12 MAT B FT1 PROB - Escola Secundária de Alberto Sampaio
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<strong>12</strong>ºANO<br />
ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO<br />
Matemática B<br />
Probabilida<strong>de</strong>s<br />
1. Num universo S os acontecimentos A e B são incompatíveis.<br />
Sabe-se que: P( B ) = 0,1 e que P( A∩ B ) = 0,6 .<br />
Determina P( A ) .<br />
2. Sabendo que :<br />
P( A ) = 0, 4 ; P( A∪ B ) = 0,7 e P( A∩ B ) = 0,3 , Calcula :<br />
2.1. P( B )<br />
2.2. P( A∩ B)<br />
2.3. P( A∪ B)<br />
3. Uma urna contém 10 bolas , sendo 4 azuis e 6 vermelhas . Tiram-se sucessivamente<br />
duas bolas (sem reposição). Qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> :<br />
3.1. Serem ambas azuis? 3.2. A primeira ser azul e a segunda vermelha?<br />
3.3. Serem da mesma cor?<br />
4. Interrogaram-se os funcionários <strong>de</strong> uma firma e concluiu-se que:<br />
• 85% têm telefone <strong>de</strong> re<strong>de</strong> fixa;<br />
• 70% têm telemóvel;<br />
• 10% não têm qualquer tipo <strong>de</strong> telefone.<br />
Seleccionou-se, ao acaso, um trabalhador <strong>de</strong> firma. Qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ele ter:<br />
4.1. telefone <strong>de</strong> re<strong>de</strong> fixa e não ter telemóvel ?<br />
4.2. ter telefone <strong>de</strong> re<strong>de</strong> fixa e telemóvel ?<br />
4.3. ter telemóvel e não ter telefone <strong>de</strong> re<strong>de</strong> fixa?<br />
5. O código <strong>de</strong> um cartão Multibanco é uma sequência <strong>de</strong> quatro algarismos, como por<br />
exemplo 0355.<br />
5.1. Quantos códigos diferentes existem com um e só um algarismo zero ?<br />
5.2. Imagina que um amigo teu vai adquirir um cartão Multibanco. Admitindo que o<br />
código <strong>de</strong> qualquer cartão é atribuído ao acaso, qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> o código<br />
<strong>de</strong>sse cartão ter quatro algarismos diferentes ?<br />
6. Consi<strong>de</strong>ra os algarismos 0, 1, 3, 4 e 6. Quantos números <strong>de</strong> quatro algarismos<br />
diferentes se po<strong>de</strong>m escrever, nas seguintes condições :<br />
6.1 os números são pares 6.2 contendo o algarismo 1<br />
7. Seja X uma variável <strong>de</strong>finida pela seguinte função massa <strong>de</strong> probabilida<strong>de</strong> :<br />
xi 2 4 6 8<br />
P ( X = x i ) 0,25 0,<strong>12</strong> 0,33 0,3<br />
7.1 Determina o valor médio e o <strong>de</strong>svio padrão<br />
7.2 Determina a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> o valor da variável pertencer ao intervalo :<br />
µ σ µ + σ<br />
µ − σ , µ + 2σ<br />
a ) ] − , [<br />
b ) ] [<br />
<strong>12</strong> <strong>MAT</strong> B <strong>FT1</strong> <strong>PROB</strong>.doc ESAS 2007/2008 Manuel Oliveira 1<br />
2007/08
8. Com os algarismos 0, 1, 2, 5 e 8 :<br />
8.1. Quantos números <strong>de</strong> quatro algarismos se po<strong>de</strong>m escrever?<br />
8.2. Quantos números <strong>de</strong> quatro algarismos diferentes se po<strong>de</strong>m escrever?<br />
8.3. Quantos números <strong>de</strong> quatro algarismos diferentes contém o algarismo 2?<br />
9. Dos ouvintes <strong>de</strong> uma estação radiofónica, 37% ouvem o programa X, 53 % ouvem o<br />
programa Y e 15 % ouvem os dois programas . Ao escolher aleatoriamente um<br />
ouvinte <strong>de</strong>sta estação qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que :<br />
9.1 Escute apenas um dos referidos programas?<br />
9.2 Não escute nenhum <strong>de</strong>stes dois programas ?<br />
10. Seja S o conjunto <strong>de</strong> resultados associado a uma experiência aleatória .<br />
Sejam A e B dois acontecimentos (A e B são, portanto, subconjuntos <strong>de</strong> S).<br />
Prova que:<br />
__<br />
p( A) + p( B) + p( A∩B) = 1 + p( A∩ B)<br />
11. As ida<strong>de</strong>s dos 500 alunos <strong>de</strong> uma escola seguem uma distribuição normal , sendo a<br />
média das ida<strong>de</strong>s igual a 15 anos e o <strong>de</strong>svio padrão 2 anos .<br />
11.1 Escolhe-se um aluno ao acaso . Qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ter mais <strong>de</strong> 17 anos ?<br />
11.2 Quantos alunos têm menos <strong>de</strong> 11 anos ?<br />
11.3 Escolhido um aluno ao acaso, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ele ser mais novo do que o<br />
Manuel é, aproximadamente, 16% . Que ida<strong>de</strong> tem o Manuel ?<br />
<strong>12</strong>. Foi feito um estudo e concluiu-se que o peso médio <strong>de</strong> um jogador <strong>de</strong> futebol<br />
profissional é 74 kg e o <strong>de</strong>svio padrão 4 kg.<br />
<strong>12</strong>.1 Calcula a percentagem <strong>de</strong> jogadores com um peso entre 70 kg e 82 kg.<br />
<strong>12</strong>.2 Se existirem<strong>12</strong>00 jogadores , quantos jogadores têm menos <strong>de</strong> 66 kg ?<br />
13. Numa caixa estão três cartões, numerados <strong>de</strong> 1 a 3. Extraem-se ao acaso, e em<br />
simultâneo, dois cartões da caixa. Seja X o maior dos números saídos .<br />
Define a tabela <strong>de</strong> distribuição <strong>de</strong> probabilida<strong>de</strong> da variável X .<br />
14. Uma variável aleatória discreta X admite a seguinte função probabilida<strong>de</strong> :<br />
xi -1 0 1 2<br />
P ( X = x i )<br />
1<br />
6<br />
14.1 Calcula o valor médio µ e o <strong>de</strong>svio padrão σ .<br />
14.2 Determina a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> o valor da variável pertencer ao intervalo :<br />
µ − σ , µ + σ<br />
] [<br />
15. Sejam A e B dois acontecimentos <strong>de</strong> uma mesma experiência aleatória .<br />
________ __ __<br />
_______<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
Prova que: P ⎜ A∪<br />
B ⎟ = P⎜<br />
A⎟<br />
+ P⎜<br />
B⎟<br />
− P⎜<br />
A∩<br />
B⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
16. Um estojo tem cinco marcadores , cinco canetas e três lapiseiras , indistinguíveis ao<br />
tacto. Retiram-se dois objectos do estojo, ao acaso, sucessivamente e com reposição<br />
Qual a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> retirar:<br />
16.1 um marcador seguido <strong>de</strong> uma caneta? 16.2 duas lapiseiras ?<br />
16.3 pelo menos uma caneta ?<br />
<strong>12</strong> <strong>MAT</strong> B <strong>FT1</strong> <strong>PROB</strong>.doc ESAS 2007/2008 Manuel Oliveira 2<br />
1<br />
6<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3
17. Realizou-se um inquérito a 500 alunos <strong>de</strong> uma escola sobre a ocupação dos tempos<br />
livres . Os dados obtidos foram os seguintes:<br />
• 10% ocupam o tempo na Internet e a praticarem <strong>de</strong>sporto ;<br />
• 50% praticam <strong>de</strong>sporto ;<br />
• 30% não praticam <strong>de</strong>sporto nem utilizam a Internet .<br />
17.1 Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> respon<strong>de</strong>r que ocupa os<br />
tempos livres exclusivamente na Internet ?<br />
17.2 Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> respon<strong>de</strong>r que ocupa os<br />
tempos livres praticar <strong>de</strong>sporto ou na Internet ?<br />
17.3 De entre os alunos que praticam <strong>de</strong>sporto, quantos utilizam a Internet ?<br />
18. Sejam A e B dois acontecimentos <strong>de</strong> uma mesma experiência aleatória .<br />
__ ⎛ ⎞<br />
Sabe-se que P ⎜ A ⎟=<br />
0,<br />
25 , P ( B ) = 0,<br />
15 e P ( A ∪ B)<br />
= 0,<br />
8 .<br />
⎝ ⎠<br />
Os acontecimentos A e B são incompatíveis? Justifica a resposta.<br />
19. Num saco estão <strong>12</strong> bolas, indistinguíveis ao tacto, numeradas do seguinte modo:<br />
Seis com o número 1 , quatro com o número 2 e duas com o número 3 .<br />
Extrai-se, ao acaso , uma bola e anota-se o valor xi do número da bola extraída .<br />
19.1 Indica a distribuição <strong>de</strong> probabilida<strong>de</strong>s da variável X.<br />
19.2 Constrói o gráfico <strong>de</strong> barras da distribuição.<br />
19.3 Determina o valor médio, µ , e o seu <strong>de</strong>svio padrão σ .<br />
20. Consi<strong>de</strong>ra a seguinte distribuição <strong>de</strong> probabilida<strong>de</strong>s :<br />
20.1 Calcula o valor <strong>de</strong> a.<br />
20.2 Calcula o valor médio e o <strong>de</strong>svio padrão (arredondados às décimas).<br />
µ − σ , µ + σ .<br />
20.3 Calcula a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> a variável pertencer ao intervalo ] [<br />
21. A concentração <strong>de</strong> um poluente na água libertada diariamente por uma fábrica segue<br />
uma distribuição normal N ( 8;<br />
1,<br />
5 ) .<br />
Qual a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que num dia, escolhido ao acaso, a concentração <strong>de</strong> poluição:<br />
21.1 exceda o limite regulamentado <strong>de</strong> 9,5 ppm ( partes por milhão ) ?<br />
21.2 se encontre entre os valores 5 ppm e 6,5 ppm ?<br />
22. Numa certa experiência estão <strong>de</strong>finidos dois acontecimentos A e B tais que :<br />
P( A) = 0,5; P( B) = 0,3 E P( A∩ B)<br />
= 0,1<br />
Calcula as seguintes probabilida<strong>de</strong>s :<br />
P A 22.2 P( A∪ B)<br />
22.3 P( A∩ B)<br />
22.1 ( )<br />
xi 1 2 3 4 5 6<br />
P i 0,15 0,2 a 0,2 0,15 2a<br />
23 . Um dado tem em três faces o número 1, em duas faces o número 2 e numa face o<br />
número 3 .<br />
23.1 Determina a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ao lançar o dado sair 1.e 2? e 3 ?<br />
23.2 Determina a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> em dois lançamentos seguidos sair soma 3.<br />
<strong>12</strong> <strong>MAT</strong> B <strong>FT1</strong> <strong>PROB</strong>.doc ESAS 2007/2008 Manuel Oliveira 3
24. Num dado não equilibrado a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> "sair 6" é 0,4, tendo as restantes faces<br />
igual probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ocorrer.<br />
24.1 Mostre que, efectuando apenas um lançamento <strong>de</strong>ste dado, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> "sair<br />
1" é 0,<strong>12</strong>.<br />
24.2 Lançando cinco vezes consecutivas o dado referido qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> se<br />
obter duas e só duas vezes "um número ímpar"?<br />
25. Lança-se três vezes um dado equilibrado com as faces numeradas <strong>de</strong> 1 a 6.<br />
Indique, justificando, qual dos acontecimentos seguintes é mais provável:<br />
- nunca sair o número « 6 »;<br />
- saírem todos os números diferentes.<br />
26. O João frequenta a <strong>Escola</strong> <strong>Secundária</strong> da cida<strong>de</strong> mais próxima do local on<strong>de</strong> vive.<br />
Diariamente, só tem duas possibilida<strong>de</strong>s para se <strong>de</strong>slocar até à escola: <strong>de</strong> comboio<br />
ou <strong>de</strong> autocarro. Como prefere o autocarro, 60% das vezes escolhe esse meio <strong>de</strong><br />
transporte. Sabendo que a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> chegar atrasado às aulas é 22% e que a<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ir <strong>de</strong> autocarro e chegar atrasado é <strong>12</strong>%, calcule a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> o<br />
João:<br />
26.1 Não chegar atrasado e não ir <strong>de</strong> autocarro.<br />
26.2Chegar atrasado ou ir <strong>de</strong> autocarro.<br />
26.3Ir <strong>de</strong> autocarro dado que chegou atrasado.<br />
27.Consi<strong>de</strong>remos a experiência aleatória que consiste em observar se, após a refeição,<br />
os clientes <strong>de</strong> um <strong>de</strong>terminado restaurante pe<strong>de</strong>m ou não sobremesa e se pe<strong>de</strong>m ou não<br />
café. Os dados registados revelam que 57% dos clientes pe<strong>de</strong>m sobremesa, 65% pe<strong>de</strong>m<br />
café e 25% pe<strong>de</strong>m sobremesa e café.<br />
Determine a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um cliente <strong>de</strong>sse restaurante, escolhido ao acaso:<br />
27.1 Pedir café ou sobremesa.<br />
27.2 Pedir café sabendo que pediu sobremesa.<br />
27.3 Pedir sobremesa sabendo que pediu café.<br />
27.4 Não pedir café nem sobremesa.<br />
28. Seja X a variável aleatória que representa o número <strong>de</strong> vezes que <strong>de</strong>terminado<br />
indivíduo vai ao cinema (por semana).<br />
A distribuição <strong>de</strong> probabilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> X é a seguinte:<br />
X = xi 0 1 2 3 4<br />
P(X=xi) 0,20 0,45 0,20 0,10 0,05<br />
28.1 Determine a média e o <strong>de</strong>svio padrão <strong>de</strong>sta distribuição.<br />
28.2 Qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> o número <strong>de</strong> idas ao cinema pertencer ao intervalo<br />
µ −<br />
σ , µ + 2σ<br />
] [<br />
<strong>12</strong> <strong>MAT</strong> B <strong>FT1</strong> <strong>PROB</strong>.doc ESAS 2007/2008 Manuel Oliveira 4
Soluções:<br />
1. 0,3 2.1 0, 4 2.2 0,1 2.3 0,7 3.1 2<br />
15<br />
4<br />
3.2<br />
15<br />
7<br />
3.3<br />
15<br />
4.1 20% 4.2 65% 4.2 5% 5.1 2916 5.2 0,504 6.1 60 6.2 78<br />
7.1 µ = 5,36 δ = 2,3 7.2 45% 75% 8.1 500 8.2 96 8.3 78<br />
9.1 60% 9.2 25% 11.1 15.87% 11.2 11 11.3 13 <strong>12</strong>.1 81.85%<br />
<strong>12</strong>.2 27<br />
16.1 25<br />
169<br />
13<br />
9<br />
16.2<br />
169<br />
16.3 105<br />
169<br />
14.1 µ = 0,83; σ = 1,07 14.2 0,5<br />
17.1 0, 20 17.2 0,7 17.3 50<br />
19.1 19.3 µ = 1,67 ; σ = 0,75 20.1 0,1<br />
20.2 µ = 3,6; σ = 1,7 20.3 0,65 21.1 15,87 21.2 13,59 22.1 0,5<br />
22.2 0,7 22.3 0, 4 23.1 1 ; 1 ; 1<br />
2 3 6 23.2 1<br />
3<br />
24.2 0,34<br />
25. 0,58; 0,56 26.1 0,30 26.2 0,70 26.3 0,55 27.1 0,97<br />
27.2 0, 44 27.3 0,38 27.4 0,03 28.1 µ =1,35; σ = 1,06 28.2 0,75<br />
<strong>12</strong> <strong>MAT</strong> B <strong>FT1</strong> <strong>PROB</strong>.doc ESAS 2007/2008 Manuel Oliveira 5