Lista de Exercícios (Custos)

Lista de Exercicios - Custo Computacional - Area 2
1. Considere os vetores u, v, d, x ∈ R 5 e as matrizes M, N, I ∈ R 5×5 , onde I é a matriz identidade.
(a) Quantos flops são necessários para calcular o produto interno u·v?
(b) Quantos flops são necessários para calcular x = Mu + Nv?
(c) Quantas adições/subtrações são necessários para calcular (M + I) + (N + 5I)?
(d) Dadas as matrizes L e U da fatoração LU de uma matriz M = LU, quantos flops são necessários
para resolver o sistema Mx = d?
(e) Dadas as matrizes triangular superior U e triangular inferior L, quantos flops são necessários para
calcular a multiplicação LU?
2. Considere os vetores u, v, x ∈ R 5 e as matrizes K, M, N, L, I ∈ R 5×5 , onde I é a matriz identidade.
(a) Quantos flops são necessários para calcular u T u + 2u T v + v T v
(b) Quantos flops são necessários para calcular R(x) = x T Mx?
(c) Quantos flops são necessários para calcular K = MNM?
(d) Quantos flops são necessários para calcular M = LLL, onde L é uma matriz triangular inferior?
3. Sendo
⎛
⎜
E = ⎜
⎝
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ , A = ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
−1 1 0 0 0 0
0 −1 1 0 0 0
0 0 −1 1 0 0
0 0 0 −1 1 0
0 0 0 0 −1 1
1 0 0 0 0 −1
Considere os vetores u, v, x ∈ R n e as matrizes En, An ∈ R n×n , onde En e An são matrizes esparsas
com o mesmo formato de E e A.
(a) Quantos flops são necessários para calcular AnAn
(b) No método da potência, quantos flops são necessários para calcular λ ≈ (x T Anx)/(x T x) ?
(c) Supondo que An ∈ R n×n (da mesma forma que A), calcule quantos flops são necessários para
fatorar a matriz An como matrizes L e U, matrizes triangulares inferior e superior respectivamente.
4. Considere os sistema T x = b, onde T é uma matriz tridiagonal n×n da forma
⎛
× × 0 · · · 0
⎞
⎜
T = ⎜
⎝
×
0
.
×
×
. ..
×
×
. ..
0
0
×
. ..
×
· · ·
0
. ..
×
0 ⎟
.
⎟
. ⎟
0 ⎟
× ⎠
0 · · · 0 0 × ×
e x, b ∈ R n (considere apenas multiplicações e divisões na contagem dos flops).
(a) Considere a matriz tridiagonal S com tamanho 10×10 definida por
⎧
⎨ 2, se i = j
Sij =
⎩
j/i,
0,
se i = j + 1 ou i = j − 1;
caso contrário.
O que se pode dizer sobre a convergência do método de Jacobi para a solução do sistema Sx = b?
1
⎞
⎟ .
⎟
⎠

(b) Quantos flops são necessários para resolver o sistema tridiagonal genérico T x = b usando fatoração
LU?
(c) Quantos flops são necessários para resolver o sistema usando o método de Jacobi?
(d) Qual das duas opções acima é mais eficiente? Justifique sua escolha.
5. Considere as matrizes com tamanho n×n e vetores com tamanho n:
⎛
−2 0 . . . 0 1
⎞
⎜
A = ⎜
⎝
1
0
.
−2
. ..
. ..
0
. ..
1
. . .
. ..
−2
0
.
0
⎟ .
⎟
⎠
0 . . . 0 1 −2
Considere a matriz A ∈ R n×n dada acima e use o fato que A é esparsa:
(a) Quantos flops são necessários para calcular AA?
(b) Quantos flops são necessários para calcular o quociente de Raileygh c = (x T Ax)/(x T x)?
(c) Calcule quantos flops são necessários para fatorar a matriz A como matrizes L e U, matrizes
triangulares inferior e superior respectivamente.
6. Responda ambas as questões em termos de esforço computacional:
(a) Suponha que se queira encontrar x que satisfaça Ax = b, usando um método direto. Qual a
melhor estratégia: calcular a inversa de A ou resolver o sistema? Justifique.
(b) Suponha que seja necessário resolver um conjunto de m sistemas lineares de tamanho n que
compartilhem a mesma matriz de coeficientes A, onde m é muito maior do que n. Dentre as
opções para resolver cada sistema: por eliminação gaussiana ou por fatoração LU, qual seria a
mais indicada? Justifique.
7. Uma empresa deseja comprar um software para resolver sistemas lineares. Existem no mercado quatro
softwares para tal tarefa com custos operacionais diferentes: ExtremeLS O(5n 2 /2 + 2n/3), LUmaster
O(n 3 /3 − n 2 /4 + n/3), superQR O(2n 3 /3 + n/2 − n/4), DonkeyShot O(n 4 /9 + n). Qual deles você
escolheria? Justifique sua resposta.
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