Autômato com Duas Pilhas - Podre

1. Introdução
Autômato com Duas Pilhas
Autômatos finitos aceitam linguagens regulares. Autômatos com pilha aceitam linguagens livres de
contexto. O aumento no conjunto de linguagens aceito deve-se simplesmente à adição da pilha ao
autômato (que funciona basicamente como uma memória). Seguindo este raciocínio, poderíamos afirmar
que duas pilhas aumentam o poder computacional do autômato? É isto que iremos explanar neste
trabalho, definindo o formalismo do Autômato com Duas Pilhas, demonstrando a sua equivalência à
Máquina de Turing e demonstrando alguns exemplos de linguagens aceitas por este formalismo.
2. Definição Intuitiva
Um Autômato com Duas Pilhas é composto por:
a) Fita: dispositivo de entrada que contém a string a ser processada.
b) Duas Pilhas: memórias auxiliares que podem ser usadas livremente para leitura e gravação
Uma pilha é dividida em células, armazenando cada uma um símbolo do alfabeto auxiliar (pode ser igual
ao alfabeto de entrada). Em uma estrutura do tipo pilha, a leitura ou gravação é sempre na mesma
extremidade (topo). Não possui tamanho fixo e nem máximo, sendo seu tamanho corrente igual ao
tamanho da palavra armazenada. Seu valor inicial é vazio.
c) Unidade de Controle: reflete o estado corrente da máquina. Possui uma cabeça de fita e uma
cabeça para cada pilha. A unidade de controle possui um número finito e predefinido de estados. Possui
uma cabeça de fita e uma cabeça para cada pilha:
➔ Cabeça da Fita: unidade de leitura que acessa uma célula da fita de cada vez e
movimenta-se exclusivamente para a direita.

➔ Cabeça da Pilha: unidade de leitura e gravação para cada pilha que move para cima
ao gravar e para baixo ao ler um símbolo. Acessa um símbolo de cada vez, estando
sempre posicionada no topo. A leitura exclui o símbolo lido.
d) Programa ou Função de Transição: comanda a leitura da fita, a leitura e gravação das pilhas
e define o estado da máquina. Programa é uma função parcial que, dependendo do estado corrente,
símbolo lido da fita e do símbolo lido de cada pilha, determina o novo estado e o símbolo a ser gravado
em cada pilha.
3. Definição Formal
Um autômato com duas pilhas é uma sêxtupla M = (Q, Σ, Γ, δ, q0, F) onde:
Q = conjunto finito de estados;
Σ = conjunto finito de símbolos de entrada;
Γ = conjunto finito de símbolos da fita;
δ = conjunto de relações de transições, que é um subconjunto finito de (K x (Σ U {e}) x Γ* x Γ*)
x (K x Γ* x Γ*), onde o terceiro parâmetro desempilha na primeira pilha, o quarto parâmetro desempilha
na segunda pilha, o sexto parâmetro empilha na primeira pilha e o setimo parâmetro empilha da segunda
pilha.
q0 = estado inicial, sendo que q0 ∈ Q
F = conjunto de estados finais, sendo que F ⊆ Q.
Para que uma transição ocorra são consultados: o estado atual, o símbolo de entrada e o topo de
ambas pilhas. A ação pode alterar qualquer um destes componentes. Uma string é aceita somente se
toda a string for processada e o estado de parada for um estado pertencente à F.
A função pode não ser total, ou seja, pode ser indefinida para alguns argumentos do conjunto de

partida; a omissão do parâmetro de leitura, representada por "?", indica o teste da correspondente pilha
vazia ou de toda a palavra de entrada lida;
O símbolo ε na leitura da fita ou de alguma pilha indica que o autômato não lê nem move a cabeça.
Note-se que, pelo menos uma leitura deve ser realizada ou sobre a fita ou sobre alguma pilha.
O símbolo ε na gravação indica que nenhuma gravação é realizada na pilha (e não move a cabeça).

4.Exemplos
4.1 - Duplo Balanceamento
Autômato com pilhas:
Duplo_Bal = { a n b n | n ≥ 0 }
A2P = ( {a,b}, {q 0 ,q 1 ,q f }, Π , q 0 , {q f }, {B})
Uma única pilha é usada para este exemplo. Note que não é necessário o uso de todas as pilhas
para o reconhecimento de determinadas linguagens. Neste exemplo tambem e feita a omissão da pilha
2 – nao sao feitas leituras nem gravacoes neste exemplo.
Entrada: aabb
Π(q 0 , a, ε , ε ) = (q 0 , B, ε ) Π (q 1 , b, B , ε ) = (q 1 , ε , ε )
Π(q 0 , a, ε , ε ) = (q 0 , B, ε ) Π (q 1 , ?, ?, ε ) = (q f , ε , ε )
Π(q 0 , b, B , ε ) = (q 1 , ε , ε )

4.2 - Triplo Balanceamento
Autômato com pilhas:
Triplo_Bal = { a n b n c n | n ≥ 0 }
A2P = ( {a,b,c}, {q 0 ,q 1 , q 2 , q f }, Π , q 0 , {q f }, {B,C})
Neste exemplo são usadas as duas pilhas.
Entrada: aabbcc
Π(q 0 , a, ε , ε ) = (q 0 , B, ε ) Π (q 1 , c, ? , C ) = (q 2 , ε , ε )
Π(q 0 , a, ε , ε ) = (q 0 , B, ε ) Π (q 2 , c, ? , C ) = (q 2 , ε , ε )
Π(q 0 , b, B , ε ) = (q 1 , ε , C ) Π (q 2 , ?, ?, ?) = (q f , ε , ε )
Π(q 1 , b, B , ε ) = (q 1 , ε , C )

5.Simulação de Máquina de Turing em Autômato com 2 Pilhas
A estrutura de fita da Máquina de Turing é simulada usando as duas pilhas como segue:
– a pilha 1 simula o conteúdo da fita à esquerda da cabeça da fita;
– a pilha 2 simula o conteúdo da fita à direita da cabeça da fita.
Exemplo: duplo balanceamento – L = { a n b n | n ≥ 0 }.

Seqüência do Processamento da Equivalência entre MT e Autômato de 2 Pilhas:
– Supõe-se que a pilha 2 esteja com todo o conteúdo da fita gravado nela, pois como a cabeça
de leitura da fita está na primeira posição, todo conteúdo da fita está situado a direita da
mesma.
– Conforme a cabeça se move para a direita, desempilha-se os valores da pilha 2 e empilha-se na
pilha 1.
– Quando a pilha 2 estiver vazia, desempilha-se da pilha 1 e então se faz o teste para ver se
ambas as pilhas estão vazias. Se estiverem, a palavra é aceita, senão é rejeitada.
6.Simulação de Autômato com 2 Pilhas em Máquina de Turing
A simulação de um Autômato de 2 Pilhas em uma Máquina de Turing é realizada de forma
bastante simples: a fita e as duas pilhas do Autômato são simuladas utilizando a fita de Turing da
seguinte maneira:
– Palavra de Entrada: corresponde às primeiras posições da fita da Máquina de Turing.
– Pilha 1: corresponde às células ímpares da fita, após a palavra de entrada.
– Pilha 2: corresponde às células pares da fita, após a palavra de entrada.
É exibido a seguir uma representação gráfica da fita de Turing, de acordo com os itens acima.

O sustenido (#) demarca o fim da palavra da entrada, local onde as pilhas começam a ser
armazenadas. É a partir desta posição que os índices de pilha passam a ser considerados, ou seja, o
primeiro elemento após # é o índice 1 (ímpar - pilha 1), e assim sucessivamente.
Considerando uma transição de Autômato com 2 Pilhas: (x, r1, w1, r2, w2), existem 2 5
possibilidades de transições. Entretanto, serão ilustradas somente as seis principais possibilidades,
sendo mostradas a seguir.
Observação: nessas possibilidades descritas, a cabeça está no início da fita - em todos os casos
abaixo a cabeça é retornada ao início, fazendo com que estasMáquinas de Turing.
– Empilha x em P1:(x, ε, x, ε, ε)

– Empilha x em P2:(x, ε, ε, ε, x)
– Desempilha x em P1:(ε, x, ε, ε, ε)

– Desempilha x em P2: (ε, ε, ε, x, ε)
– Teste Fita Vazia: (?, ε, ε, ε, ε)

– Teste Pilha 1 Vazia: (ε, ?, ε, ε, ε)
– Teste Pilha 2 Vazia: (ε, ε, ε, ?, ε)
Dessa forma, com os itens 5 e 6, pode ser definido o seguinte teorema:
O formalismo Máquina de Turing pode ser simulado pelo formalismo Autômato com 2 Pilhas
e vice-versa.
Ou seja, os Autômatos com 2 Pilhas e as Máquinas de Turing são equivalentes no ponto de vista
de processamento - tudo o que é processado por um Autômato de 2 Pilhas pode ser processado em uma
Máquina de Turing, e vice-versa.

7.Exercícios
linguagens:
Construa utilizando Automatos Finitos com Duas Pilhas reconhecedores para as seguintes
a) {a i b 2i a i | i,j ≥ 0}
b) { a i b j a i b j | i,j ≥ 0}
c) {wcw | w ∈ {a, b}*}
Bibliografia
➔ Sudkamp, Thomas A. , Languages and Machines – An Introduction to the Theory of
Computer Science, p. 250 – 252
➔ Diverio, Tiarajú A.; Menezes, Paulo B. – Teoria da Computação – Máquinas Universais e
Computabilidade – p. 117 - 121