Páginas 76 a 76

Resolução das atividades complementares
Matemática
M16 — Probabilidade
p. 75
1 (FGV-SP) Uma urna contém quinze bolinhas numeradas de 1 a 15.
1
a) Se uma bolinha for sorteada, qual a probabilidade de que o número observado seja divisível por 3?
3
b) Se duas bolinhas forem sorteadas sucessivamente sem reposição (a ordem dos números não é levada em
consideração), qual a probabilidade de que os números observados sejam consecutivos? 2
15
Resolução:
a) U 5 { 1, 2, 3, 4, ..., 15}
n(U) 5 15
A 5 { 3, 6, 9, 12, 15}
n(A) 5 5
P(A) 5
5
5
1
15 3
b) n(U) 5 C15,
2
2
B 1, 2}, {2, 3}, ..., {14, 1
5
15 ? 14
5 { 5}
n(B) 5 14
P(B) 5
14
15 ? 14
2
5
2
15
{ }
2 (Cesgranrio-RJ) Em uma amostra de 500 peças, existem exatamente quatro defeituosas. Retirando-se,
ao acaso, uma peça dessa amostra, a probabilidade de ela ser perfeita é de:
a) 99,0% c) 99,2% e) 99,4%
b) 99,1%
Resolução:
A: a peça é perfeita:
n(A) 5 500 2 4 5 496;
n(U) 5 500
d) 99,3%
P(A) 5
496
500
5 0,992 ou 99,2%

3 (Unicamp-SP) O sistema de numeração na base 10 utiliza, normalmente, os dígitos de 0 a 9 para
representar os números naturais, sendo que o zero não é aceito como o primeiro algarismo da esquerda.
Pergunta-se:
a) Quantos são os números naturais de cinco algarismos formados por cinco dígitos diferentes? 27 216
b) Escolhendo-se ao acaso um desses números do item a, qual a probabilidade de que seus cinco algarismos
estejam em ordem crescente? 1
Resolução:
216
a)
9 ? A 9, 4 5 9 ? ( 9 ? 8 ? 7 ? 6) 5 27 216
b) No sistema decimal, a quantidade de números naturais com todos os cinco algarismos em ordem
crescente é C . 9, 5
C
9!
9, 5 5 5 P(B) 5 5
5! 4!
126
126 1
27 216 216
4 (EEM-SP) Lançando simultaneamente dois dados, cujas faces são numeradas de 1 a 6, qual a
probabilidade de:
a) obter números cujo produto seja ímpar?
Resolução:
n(U) 5 6 ? 6 5 36
1
4
b) obter números cujo produto seja par?
3
4
a) A 5 {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)} ⇒ n(A) 5 9
P(A) 5
n(A)
n(U)
5
9
36
5
1
4
b) B 5 A ⇒ P(B) 5 1 2 P(A) 5 1 2
1
5
4
3
4
5 (Uniube-MG) A probabilidade de se obter um número divisível por 5, na escolha ao acaso de um
número obtido pelas permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, é igual a:
a) 1
5
c) 1
3
e)
1
b) 1
4
d)
1
2
Resolução:
n(U) 5 P ⇒ n(U) 5 5! 5 120
5
Para o número ser divisível por 5, nesse caso, o algarismo das unidades deve necessariamente ser o 5.
Logo, o número de casos favoráveis do evento é dado por:
n(A) 5 P4 ⇒ n(A) 5 4! 5 24
P(A) 5
n(A)
n(U)
⇒ P(A) 5
24
120
5
1
5

6 (Cesgranrio-RJ) O dispositivo que aciona a abertura do cofre de uma joalheria apresenta um teclado
com nove teclas, sendo cinco algarismos (0, 1, 2, 3, 4) e quatro letras (x, y, z, w). O segredo do cofre é uma
seqüência de três algarismos seguidos de duas letras. Qual a probabilidade de uma pessoa, numa única
tentativa, ao acaso, abrir o cofre?
a) 1
7 200
c) 1
1 500
e)
1
200
b) 1
d)
2 000
p. 76
Resolução:
5 5 5 4 4
P(A) 5
1
⇒ P(A) 5
n(U)
1
720
3 2
⇒ n(U) 5 5 ? 4 5 2 000
1
2 000
7 (Vunesp-SP) Escolhem-se aleatoriamente três dos seis vértices de um hexágono regular. Qual a
probabilidade de que os vértices formem um triângulo eqüilátero? 1
Resolução:
10
n(U) 5 C 5 20
6, 3
A: formar um triângulo eqüilátero
Observando a figura, conclui-se que é possível formar apenas
A B
2 triângulos eqüiláteros (ACE e BDF) com os vértices de um
hexágono regular.
F C
n(A)
Logo, n(A) 5 2 ⇒ P(A) 5 5
2
5
n(U) 20
1
10
8 (UEL-PR) Considere todos os anagramas da palavra LONDRINA que começam e terminam pela letra
N. A probabilidade de escolher-se ao acaso um desses anagramas e ele ter as vogais juntas é:
a) 1
5
c) 2
5
e)
3
5
b) 1
4
d)
1
2
Resolução:
n(U) 5 P 6 5 6! ⇒ n(U) 5 720
A: anagramas com as 3 vogais juntas.
n(A) 5 3! 4! 5 6 ? 24 5 144
n(A)
P(A) 5 5
144
5
n(U) 720
1
5
E
D

9 (FGV-SP) O código de acesso de um cartão de crédito é formado por seis dígitos decimais. Cada
dígito é um número inteiro que pode assumir qualquer valor entre 0 e 9. Tendo extraviado seu cartão de
crédito, Alexandre receia que um estranho o encontre e tente descobrir o código. Calcule a probabilidade
aproximada de alguém acertar o código do cartão de Alexandre num total de 1 000 tentativas aleatórias e
distintas.
Resolução:
n(U) 5 106 A: acertar o código em uma tentativa
n(A)
n(A) P(A)
1
n(U) 10 6
5 1 ⇒ 5 5
Como o estranho irá tentar 1 000 vezes, temos:
P 5 1 000 ? P(A) 5 103 ? 1026 5 1023 0,1%
ou 0,1%
10 (Fuvest-SP) Sorteiam-se dois números naturais ao acaso, entre 101 e 1 000 inclusive, com reposição.
Calcule a probabilidade de que o algarismo das unidades do produto dos números sorteados não seja zero. 73%
Resolução:
3
n(U) 5 10 ? 10 5 100
Z: produto de final zero
n(Z) 5 27 P(Z) 5
o
27
100
o
0 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0 0
0
0 0
5 0 0 0 0 0
6 0 0
7 0
8 0 0
9 0
Finais dos n os de 00 a 000.
Probabilidade do produto cujo algarismo das unidades não é zero:
P(Z) 5 1 2 P(Z) ⇒ P(Z) 5 1 2
27
100
5
73
100
ou 73%
Finais dos n os de 00 a 000.

11 Na gaveta de um armário há duas chaves tipo A e uma tipo B. Noutra gaveta há um cadeado que é
aberto pelas chaves do tipo A e três que são abertos pelas chaves do tipo B. Uma pessoa escolhe, ao acaso,
uma chave da primeira gaveta e um cadeado da segunda gaveta. Qual a probabilidade de o cadeado ser aberto
pela chave escolhida? 5
12
Resolução:
a_ a_
1 gaveta 2 gaveta
2
1
3
3 chaves 4 cadeados
P(Tipo A): 2
3
1
2
P(Tipo B):
12
1
P(A ou B):
3
2
?
1
5 ?
3
5
3
4
4 12 12
12 (Vunesp-SP) Uma pesquisa sobre grupos sangüíneos ABO, na qual foram testadas 6 000 pessoas de
uma mesma raça, revelou que 2 527 têm o antígeno A, 2 234 o antígeno B e 1 846 não têm nenhum antígeno.
Nessas condições, qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas, escolhida aleatoriamente, tenha os dois
antígenos? 10,12%
Resolução:
n(U) 5 6 000
n(A) 5 2 527; n(B) 5 2 234; n(O) 5 1 846
n(A B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A B), em que
n(A B) 5 6 000 2 1 846 5 4 154
n(A B) 5 2 527 1 2 234 2 4 154 5 607
n(A B)
P(A B) 5 5
n(U)
607
6 000
0, 1012 ou 10,12%
5
1
3
5
12
13 (PUCC-SP) Lança-se um par de dados não-viciados. Se a soma nos dois dados é 8, calcule a
probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles. 2
5
Resolução:
A: Ocorre a face 5 num dos dados
A 5 {(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (6, 5)}; n(A) 5 11
B: Soma nos dois dados igual a 8
B 5 {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}; n(B) 5 5
A B 5 {(3, 5), (5, 3)} ⇒ n(A B) 5 2
n(A B)
P(A/B) 5 5
2
n(B) 5
5
12

14 Dois jogadores, Kléber e Arnaldo, lançam um dado, uma única vez cada um. Vence o jogo quem tirar
o maior número. Sabendo que Kléber tirou 4, qual a probabilidade de:
a) Kléber vencer o jogo? 1
2
b) haver empate? 1
6
c) Arnaldo vencer o jogo? 1
3
Resolução:
n(U) 5 36
n(K) 5 6 ⇒ P(K) 5
n(K)
n(U)
5
6
36
5
1
6
a) A: tirar um número menor que 4 ⇒ n(A) 5 18 e P(A)
n(A K) 5 3 ⇒ P(A K) 5
1
n(A K)
n(U)
5
3
36
5
P(A/K) 5
P(A K)
P(K)
5
12
1
6
5
1
2
b) A: tirar o número 4 ⇒ n( A)
5 6 e P(A) 5
6
36
5
1
6
1
n( A K) 5 1 ⇒ P(A K) 5
1
36
⇒ P(A/K) 5
36
1
6
5
15 (MACK-SP) A probabilidade de um casal ter um filho do sexo masculino é 1
. Então, supondo que o
4
casal venha a ter três filhos, a probabilidade de serem exatamente dois do mesmo sexo é:
a) 3
16
c) 3
8
e)
9
16
b) 1
16
d)
1
8
Resolução:
P(M) 5
1
; P(F) 5
4
3
4
6
5
1
12
18
36
5
c) A: tirar um número maior que 4 ⇒ n(A) 5 12 e P(A) 5
12
36
1
5
1
3
n(A K) 5 2 ⇒ P(A K) 5
2
36
5
1
18
⇒ P(A/K) 5
18
5
O casal terá exatamente
dois filhos do mesmo sexo se, e somente se, não tiver os três filhos do mesmo sexo.
3 3
Logo, P(E) 5 1 2
1
2
3 ( 4 ) ( 4 )
P(E) 5 1 2
1
64
2
27
64
5
36
64
5
9
16
1
6
1
6
1
2
1
3

16 (UFLA-MG) Um grupo de 100 pessoas apresenta a seguinte composição:
louras morenas total
olhos azuis 10 20 30
olhos castanhos 30 40 70
Total 40 60 100
Marcando-se um encontro com uma delas, escolhendo seu nome ao acaso, qual a probabilidade de sair:
a) uma loura?
2
5 1
b) uma loura de olhos castanhos ou uma morena de olhos azuis?
2
2
c) uma morena de olhos castanhos?
5
Resolução:
n(U) 5 100
a) n(L) 5 40 ⇒ P(L) 5
n(L)
n(U)
5
40
100
5
2
5
b) P 5 P(L C) 1 P(M A)
⎧
P(L C) 5
⎪
Pela tabela, temos:
⎨
⎪P(M
A) 5
⎩⎪
n(L C)
5
30
n(U) 100
n(M
A)
5
20
n(U) 100
P 5
30
100
1
20
100
5
50
100
5
1
2
c)
n(M C)
P(M C) 5 5
40
5
n(U) 100
2
5
17 (UFSCar-SP) Gustavo e sua irmã Caroline viajaram de férias para cidades distintas. Os pais
recomendam que ambos telefonem quando chegarem ao destino. A experiência em férias anteriores
mostra que nem sempre Gustavo e Caroline cumprem esse desejo dos pais. A probabilidade de Gustavo
telefonar é 0,6 e a probabilidade de Caroline telefonar é 0,8. A probabilidade de pelo menos um dos
filhos contactar os pais é:
a) 0,20 c) 0,64 e) 0,92
b) 0,48 d) 0,86
Resolução:
p: probabilidade de nenhum dos filhos telefonar
1 – p: probabilidade de pelo menos um dos filhos telefonar
Temos, então: p 5 (1 2 0,6) ? (1 2 0,8) 5 0,4 ? 0,2 5 0,08
1 2 p 5 1 2 0,08 5 0,92
7

18 (UCSal-BA) Das 180 pessoas que trabalham em uma empresa, sabe-se que 40% têm nível universitário
e 60% são do sexo masculino. Se 25% do número de mulheres têm nível universitário, a probabilidade de
selecionar-se um funcionário dessa empresa que seja masculino e não tenha nível universitário é:
a) 5
12
c) 2
90
e)
5
36
b) 3
10
d)
1
5
Resolução:
N N Total
M 54 54 108
F 18 54 72
Total 72 108 180
P(M N) 5 P(M/N) ? P(N)
P(M N) 5 54
108
?
108
180
P(M N)
5
19 (Unesp-SP) Um piloto de Fórmula 1 estima que suas chances de subir ao pódio numa dada prova
são de 60% se chover no dia da prova, e de 20% se não chover. O Serviço de Meteorologia prevê que a
probabilidade de chover durante a prova é de 75%. Nessas condições, calcule a probabilidade de que o piloto
venha a subir ao pódio.
Resolução:
50%
A: pódio com chuva ⇒ P(A) 5
60
100
5
3
5
B:
pódio sem chuva ⇒ P(B) 5
20
100
5
1
5
C: chove na prova ⇒ P(C) 5
75
100
5
3
4
e P(C) 5
1
4
P: subir ao pódio ⇒ P(P) 5 P(A) ? P(C) 1 P(B) ? P(C)
P(P) 5
3
?
3
1
5 4
1
5
?
1
5
9
1
1
5
1
ou 50%
4 20 20 2
20 (FGV-SP) Num certo país, 10% das declarações de imposto de renda são suspeitas e submetidas a
uma análise detalhada; entre estas verificou-se que 20% são fraudulentas. Entre as não suspeitas, 2% são
fraudulentas.
a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser suspeita e fraudulenta? 2%
b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade de ela ter sido suspeita? 52,6%
Resolução:
F NF Total
S 0,020 0,080 0,100
NS 0,018 0,882 0,900
Total 0,038 0,962 1,000
a) P(S F) 5 0,020 ou 2%
b) P(S/F) 5
P( S F) P(F)
5
0,020
0,038
5
10
19
8
3
10
0,526 ou 52,6%

21 Vítor e Bruno lançam um dado comum três vezes. Vítor apostou que o número 5 sairá pelo menos
uma vez e Bruno que o número 5 não sairá em nenhum dos três lançamentos. Qual deles tem mais chance
de ganhar a aposta? Justifique. Bruno, pois 125
216
.
91
216
Resolução:
n(U) 5 63 5 216
B: não sairá nos lançamentos
3
n(B)
n(B) 5 5 5 125 ⇒ P( B)
5 5
n(U)
V: sairá pelo menos uma vez o 5
125
216
V 5 B e P(V) 5 1 2 P( B)
5 1 2
125
⇒ P(V) 5
216
9
91
216
Bruno tem mais chances de ganhar a aposta, pois P(B) . P(V).
22 (PUC-SP) Dos 50 candidatos que se apresentaram para preencher as vagas de empregos em certa
empresa, sabe-se que: 40% são fumantes e 50% têm curso superior. Se 75% dos fumantes não têm curso
superior, qual a probabilidade de serem selecionados dois candidatos que não fumem e não tenham curso
superior? 9
245
Resolução:
40% de 50 5 20 50% de 50 5 25 75% de 20 5 15
F F Total
S 5 20 25
S 15 10 25
Total 20 30 50
A probabilidade de selecionar um não-fumante que não tenha curso superior é dada por:
n(F S)
P 1(F
S)
n(U)
5 5
10
5
50
Agora, para o segundo candidato, temos: n 2 (U) 5 49;
n 2(F
S)
n 2(F S) 5 9. Logo: P 2(F
S) 5 5
n (U)
P 5 P ? 5
1
?
9
1(F S) P 2(F
S)
5
5 49
1
5
2
9
245
9
49