Bn i-1
Quando procedemos aos cálculos dos coeficientes de amorte-
,.d
cimento pelo método de Grim, observamos que a distribuiçao dêsses
coeficientes ao longo do navio a ré e a vainte do navio afasta-se da
esperada e quanto maior for a frequência estas divergências se tor-
nam mais acentuadas.

Em [ 6 ] Gerritsga apresenta distribuiçães de coeficiente de
-
amortecimento obtidos experimentalmente em comparaçao com resulta-
dos teóricos, havendo uma boa concordância entre êsses resultados.
.-d
Neste mesmo trabalho são apresentadas distribuiçoes de coeficientes
de amortecimento para frequências de 4 rad , 6 rad e 8 rad
1% /sg /sg
sem influência da velocidade de avanço, calculados teòricamente. Os
resultados aqui calculados encontram-se comparados com os de Gerri-
ma, has figuras (3), (4), (5) podendo-se observar as discrepâncias
bem acentuadas a ré do modelo. A vante do modêlo embora encontre -
- -
mos divergências estas nao sao muito acentuadas.
Devido as divergências apresentadas pelo método de Grim fs
remos o cálculo das amplitudes dos movimentos e do momento fletor
N
de onda utilizando as distribuiçoes de coeficiente de amortecimento
apresentadas por Gerritsma.
Para melhor análise do método além de compararmos os resuL
tados com os resultados experimentais de [ 1 3 1 , calcularemos as am-
pli tudes dos movimentos utilizando o método de Korvin-Kroukowskyi.

'
Os resultados dos coeficientes a, b, d, e, A, B, D, E, F e
M nas formas adimensionais e os ângulos de fase das forças e momentos
excitatrizes estão apresentados em tabelas no fim dêste trabalho.
Neste conjunto apresentamos, também as amplitudes dos movi-
il r
mentos de arfagem e afundamento nas formas adimensionais - -
Kro ' r O
e seus .ângulos de fases.
Todos êstes cálculos foram feitos para o método proposto e
o método de Korvin-Krou,lawsky. Como o método de Grim, para cálculo
w
de coeficiente de amortecimento, nao apresenta bons resultados para
,., N
seçoes de ré do navio, calculamos as mesmas equaçoes utilizando a dig
N
tribuiçao mostrada por Gerritsma, como já mencionado. Os resultados
,"
apresentados sob a indicaçao I se referem ao cálculo pelo método pm-
posto utilizando para cálculo dos coeficientes de amortecimento a dis
tribuição auxiliar de Gerritsma e a indicaçao I1 pelo método de Grim.
111 e IV indicam cá1 culo pelo método de ICorvin-Kroukowsky utilizando-
se coeficiente de amortecimento respectivamente segundo Gerritsma e
Grim.
-
4

Neste conjunto de tabelas estão apresentados, também, os
valores obtidos para os momentos fletores ao longo do navio.
-4
Com a finalidade de comparagao mais visível muitas das
tabelas foram transportadas para gráficos, dando-se preferência, co-
mo indica9ão dos resultados ao cálculo segundo a versão I.
As divergências entre o métodos de Grim e a distribuigão
auxiliar de Gerritsma podem ser notadas nas figuras (3.) ,(4) e ( 5) .
Formas adimensionais dos coeficientes:

A abordagem do problema nio é tridimensional. Estuda
-
mos o que acontece em cada seçao como um problema bidimensional, Le-
w
vando a iteraçzo das seções aproximadamente, estudando a variaçao da
boca com o comprimento.
Convém notar que a normal em cada ponto foi confundi-
da com a normal ao ponto, contida num plano perpendicular ao compri -
mento do navio. Para um navio alongado a abordagem 6 satisfatória.
'*
Para um navio convencional na regiao do corpo paralelo há concordân -
- -
cia do modêlo com o ceal, mas no corpo de vante e de ré fugimos & re2
lidade. Devemos notar,que a irradiaçao e difraçao de ondas como e2
-
caradas no desenvolvimento do trabalho serao paralelas ao eixo lon&
tudinal
--- - - - _ __

Deve-se notar que desprezamos as ondas fora do inter -
vaio -~/2, + ~ / 2 e a inclinação das ondas propagadas nêste intervalo.
Outro aspecto é a interferência entre o trem de ondas
do mar e o sistema secundário de ondas do navio que foi desprezad-o. ,

,"
Foi feita a suposiçao que cos(n, x) O. Isto é, te-
mos como hipóteses que < e JI são de ordem E e que o navio sendo
um corpo alongado temos cos (n,x)

Poderíamos adotar a hipótese de corpo rigido e esta-
ríamos calculando os efeitos desta regiao como fosse a continuaçao
do navio.
- r.,
M
Para a forma (b) devemos notar que nao podemos su-
por, em geral, Bt + w dada ao acÚmulo de massa a ré.
n
A hipótese que nos' extremos todas as fungoes sao nu
las resolve o problema de cálculo numéxico, mas deixamos de consi-
-
derar o que acontece .nesta regiao.
Notemos que se consideramos esta parte como um corpo
rígido, melhoramos o modêlo diante da hipótese de tridimensionalida-
d
de, mas até que ponto esta hipótese de corpo rígido pode representar
,.A
o que realmente se passa e como sao transmitidas as fÔrgas atuantes
w
nesta regiao.
,. N
-

Da comparação do metodo proposto com o de Korvin-Krou-
kowsky e aplicação das duas distribuições de n citadas, observamos
3 3
para os coeficientes a, b, A e B que há grande concordância entre o
método apresentado e o método de Korvin-Kroukowsky. Aparecem peque-
nas divergências para altas frequências, usando qualquer das duas d-is -
Os coeficientes d e D pouco variam com a mudança de dis-
'*I
tribuiçao'de n quando calculados pelo método proposto. No método
33
de Korvin-Kroukowsky o mesmo se verifica para d e como D nao depende
r4
w - de n33, na0 há variaçao com a distribuiçao. De método para método há
uma grande divergência. Em valor absoluto alcançamos maiores valores
para o método proposto. estes coeficientes quando comparados com os
.,
outros das equações são muito pequenos, podendo ser desprezados.
De importância capital é a divergência que aparece nos
coeficientes e e E. fistes coeficientes dependem fundamentalmente da
'*
velocidade de avanço do navio, entao qualquer, divergência se reflete
para qualquer velocidade. Pelo método proposto, os valores calcula-

N
dos de E quando comparados com os outros membros das equaçoes sao pe -
quenos, fazendo com que desprezemos êste têrmo. Para os valores de
e, obtemos pelo método proposto resultados aproximadamente 50% maio-
res que quando calculados pelo método de Korvin-Kroukowsky.
Quanto 5s forças
-
resultados bem concordantes.
excitatrizes os dois métodos apresentam
Poucas divergências podem ser notadas.
Podemos, entao, procurar um método prático de estimar râpidamente os
valores das-amplitudes dos movimentos. Se colocarmos o centro das or -
w
denadas no centro de fluAuWa0 teremos os coeficientes f e F nu
-
10s. Podemos desprezar os coeficientes D, d e E. O coeficiente e 6
dado por:
e como existe pouca divergência entre a, b calculados pelos dois mé-
todos, podemos considerar desprezíveis as integrais

Como ao compararmos E com e, vemos que o primeiro é menor e
seu valor só para alguns casos ultrapassa l0$ do ~alor ds e,
podemos supor
e e para a integral 2u O
Na tabela L18] vemos comparaçao dos valores obtidos para
Como verificado, pouca é a divergência entre os coefici-
N
entes no cálculo de A e B para os dois métodos em comparaçao, logo
," w
podemos assumir a expressa0 dêsses coeficientes segundo a proposiçao
- w
de Korvin-Ihoukowsky. Devemos observar também que se a frequência
do movimento nao for muito alta a distribuiçao de n é quase simétr~
3 3
ca e jn33 x dx é pequena. Se a frequência for alta êste valor au-
n
" 2 U
menta mas w aumenta; muito mais e também será pequeno.
e
W
e . ~
N
Logo podemos desprezar êste têrmo em comparaçao com os outros. Che-
,-,
garemos a um problema simplificado onde uma das equaçoes indepen -
dente pois E=O, D = O e F = 0.
-

onde
Os resultados obtidos para as amplitudes dos movimentos mostram boa
concordância entre os dois métodos para pequenos números de Froude,
mas com o acréscimo do número de Froude aparecem divergências entre
M
os valores da amplitude de afundamento, principalmente na regiao de
ressonância. Devemos ressaltar a boa concordância entye os têrmos e2
citatrizes.
-
Para arfagem as divergências sao pequenas. Pelo método

proposto obtemos maiores amplitudes. Quanto aos pontos experimentais
podemos considerar os resultados como bem aceitáveis, haja visto que
- ,.d
as medidas experimentais na regiao de ressonância nao podem ser con-
fiáveis.
N ~ O
,.A
se pode dizer muito em relagao aos momentos fletores,
mas como era esperado obtemos resultados mais elevados. Quando compa
-
rados com resultados experimentais nao vemos grande concordância para
altos valores do número de Fronde (altas velocidades). Os resultados
w
obtidos por &te método, .em geral, sao mais elevados que os experimen
N
tais. A baixas velocidades podemos considerar boa a aproximaqao en-
tre teoria e experiência, para A > L.

Tabela 1
-
FIGURA 2 - Distribuiçao de pêsos ao longo do navio
~aractedsticas ~eométricas Principais
Comprimento entre perpendiculares em m L
Boca em m B
Calado em m
Deslocamento em Kg v
Coeficiente de bloco C~
Coeficiente de linha d' água Cwl
Coeficiente de segão mestra B
-
K
R&io d-e gisaçao Longitudinal em m
-
$

TABELA 2 - valores de ~/PV

TABELA 3 - valores de b Ipgp

TABELA 4 - valores de d/ 7L

TABELA 5 - valores de e/ 7
XII

TABELA 6 - valores de A/) - 4

TABELA 7 - valores de B/ /L ,&

TABELA 8 - valores de D/' 7 L

TABELA 9 - valores de E/'- ' ,@

TABELA 10 - valores de

III
TABELA 11 - valores de % x=

TABELA 12 - ~aloies de .I'/K~,
I TI I TTI

TABELA 13 , valores de 6 x IT
I b
r------
rir -i r! e

TABELA 14 - valores de H, /pg r, Aw

TABELA 15 - valores de SF
ITI
O," I
O,"

TABELA 17 - valores de %
I
TPI TV

w
TABELA 18 Comparaçao dos valores de e calculados pelo
método proposto e valores para, um cálculo a-
proxi mado.

TABELA 19 - val ores, de

TABEAA 20 - valores de p =
O
IvI f N
2
g BL r.
na segao média

I -
TABELA22 - po ao longo do nado
- - - - - - - - - - - -- - - -. - - - - - - - - - -- -- -
..................
. .-. .--.--. ...-.........j
f
i
i- . 4 i ! $.-. .-.-..i
' I 3.6 i 47,78 i 44>15 i 39930j 46925; 38,311 4&47 31,04i 34,14:
---.. -.... : . d -. ; - - : .-----.---:
i
i j 1
i
17 j 25,66 1 24.,18 i 20,721 L . 24,81 19,43,/ 21,98 15,601 17,38 .
, ,
. 1 - -- -..--; r.- .
-r-L- . -e- --,
t i
i
;. 8 : 10,91~ 10,641 8,861 10,46: 7,641 8,17 j 6,03 i 6,68 1
'
................. .. .............. .- ,-- ---- . L - .-_-pi
F
I
i. i; 2,6O i 2,58 i 2,08i 2,02 1,661 1,41 1953; 1 15 8' I
. -.----i! --e--- 2 . . (
-.
I 1 r i
0,44 1 Ò,72 i . 4,61i 3,261 3 ,O7 1,62 / 1919;
0,48 j
L.---; ---. .;i-.----. .. .--. .-., 1. ........ -.--" ... -.- ..,......
i -.>- . ,-. .... ".h .--J -..-- ii i.i
- -
13
I
i

I
TABELA 23 - a,o longo do navio
-__v-_ -_k
136.
- - - -- - - --
-1
'r.
- --
l i 11 i I I I
-- --- . --., - - - . -.-. . - .
i-.
i
. . --. . . - - . - - - -

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