Estatistica Inf - Probabilidade
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PROBABILIDADE<br />
Prof. Weber Campos<br />
webercampos@gmail.com
www.OLAAMIGOS.com.br<br />
1. CONCEITOS INICIAIS<br />
www.OLAAMIGOS.com.br<br />
PROBABILIDADE<br />
Ocorre que a Teoria da <strong>Probabilidade</strong> faz uso de uma nomenclatura própria, de modo que há três<br />
conceitos fundamentais que temos que passar imediatamente a conhecer: Experimento Aleatório,<br />
Espaço Amostral e Evento.<br />
# Experimento Aleatório: é o experimento que mesmo repetido diversas vezes sob as mesmas<br />
condições, podem apresentar resultados diferentes.<br />
Exemplos de experimento aleatório:<br />
à lançar um dado e observar o resultado;<br />
à lançar duas moedas e observar o número de caras obtidas;<br />
à selecionar uma carta de um baralho de 52 cartas e observar seu naipe.<br />
# Espaço Amostral: é nada mais, senão o “conjunto dos resultados possíveis” de um Experimento<br />
Aleatório.<br />
Designaremos o Espaço Amostral por “S”. Consideremos os exemplos abaixo, e determinemos os<br />
respectivos espaços amostrais:<br />
a) lançar um dado, e observar a face de cima.<br />
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}<br />
b) lançar duas moedas e observar as faces de cima.<br />
S = { (cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa) }<br />
c) lançar duas moedas e observar o número de caras.<br />
S = {0, 1, 2}<br />
d) Verificar, uma a uma, o número de peças defeituosas em um lote de 15 peças.<br />
S = {0, 1, 2, 3,..., 14, 15}<br />
O terceiro conceito essencial ao estudo da <strong>Probabilidade</strong> é o conceito de Evento.<br />
# EVENTO: um evento será um subconjunto do Espaço Amostral. Designaremos um evento por uma letra<br />
maiúscula.<br />
Diremos que ocorreu um evento A, quando o resultado do Experimento Aleatório for pertencente<br />
ao subconjunto A.<br />
Entendamos melhor por meio do exemplo abaixo:<br />
à Experimento Aleatório: lançar um dado e observar a face para cima.<br />
à Espaço Amostral: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} à n(S) = 6<br />
à Evento A: obter um resultado par no lançamento do dado.<br />
A = { 2, 4, 6 } à n(A)=3<br />
à Evento B: obter um múltiplo de 2 no lançamento do dado.<br />
B = { 2, 4, 6 } à n(B)=3<br />
à Evento C: obter um resultado maior ou igual a 7 no lançamento do dado.<br />
C = { } (ou seja: vazio!) à n(C)=0<br />
Quando isso acontecer, estaremos diante de um “evento impossível”!<br />
à Evento D: obter um resultado menor do que 7 no lançamento do dado.<br />
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (igual ao espaço amostral) à n(D)=6<br />
Quando isso acontecer, estaremos diante de um “evento certo”!<br />
<strong>Probabilidade</strong> 2 Prof. Weber Campos
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2. FÓRMULA ELEMENTAR DA PROBABILIDADE<br />
à Fórmula da <strong>Probabilidade</strong>: a probabilidade de ocorrência de um evento “X”, dado determinado<br />
experimento aleatório, e considerando que cada elemento do espaço amostral deste experimento tem a<br />
mesma probabilidade, será calculada por:<br />
Prob(X) = n(X) = número de resultados favoráveis ao evento X<br />
n(S) número de resultados possíveis<br />
Onde: à n(S) é o número de elementos do espaço amostral do experimento; e<br />
à n(X) é o número de elementos do evento X.<br />
Como dissemos, a fórmula acima é aplicável quando os elementos do espaço amostral tiverem a<br />
mesma probabilidade. Por exemplo, num lançamento de uma moeda “honesta” (não viciada), com faces<br />
cara e coroa, essas duas faces têm a mesma chance de serem sorteadas, daí terão a mesma<br />
probabilidade. No entanto, se tivermos uma moeda viciada, a chance de sorteio de uma das faces é maior<br />
que a da outra, daí as probabilidades das faces serão diferentes.<br />
Portanto, podemos usar a fórmula da probabilidade supracitada para o primeiro caso (o da moeda<br />
honesta), mas, para o segundo caso (o da moeda viciada), não é possível.<br />
3. TEOREMAS DA PROBABILIDADE<br />
Destacamos os seguintes teoremas:<br />
1. O menor valor que a probabilidade de um evento pode ter é 0 (indicando que o evento é impossível) e o<br />
maior valor é 1 (indicando que o evento certamente irá ocorrer). Então, em geral:<br />
0 ≤ P(X) ≤ 1<br />
2. A soma das probabilidades de cada elemento do espaço amostral é igual a 1.<br />
No caso do lançamento de um dado, teremos, então, que:<br />
à P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) = 1<br />
3. A probabilidade de ocorrência de um evento X somada com a probabilidade de não ocorrência desse<br />
mesmo evento é igual a 1.<br />
Prob(X ocorrer) + Prob(X não ocorrer) = 1<br />
Dizemos que os eventos “X ocorrer” e “X não ocorrer” são eventos complementares. Portanto, a<br />
soma das probabilidades de eventos complementares é igual a 1.<br />
Em termos de conjunto, dois eventos complementares A e B podem ser representados como:<br />
A<br />
São também exemplos de eventos complementares:<br />
à P(ganhar o jogo) + P(não ganhar o jogo) = 1<br />
à P(réu inocente) + P(réu culpado) = 1<br />
à P(cara) + P(coroa) = 1<br />
à P(par no dado) + P(ímpar no dado) = 1<br />
à P(a nota é no mínimo 2) + P(a nota é menor do que 2) = 1<br />
à P(a nota é no máximo 9) + P(nota igual a 10) = 1<br />
B<br />
à P(nascer pelo menos 1 menina) + P(nascer nenhuma menina) = 1<br />
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Esta relação será utilizada muitas vezes nas soluções de questões de probabilidade. Através<br />
dela, podemos calcular a probabilidade de um evento ocorrer a partir da probabilidade do evento<br />
complementar. Por exemplo, se uma questão pede a probabilidade de ocorrer pelo menos uma cara no<br />
lançamento de três moedas viciadas. É mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar, ou<br />
seja, calcular P(nenhuma cara), pois só temos uma situação favorável, a qual é: (coroa, coroa, coroa).<br />
Achada esta probabilidade, é só lançar na nossa relação para encontrar a probabilidade da ocorrência do<br />
evento desejado na questão. Resolveremos exemplos deste tipo mais adiante.<br />
4. PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES<br />
Dois eventos, A e B, são independentes quando a ocorrência, ou não-ocorrência, de um deles não<br />
afeta a probabilidade de ocorrência do outro.<br />
Por exemplo, ao efetuarmos dois lançamentos sucessivos de uma moeda, os eventos “cara no<br />
primeiro lançamento” e “coroa no segundo lançamento” são eventos independentes, uma vez que o<br />
resultado do primeiro lançamento da moeda não afeta a probabilidade de ocorrência do resultado coroa<br />
no segundo lançamento.<br />
Porém, ao retirarmos duas cartas sem reposição de um baralho, os eventos “às na primeira<br />
retirada” e “valete na segunda retirada” são eventos dependentes, porque ao retirarmos a primeira carta,<br />
dada a ocorrência, ou não, do “ás”, o total de cartas do baralho sofrerá uma redução, alterando desta<br />
forma a probabilidade da segunda carta.<br />
E se retirarmos duas cartas com reposição, esses eventos serão independentes? Quando<br />
repomos a carta retirada, o número de cartas de cada tipo (às, valete, dama,...) não se altera e nem, é<br />
claro, o total de cartas. Desta forma, a probabilidade da segunda carta retirada não dependerá da primeira<br />
carta, por conseguinte, os eventos são independentes!<br />
Quando dois eventos, A e B, são independentes a probabilidade do evento B ocorrer dado que A<br />
ocorreu, simbolizada por P(B|A), será sempre igual a P(B), porque, por definição, não existe relação entre<br />
a ocorrência de tais eventos. Logo, temos a igualdade:<br />
à Prob(B|A) = Prob(B)<br />
Naturalmente, também teremos:<br />
à Prob(A|B) = Prob(A)<br />
5. PROBABILIDADE DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS<br />
Dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos se eles não podem ocorrer simultaneamente.<br />
Quer dizer que se um evento ocorreu, o outro certamente não ocorreu.<br />
Por exemplo, em apenas dois lançamentos de uma moeda, os resultados possíveis são:<br />
S = { (cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa) }<br />
Os eventos “ocorrer duas caras” e “ocorrer duas coroas” são mutuamente exclusivos, pois eles não<br />
podem ocorrer simultaneamente. Se um deles ocorre, o outro não ocorre. Mas os eventos “ocorrer<br />
exatamente 1 cara” e “ocorrer exatamente 1 coroa” não são mutuamente exclusivos, pois se o resultado do<br />
primeiro lançamento for cara e o resultado do segundo lançamento for coroa, já teremos uma situação em<br />
que os dois eventos ocorrem ao mesmo tempo.<br />
Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, ou seja, se eles não podem ocorrer<br />
simultaneamente (ou em termos de conjunto: A ∩ B = ∅), então teremos:<br />
à P(A|B) = 0;<br />
à P(B|A) = 0;<br />
à Prob(A e B) = 0.<br />
Dois eventos mutuamente exclusivos são representados graficamente por dois círculos sem<br />
interseção.<br />
Exemplo: Considere o experimento aleatório do lançamento de um dado, e os seguintes eventos:<br />
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Solução:<br />
Evento A: “resultado no dado menor do que 3”<br />
Evento B: “resultado no dado maior do que 4”<br />
Evento C: “resultado no dado maior do que 1 e menor do que 6”<br />
Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? E A e C? E B e C?<br />
O conjunto dos resultados do evento A é: {1, 2}.<br />
O conjunto dos resultados do evento B é: {5, 6}.<br />
O conjunto dos resultados do evento C é: {2, 3, 4, 5}.<br />
Observe que A e B não têm elementos em comum (A ∩ B = ∅). Logo os eventos A e B são<br />
mutuamente exclusivos.<br />
No entanto, temos elementos em comum entre A e C, e entre B e C. Logo “A e C” e “B e C” não<br />
são mutuamente exclusivos.<br />
A representação por diagramas de conjuntos para esses três eventos é:<br />
Vejamos mais alguns exemplos de eventos mutuamente exclusivos:<br />
1) Evento A: “Em uma retirada, resultar um ás”<br />
Evento B: “Em uma retirada, resultar um valete”<br />
2) Evento A: “No nascimento de 2 crianças, nascer 2 meninas”<br />
Evento B: “No nascimento de 2 crianças, nascer 2 meninos”<br />
3) Evento A: “time do Inter ganhar”<br />
Evento B: “time do Inter perder”<br />
4) Evento A: “Em dois lançamentos, obter duas caras”<br />
Evento B: “Em dois lançamentos, obter duas coroas”<br />
5) Evento A: “o atleta brasileiro ganhar medalha de ouro”<br />
Evento B: “o atleta brasileiro não ganhar medalha de ouro”<br />
6) Evento A: “o número sorteado é ímpar”<br />
Evento B: “o número sorteado é par”<br />
A<br />
7) Evento A: “No nascimento de 2 crianças, nascer pelo menos 1 menina”<br />
Evento B: “No nascimento de 2 crianças, nascer nenhuma menina”<br />
C<br />
Existe, frequentemente, alguma confusão com respeito à distinção entre eventos mutuamente<br />
exclusivos, eventos independentes e eventos complementares.<br />
Se dois eventos são complementares, então certamente eles são mutuamente exclusivos; mas a<br />
recíproca nem sempre é verdadeira. (Para dois eventos serem complementares, um evento deve ser a<br />
negação do outro!) Na lista acima de eventos mutuamente exclusivos, apenas os três últimos (5, 6 e 7) são<br />
eventos complementares.<br />
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B
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Por que os eventos do terceiro exemplo da lista acima não são complementares? Para serem<br />
complementares, a negação do evento A deveria ser o evento B; mas não é, pois a negação do “Inter<br />
ganhar” é o “Inter perder ou empatar”.<br />
E os eventos do segundo exemplo, por que não são complementares? A negação de “nascer 2<br />
meninas” não é “nascer dois meninos”, e sim “nascer no máximo 1 menina” que inclui os resultados:<br />
(menina, menino); (menino, menina); (menino, menino).<br />
Dois eventos complementares ou dois eventos mutuamente exclusivos apresentam a mesma<br />
característica de que não ocorrem simultaneamente, ou seja, a ocorrência de um evento implica na nãoocorrência<br />
do outro; enquanto eventos independentes são aqueles em que a probabilidade de ocorrência<br />
de um, não é afetada pela ocorrência do outro. Portanto, os eventos complementares e os eventos<br />
mutuamente exclusivos são altamente dependentes!<br />
6. PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE EVENTOS (Regra do “e”)<br />
Dados dois eventos, A e B, a probabilidade de ocorrência simultânea dos eventos A e B é igual a:<br />
à Prob(A e B) = Prob(A) x Prob(B|A)<br />
Onde Prob(B|A) significa a probabilidade de ocorrer B sabendo que A já tenha ocorrido.<br />
Se A e B forem eventos independentes (a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de<br />
ocorrência do outro), então a probabilidade de ocorrência de A e B, ao mesmo tempo, será encontrada<br />
pelo produto das probabilidades individuais! Assim, a regra do “e” fica simplificada para:<br />
à Prob(A e B) = Prob(A) x Prob(B)<br />
E ainda, caso os eventos A e B sejam mutuamente exclusivos (eventos que não podem ocorrer<br />
simultaneamente, ou em termos de conjunto: A∩B=∅). Assim, no nascimento de uma criança, o evento<br />
“nascer menina” e o evento “nascer menino” são mutuamente exclusivos, uma vez que ao se realizar um<br />
deles, o outro não se realiza. Desta forma, a probabilidade de ocorrência de A e B, ao mesmo tempo, será<br />
igual a zero. Na notação simbólica, teremos:<br />
à Prob(A e B) = 0.<br />
7. PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS (Regra do “ou”)<br />
à Prob(A ou B) = Prob(A) + Prob(B) – Prob(A e B)<br />
Reparemos bem na terceira parcela da fórmula acima: Prob(A e B). Esta parcela trata acerca da<br />
probabilidade de ocorrência simultânea dos eventos A e B.<br />
Aprendemos que, caso os eventos A e B sejam eventos independentes, então a probabilidade de<br />
ocorrência de A e B, ao mesmo tempo, será encontrada pelo produto das probabilidades individuais!<br />
Certo? Desta forma, para os eventos independentes, a regra do “ou” fica simplificada para:<br />
à Prob(A ou B) = Prob(A) + Prob(B) – Prob(A)xProb(B)<br />
E também sabemos que se os eventos A e B forem mutuamente exclusivos, a probabilidade de<br />
ocorrência desses dois eventos, ao mesmo tempo, será igual a zero. Assim, para eventos mutuamente<br />
exclusivos, a regra do “ou” fica simplificada para:<br />
à Prob(A ou B) = Prob(A) + Prob(B)<br />
8. PROBABILIDADE CONDICIONAL<br />
<strong>Probabilidade</strong> condicional será a probabilidade de ocorrência de um evento “A”, dado que<br />
sabemos que ocorreu um outro evento “B”.<br />
Fórmula de <strong>Probabilidade</strong> condicional:<br />
P(<br />
X e Y)<br />
P ( X dado Y)<br />
=<br />
P(<br />
X⏐⏐Y<br />
) =<br />
P(<br />
Y)<br />
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EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE<br />
01. (SEFAZ/SP APOFP 2009 ESAF) Considere que numa cidade 40% da população<br />
adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos<br />
não-‐fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da<br />
cidade escolhida ao acaso ser uma mulher?<br />
a) 44%<br />
b) 52%<br />
c) 50%<br />
d) 48%<br />
e) 56%<br />
02. (Fiscal Trabalho 1998 ESAF) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão<br />
matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em<br />
Inglês nem em Francês. Seleciona-‐se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A<br />
probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos<br />
uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a<br />
a) 30/200 c) 150/200 e) 190/200<br />
b) 130/200 d) 160/200<br />
03. (Técnico da Fazenda Estadual SP 2010 FCC) Everaldo deve escolher um número de<br />
quatro algarismos para formar uma senha bancária e já se decidiu pelos três<br />
primeiros: 163, que corresponde ao número de seu apartamento. Se Everaldo<br />
escolher de modo aleatório o algarismo que falta, a probabilidade de que a senha<br />
formada seja um número par, em que os quatro algarismos são distintos entre si,<br />
é de<br />
(A) 60%.<br />
(B) 55%.<br />
(C) 50%.<br />
(D) 45%.<br />
(E) 40%.<br />
04. (Auditor do Tesouro Municipal de Natal 2008 ESAF) Uma urna contém: 1 bola<br />
amarela; 4 bolas azuis; 10 bolas brancas; 15 bolas vermelhas; e 20 bolas pretas.<br />
Dado que na primeira extração foi retirada uma bola vermelha, a probabilidade<br />
de na segunda tentativa retirar uma bola vermelha, novamente, é:<br />
a) maior que retirar uma bola branca ou azul.<br />
b) maior que retirar uma bola preta.<br />
c) menor que retirar uma bola branca.<br />
d) menor que retirar uma bola azul.<br />
e) menor que retirar uma bola amarela ou branca ou azul.<br />
05. (TCU 2004 CESPE) Um baralho comum possui 52 cartas de 4 tipos (naipes)<br />
diferentes: paus (P), espada (E), copas (C) e ouros (O). Em cada naipe, que<br />
consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei, da dama e do<br />
valete, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens<br />
subseqüentes.<br />
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1. A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um baralho e ela conter<br />
uma das figuras citadas no texto é igual a 3/13.<br />
2. Sabendo que há 4 ases em um baralho comum, sendo um de cada naipe, conclui-‐se<br />
que a probabilidade de se extrair uma carta e ela não ser um ás de ouros é igual a<br />
1/52.<br />
3. A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de<br />
paus é igual a 11/26.<br />
06. (Analista de Controle Interno SEFAZ-‐RJ 2011 FGV) Um indivíduo lança<br />
simultaneamente três dados de 6 lados. A probabilidade de que a soma desses<br />
três dados seja 6 é<br />
(A) 4,16%.<br />
(B) 6,23%.<br />
(C) 3,25%.<br />
(D) 5,41%.<br />
(E) 4,63%.<br />
07. (AFC/STN 2008 ESAF) Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e<br />
somente se:<br />
a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula.<br />
b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A.<br />
c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B.<br />
d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A.<br />
e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1.<br />
08. (MPOG 2006 ESAF) Se E1 e E2 são dois eventos independentes, então<br />
a) a probabilidade de E1 é igual à probabilidade de E2<br />
b) E1 e E2 são mutuamente exclusivos.<br />
c) a probabilidade de E1 é maior do que a probabilidade de E2<br />
d) a probabilidade de E2 é maior do que a probabilidade de E1<br />
e) a ocorrência, ou não, de E1 não afeta a probabilidade de ocorrência de E2<br />
09. Se P(A)=1/2; P(B)=1/5; P(B|A)=2/9; e A e B são eventos dependentes, calcule:<br />
a) P(B não ocorrer)<br />
b) P(A e B)<br />
c) P(A ou B)<br />
10. Se P(A)=1/2; P(B)=1/4; e A e B são eventos independentes, calcule:<br />
a) P(A e B)<br />
b) P(A ou B)<br />
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11. Se P(A)=2/3; P(B)=1/4; e A e B são eventos mutuamente exclusivos, calcule:<br />
a) P(A e B)<br />
b) P(A ou B)<br />
12. Se P(A)=1/3; e A e B são eventos complementares, calcule:<br />
a) P(B)<br />
b) P(A e B)<br />
c) P(A ou B)<br />
13. (TFC-‐CGU 2008 ESAF) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele<br />
encontrar Ricardo é 0,40; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a<br />
0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05.<br />
Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a:<br />
a) 0,04 d) 0,45<br />
b) 0,40 e) 0,95<br />
c) 0,50<br />
14. (Fiscal de Rendas RJ 2010 FGV) Se A e B são eventos independentes com<br />
probabilidades P[A] = 0,4 e P[B] = 0,5 então P[A ∪ B] é igual a:<br />
(A) 0,2. (B) 0,4.<br />
(C) 0,5. (D) 0,7.<br />
(E) 0,9.<br />
15. (ESAF) Um dado “honesto” é lançado juntamente com uma moeda não viciada.<br />
Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda<br />
é<br />
a) 0,75<br />
b) 0,80<br />
c) 0,85<br />
d) 0,88<br />
e) 0,90<br />
16. (SEFAZ-‐RJ 2008 FGV) Sejam A e B dois eventos definidos em um espaço amostral S<br />
de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e P(A ∩ B) = 0,14. Então, pode-‐se dizer que A<br />
e B são eventos:<br />
(A) mutuamente exclusivos. (D) condicionais.<br />
(B) complementares. (E) elementares.<br />
(C) independentes.<br />
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17. (Fiscal de Rendas RJ 2009 FGV) Os eventos A e B são tais que P(A) = 0,4 e P(B) =<br />
0,9. Assinale a única alternativa que apresenta um possível valor para P(A ∩ B).<br />
(A) 0,13. (B) 0,22.<br />
(C) 0,31. (D) 0,49.<br />
(E) 0,54.<br />
18. (SEFAZ-‐RJ 2008 NCE) A tabela abaixo apresenta a distribuição de 1.000 pessoas<br />
classificadas por Sexo (Masculino e Feminino) e Estado Civil (Solteiro, Casado e<br />
Viúvo).<br />
Sexo<br />
Estado Civil<br />
Total<br />
M F<br />
Solteiro 300 200 500<br />
Casado 200 100 300<br />
Viúvo 100 100 200<br />
Total 600 400 1.000<br />
Uma pessoa é selecionada ao acaso. A probabilidade de que ela seja do sexo Feminino<br />
ou Viúva é igual a:<br />
(A) 0,6. (B) 0,2. (C) 0,4. (D) 0,7. (E) 0,5.<br />
19. (TCE-‐RN 2000 ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A<br />
probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos<br />
independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de:<br />
a) 30% d) 37%<br />
b) 32% e) 40%<br />
c) 35%<br />
20. (TFC SFC 2001 ESAF) Beraldo espera ansiosamente o convite de um de seus três<br />
amigos, Adalton, Cauan e Délius, para participar de um jogo de futebol. A<br />
probabilidade de que Adalton convide Beraldo para participar do jogo é de 25%, a<br />
de que Cauan o convide é de 40% e a de que Délius o faça é de 50%. Sabendo que<br />
os convites são feitos de forma totalmente independente entre si, a probabilidade<br />
de que Beraldo não seja convidado por nenhum dos três amigos para o jogo de<br />
futebol é:<br />
a) 12,5%<br />
b) 15,5%<br />
c) 22,5%<br />
d) 25,5%<br />
e) 30%<br />
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21. Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 vermelhas. Retiram-‐se 2 bolas ao acaso,<br />
uma após a outra. Resolva os itens abaixo:<br />
a) Se a retirada for feita SEM REPOSIÇÃO, qual é a probabilidade de que as 2 bolas<br />
retiradas sejam brancas?<br />
b) Se a retirada for feita COM REPOSIÇÃO, qual é a probabilidade de que as 2 bolas<br />
retiradas sejam brancas?<br />
22. Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 bolas brancas e 2 bolas verdes. Retira-‐se<br />
aleatoriamente, 3 bolas sem reposição. Calcule:<br />
a) A probabilidade de se obter todas da mesma cor.<br />
b) A probabilidade da 1ª bola retirada seja verde, a 2ª seja branca e a 3ª preta.<br />
c) A probabilidade de se obter nenhuma bola branca.<br />
d) A probabilidade de se obter ao menos 1 bola branca.<br />
23. (MPOG 2008 ESAF) Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas.<br />
Retirando-‐se, aleatoriamente, três bolas sem reposição, a probabilidade de se<br />
obter todas da mesma cor é igual a:<br />
a) 1/10<br />
b) 8/5<br />
c) 11/120<br />
d) 11/720<br />
e) 41/360<br />
24. (AFC-‐CGU 2008 ESAF) Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de<br />
transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6<br />
engenheiros. Sorteando-‐se, ao acaso, três desses profissionais para constituírem<br />
um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais sorteados serem<br />
do mesmo sexo é igual a:<br />
a) 0,10 d) 0,20<br />
b) 0,12 e) 0,24<br />
c) 0,15<br />
25. (Analista de Planejamento e Orçamento APO 2010 ESAF) Em uma urna existem<br />
200 bolas misturadas, diferindo apenas na cor e na numeração. As bolas azuis<br />
estão numeradas de 1 a 50, as bolas amarelas estão numeradas de 51 a 150 e as<br />
bolas vermelhas estão numeradas de 151 a 200. Ao se retirar da urna três bolas<br />
escolhidas ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de as três bolas serem<br />
da mesma cor e com os respectivos números pares?<br />
a) 10/512.<br />
b) 3/512.<br />
c) 4/128.<br />
d) 3/64.<br />
e) 1/64.<br />
<strong>Probabilidade</strong> 11 Prof. Weber Campos
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26. (Agente Tributário Estadual do estado do MS 2006 FGV) Uma urna contém 1 bola<br />
preta, 1 verde e 1 branca. Sacam-‐se, com reposição, três bolas dessa urna. Qual é<br />
a probabilidade de as bolas sacadas terem três cores diferentes?<br />
(A) 1/9 (B) 2/9<br />
(C) 1/3 (D) 4/9<br />
(E) 5/9<br />
27. (Analista do Banco Central 1998) De uma urna contendo 10 bolinhas numeradas<br />
de 1 a 10, duas são sorteadas sucessivamente sem reposição (a ordem dos<br />
números não é levada em consideração). A probabilidade de que os números<br />
sejam inferiores a 4 é:<br />
a) 3/10 d) 1/3<br />
b) 1/15 e) 19/86<br />
c) 2/7<br />
28. (ATRFB 2009 ESAF) Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de<br />
determinado banco, um correntista deve utilizar sua senha constituída por três<br />
letras, não necessariamente distintas, em determinada sequência, sendo que as<br />
letras usadas são as letras do alfabeto, com exceção do W, totalizando 25 letras.<br />
Essas 25 letras são então distribuídas aleatoriamente, três vezes, na tela do<br />
terminal, por cinco teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, assim, para<br />
digitar sua senha, o correntista deve acionar, a cada vez, a tecla que contém a<br />
respectiva letra de sua senha. Deseja-‐se saber qual o valor mais próximo da<br />
probabilidade de ele apertar aleatoriamente em sequência três das cinco teclas à<br />
disposição e acertar ao acaso as teclas da senha?<br />
a) 0,001.<br />
b) 0,0001.<br />
c) 0,000125.<br />
d) 0,005.<br />
e) 0,008.<br />
29. (Agente Tributário Estadual do estado do MS 2006 FGV) João e Pedro,<br />
começando por João, lançam alternadamente uma moeda não-‐tendenciosa até<br />
que um deles obtenha um resultado "cara". Qual é a probabilidade de serem<br />
feitos, no máximo, três lançamentos?<br />
(A) 1/8 (B) 1/2<br />
(C) 3/4 (D) 7/8<br />
(E) 15/16<br />
30. (Fiscal de Rendas RJ 2008 FGV) Um candidato se submete a uma prova contendo<br />
três questões de múltipla escolha precisando acertar pelo menos duas para ser<br />
aprovado. Cada questão apresenta cinco alternativas, mas apenas uma é correta.<br />
Se o candidato não se preparou e decide responder a cada questão ao acaso, a<br />
probabilidade de ser aprovado no concurso é igual a:<br />
(A) 0,104. (B) 0,040.<br />
(C) 0,096. (D) 0,008.<br />
(E) 0,200.<br />
<strong>Probabilidade</strong> 12 Prof. Weber Campos
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31. (ATRFB 2009 ESAF) Três amigas participam de um campeonato de arco e flecha.<br />
Em cada tiro, a primeira das amigas tem uma probabilidade de acertar o alvo de<br />
3/5, a segunda tem uma probabilidade de acertar o alvo de 5/6, e a terceira tem<br />
uma probabilidade de acertar o alvo de 2/3. Se cada uma das amigas der um tiro<br />
de maneira independente dos tiros das outras duas, qual a probabilidade de pelo<br />
menos dois dos três tiros acertarem o alvo?<br />
a) 90/100<br />
b) 50/100<br />
c) 71/100<br />
d) 71/90<br />
e) 60/90<br />
32. (Câmara dos Deputados 2007 FCC) Uma pesquisa eleitoral foi realizada com uma<br />
amostra de 500 eleitores com o objetivo de estudar a influência da idade na<br />
preferência por dois candidatos presidenciais. Os resultados obtidos foram os<br />
seguintes:<br />
Preferência Idade Candidato Candidato Indecisos Total<br />
(anos)<br />
Alfa Beta<br />
20 |⎯⎯ 30 68 117 15 200<br />
30 |⎯⎯ 50 102 70 28 200<br />
50 |⎯⎯ 80 80 3 17 100<br />
Total 250 190 60 500<br />
Duas pessoas serão selecionadas ao acaso e com reposição dentre os 500<br />
eleitores. A probabilidade de exatamente uma pertencer à faixa etária 50 |⎯⎯ 80 e<br />
preferir o candidato Alfa é<br />
(A) 168/625<br />
(B) 84/625<br />
(C) 64/625<br />
(D) 42/625<br />
(E) 21/625<br />
33. (MPU/2004 ESAF) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor<br />
fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as<br />
decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a<br />
probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é<br />
igual a:<br />
a) 0,624 d) 0,568<br />
b) 0,064 e) 0,784<br />
c) 0,216<br />
34. (AFTE/RS 2009 Fundatec) A probabilidade de um Gaúcho falar inglês é 0,20, de<br />
um Carioca é 0,25 e de um Mineiro é 0,15. Um Gaúcho, um Carioca e um Mineiro<br />
estão em uma mesa de um restaurante. Uma pessoa falando inglês aproxima-‐se<br />
desta mesa e pede uma informação. A probabilidade de ela receber algum tipo de<br />
resposta, em inglês, é:<br />
<strong>Probabilidade</strong> 13 Prof. Weber Campos
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A) 0,49<br />
B) 0,70<br />
C) 0,60<br />
D) 0,51<br />
E) 0,40<br />
35. (Especialista em Finanças Públicas SEFAZ-‐RJ 2011 CEPERJ) O número mínimo de<br />
vezes que uma moeda honesta (não viciada), com faces cara e coroa, deve ser<br />
lançada para que a probabilidade de aparecer a face cara, pelo menos uma vez,<br />
seja maior do que 95% é igual a:<br />
A) 4 vezes<br />
B) 5 vezes<br />
C) 6 vezes<br />
D) 7 vezes<br />
E) 8 vezes<br />
36. (Analista <strong>Inf</strong>ormática BACEN ESAF) Um fabricante de discos rígidos sabe que 2%<br />
dos discos rígidos produzidos falham durante o período de garantia. Assinale a<br />
opção que dá a probabilidade de que pelo menos um disco falhe numa amostra<br />
aleatória de 10 discos tomados na linha de produção.<br />
a) (0,98) 10 (0,02) 10<br />
c) 1 – (0,98) 10<br />
e) 0,2<br />
b) (0,02) 10<br />
d) 1 – (0,02) 10<br />
37. (Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas SEFAZ SP 2010 FCC) O<br />
total de funcionários em uma repartição pública é igual a 6. João e sua esposa<br />
trabalham nesta repartição em que será formada uma comissão de 3 funcionários<br />
escolhidos aleatoriamente. A probabilidade de que no máximo um deles, João ou<br />
sua esposa, faça parte da comissão é<br />
(A) 1/5<br />
(B) 2/5<br />
(C) 3/5<br />
(D) 4/5<br />
(E) 3/10<br />
38. (Câmara dos Deputados 2007 FCC) Uma rede local de computadores é composta<br />
por um servidor e 2 (dois) clientes (Z e Y). Registros anteriores indicam que dos<br />
pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vêm de Z e 70% de Y. Se o<br />
pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro.<br />
Sabendo-‐se que 2% dos pedidos feitos por Z e 1% dos feitos por Y apresentam<br />
erro, a possibilidade do sistema apresentar erro é<br />
(A) 5%<br />
(B) 4,1%<br />
(C) 3,5%<br />
(D) 3%<br />
(E) 1,3%<br />
<strong>Probabilidade</strong> 14 Prof. Weber Campos
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39. (Fiscal de Rendas RJ 2009 FGV) Um torneio será disputado por 4 tenistas (entre os<br />
quais A e B) de mesma habilidade, isto é, em qualquer jogo entre dois dos quatro<br />
jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar. Na primeira rodada, eles se<br />
enfrentarão em dois jogos, com adversários definidos por sorteio. Os vencedores<br />
disputarão a final. A probabilidade de que o torneio termine com A derrotando B<br />
na final é:<br />
(A) 1/2.<br />
(B) 1/4.<br />
(C) 1/6.<br />
(D) 1/8.<br />
(E) 1/12.<br />
40. (Fiscal de Rendas ISS/RJ 2010 ESAF) Em cada um de um certo número par de<br />
cofres são colocadas uma moeda de ouro, uma de prata e uma de bronze. Em<br />
uma segunda etapa, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, é<br />
colocada uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de<br />
prata. Por fim, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, coloca-‐se<br />
uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de bronze.<br />
Desse modo, cada cofre ficou com cinco moedas. Ao se escolher um cofre ao<br />
acaso, qual é a probabilidade de ele conter três moedas de ouro?<br />
a) 0,15<br />
b) 0,20<br />
c) 0,5<br />
d) 0,25<br />
e) 0,7<br />
<strong>Probabilidade</strong> Condicional<br />
41. (AFC-‐CGU 2008 ESAF) Uma população de indivíduos é constituída 80% por um tipo<br />
genético A e 20% por uma variação genética B. A probabilidade de um indivíduo<br />
do tipo A ter determinada doença é de 5%, enquanto a probabilidade de um<br />
indivíduo com a variação B ter a doença é de 40%. Dado que um indivíduo tem a<br />
doença, qual a probabilidade de ele ser da variação genética B?<br />
a) 1/3. d) 0,6.<br />
b) 0,4. e) 2/3.<br />
c) 0,5.<br />
42. (Oficial da Fazenda RJ 2010 CEPERJ) João é fiscal, mas não gosta de sair à rua<br />
quando chove, preferindo trabalhar em casa, no seu computador. Se chover, a<br />
probabilidade de sair para efetuar uma fiscalização é de apenas 10%. E se não<br />
chover, a probabilidade de sair para efetuar uma fiscalização será de 90%. No dia<br />
01.09.2010 estava marcada uma fiscalização para João, numa área em que a<br />
probabilidade de encontrar alguma irregularidade é de 40%. A meteorologia<br />
previa, para esse dia, uma probabilidade de 20% para ocorrência de chuva.<br />
Sabendo que João efetuou a fiscalização e encontrou irregularidade, a<br />
probabilidade de ter chovido naquele dia é, aproximadamente, de:<br />
<strong>Probabilidade</strong> 15 Prof. Weber Campos
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A) 2,70%<br />
B) 9,00%<br />
C) 10,00%<br />
D) 10,81%<br />
E) 28,80%<br />
43. (AFC/STN 2008 ESAF) Marco estuda em uma universidade na qual, entre as moças<br />
de cabelos loiros, 18 possuem olhos azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as<br />
moças de cabelos pretos, 9 possuem olhos azuis e 9 possuem olhos castanhos;<br />
entre as moças de cabelos ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem olhos<br />
castanhos. Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moças para apresentar<br />
para seu amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a moça<br />
selecionada possui olhos castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a<br />
probabilidade de a moça possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a:<br />
a) 0 d) 10/50<br />
b) 10/19 e) 19/31<br />
c) 19/50<br />
44. (Analista de Planejamento e Orçamento APO 2010 ESAF) Em uma pequena<br />
localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de<br />
um bairro muito antigo que está comemorando 100 anos de existência. Dona<br />
Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comissão que<br />
será a responsável pela decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou,<br />
ao acaso, três pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora.<br />
Sabendo-‐se que Denílson não pertence à comissão formada, então a<br />
probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em termos percentuais, igual a:<br />
a) 30 %<br />
b) 80 %<br />
c) 62 %<br />
d) 25 %<br />
e) 75 %<br />
45. (ANS 2006 FCC) A tabela fornece informações sobre o tipo de câncer e a idade de<br />
500 pacientes que sofrem desta doença, internados num determinado hospital<br />
especializado na doença.<br />
Idade Câncer estomacal Câncer pulmonar Outros Total<br />
0 |⎯⎯10 0 6 60 66<br />
10 |⎯⎯30 30 9 25 64<br />
30 |⎯⎯50 100 75 55 230<br />
50 |⎯⎯70 70 60 10 140<br />
Total 200 150 150 500<br />
Ao selecionar aleatoriamente um paciente, dentre esses 500, a probabilidade dele ter<br />
câncer pulmonar ou estomacal, dado que ele tem idade inferior a 30 anos, é<br />
(A) 16/125 (D) 13/50<br />
(B) 9/26 (E) 32/65<br />
(C) 39/64<br />
<strong>Probabilidade</strong> 16 Prof. Weber Campos
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A distribuição de probabilidades dada abaixo refere-‐se aos atributos idade e violação<br />
das leis de trânsito. Represente por Ei os eventos elementares associados à idade e<br />
por Fi os eventos elementares associados à violação das leis de trânsito.<br />
46. (MPU 2004 ESAF) Assinale a opção que dá a probabilidade de que um motorista<br />
escolhido ao acaso não tenha cometido nenhuma violação de trânsito nos últimos<br />
12 meses dado que o mesmo tenha mais de 21 anos.<br />
a) 0,75 d) 0,66<br />
b) 0,60 e) 0,00<br />
c) 0,45<br />
GABARITO<br />
01 b 26 b<br />
02 d 27 b<br />
03 e 28 e<br />
04 e 29 d<br />
05 C E C 30 a<br />
06 e 31 d<br />
07 d 32 a<br />
08 e 33 e<br />
09 4/5; 1/9; 22/45 34 a<br />
10 1/8; 7/8 35 b<br />
11 0; 11/12 36 c<br />
12 2/3; 0; 1 37 d<br />
13 d 38 e<br />
14 d 39 e<br />
15 c 40 d<br />
16 c 41 e<br />
17 c 42 a<br />
18 e 43 b<br />
19 b 44 e<br />
20 c 45 b<br />
21 2/15; 4/25 46 a<br />
22 1/12; 1/24; 7/24; 17/24<br />
23 c<br />
24 d<br />
25 a<br />
<strong>Probabilidade</strong> 17 Prof. Weber Campos