FUVEST 2004 PRIMEIRA FASE - Elite Pré-Vestibular-Campinas

ELITE
PRÉ-VESTIBULAR
Alternativa C
Pode-se escrever f(x) da seguinte forma:
− x
⎪⎧
1−
2 seKx
≥ 0
f ( x)
= ⎨ x ⎪⎩ 1−
2 seKx
< 0
Para traçar corretamente este gráfico deve-se obter alguns pontos da
função. Com isto:
x f(x)
-100 ~1
-1 ½
0 0
1 ½
100 ~1
Portanto, o gráfico que melhor representa esta função é:
26. Um número racional r tem representação decimal da forma
r=a1a2,a3 onde 1 ≤ a1 ≤ 9, 0 ≤ a2 ≤ 9, 0 ≤ a3 ≤ 9.
Supondo-se que:
- a parte inteira de r é o quádruplo de a3,
- a1, a2, a3 estão em progressão aritmética,
- a2 é divisível por 3,
então a3 vale:
a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 9
Alternativa E
Como (a1a2)=4a3 e a3 ≤ 9, então (a1a2) ≤ 36, logo a1 ≤ 3 e a2 ≤ 6. Mas a2
é divisível por 3, logo a2 = 3 ou a2 = 6.
Usando o fato de que (a1a2) é múltiplo de 4 (pois (a1a2) = 4a3), tem-se
que a2=6 e a1 = 1 ou 3. Como a1, a2 e a3 estão em PA e a3 ≤ 9, segue
que a1 não pode ser 1, pois resultaria a3 = 11. Logo, a1 = 3, a2 = 6 e a3
= 9 (PA de razão 3).
27. Se x é um número real, x > 2 e log2(x-2) – log4x = 1, então o valor
de x é:
a) 4 − 2 3
b) 4 − 3
c) 2 + 2 3
d) 4 + 2 3
e) 2 + 4 3
Alternativa D
log 2 ( x − 2)
− log 4 x = 1
log 2 x
log 2 ( x − 2)
− = 1
2
2log
2 ( x − 2)
− log 2 x = 2
2
( x − 2)
log 2 = 2
x
2
( x − 2)
= 4
x
2
x − 4x
+ 4 = 4x
2
x − 8x
+ 4 = 0
8 ± 64 −16
8 ± 48 8 ± 4 3
x =
= = = 4 ± 2
2 2 2
3
Campinas
O ELITE RESOLVE FUVEST 2004 – PRIMEIRA FASE – PROVA V
28. Uma matriz real A é ortogonal se AA t = I, onde I indica a matriz
identidade e A t ⎡1
⎤
indica a transposta de A . Se ⎢ x
A = ⎥ é ortogonal,
2
⎢ ⎥
⎣y
z⎦
então x 2 + y 2 é igual a:
a)
1
b)
4
Alternativa E
Se a matriz A =
A.A t = I, logo:
Logo:
⎧
⎪
⎨(
1/
2)
y
⎪
⎩
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩y
2
⎡1/
2
⎢
⎣ y
3
c)
4
x⎤
z
⎥
⎦
1
d)
2
é ortogonal, temos que:
⎡1/
2
⎢
⎣ y
x⎤
⎡1/
2
⋅
z
⎥ ⎢
⎦ ⎣ x
y⎤
⎡1
=
z
⎥ ⎢
⎦ ⎣0
0⎤
1
⎥
⎦
⎡ 1 2
⎢
+ x
4
⎢1
⎢ y + xz
⎣2
1 ⎤
y + xz
2 ⎥ ⎡1
⎥ = ⎢
2 2
y + z ⎥ ⎣0
⎦
0⎤
1
⎥
⎦
1/
4 + x
2
= 1 ⇔ x
+ xz = 0 ⇔ y = −2xz
⇔ y
+ z
= 3z
= 1 ⇔ y
Portanto, x 2 + y 2 = 3/4 + 3/4 = 3/2
2
y
2
y
2
2
2
x
+ z
2
2
⇔ z
2
= 1
= 3/
4
2
=
+ ( 1/
3)
y
= 3/
4
2
=
( 1/
3)
y
2
2
3
e)
2
4x
= 1 ⇔ y
2
2
z
2
= 3z
= 3/
4
29. Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do
quadrilátero ABCD, representado abaixo em um sistema de
coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta
perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto P = (a, 0). O valor de
a para que se obtenham dois lotes de mesma área é:
a) 5 - 1 b) 5 - 2 2 c) 5 - 2 d) 2 + 5 e) 5 + 2 2
Alternativa B
Calculando temos:
⎧A
1
= área(
EADC)
⎨
⎩A
2 = área(
EBC)
3
2
2
5