Tese em PDF - departamento de engenharia florestal ...
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3.5 DISTRIBUIÇÃO BETA<br />
A FDP Beta po<strong>de</strong> ser apresentada <strong>de</strong> acordo com a equação 10. Essa é a maneira<br />
expandida da distribuição, a qual po<strong>de</strong> ser aplicada a qualquer conjunto <strong>de</strong> dados,<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte do intervalo. Ressalta-se que a distribuição, como foi concebida, ou seja, s<strong>em</strong> os<br />
valores <strong>de</strong> a e b, estendia-se <strong>de</strong> 0 a 1.<br />
f<br />
( x)<br />
⎧<br />
⎪<br />
= ⎨Γ<br />
⎪<br />
⎩0<br />
Γ(<br />
α + β )<br />
( α ) ⋅ Γ(<br />
β ) ⋅ ( b − a)<br />
α + β −1<br />
⋅<br />
α −1<br />
( x − a)<br />
⋅ ( b − x)<br />
β −1<br />
se a < x < b<br />
e.o.c.<br />
EQ. 10<br />
Deve-se, como nas d<strong>em</strong>ais distribuições, verificar se a soma das probabilida<strong>de</strong>s no<br />
intervalo <strong>de</strong> seu domínio é igual a 1, conforme EQUAÇÃO 34.<br />
b<br />
∫<br />
a<br />
Γ<br />
Γ(<br />
α + β )<br />
( α ) ⋅ Γ(<br />
β ) ⋅ ( b − a)<br />
α + β −1<br />
⋅<br />
α −1<br />
β −1<br />
( x − a)<br />
⋅ ( b − x)<br />
dx = 1<br />
EQ. 34<br />
É possível, pela manipulação da expectativa mat<strong>em</strong>ática, resolver a integral que gera o<br />
primeiro e segundo momento, obtendo-se <strong>de</strong>ssa forma as equações 35 e 36.<br />
b<br />
μ = ∫ x<br />
Γ<br />
σ<br />
b<br />
∫<br />
a<br />
2<br />
X<br />
x<br />
2<br />
a<br />
=<br />
Γ<br />
Γ(<br />
α + β )<br />
( α ) ⋅ Γ(<br />
β ) ⋅ ( b − a)<br />
2 ( X ) − E(<br />
X )<br />
2<br />
E [ ]<br />
Γ(<br />
α + β )<br />
( α ) ⋅ Γ(<br />
β ) ⋅ ( b − a)<br />
αβ<br />
2 ( α + β ) ( α + β + 1)<br />
=<br />
α + β −<br />
α + β −1<br />
⋅<br />
α −1<br />
β −1<br />
α<br />
⋅ ( x − a)<br />
⋅ ( b − x)<br />
dx =<br />
EQ. 35<br />
1<br />
α + β<br />
α −1<br />
β −1<br />
( x − a)<br />
⋅ ( b − x)<br />
dx − [ E(<br />
X ) ]<br />
2<br />
=<br />
EQ. 36<br />
Como a média e a variância <strong>em</strong>pírica aproximam-se dos parâmetros populacionais,<br />
pod<strong>em</strong> ser utilizadas as estimativas da média e da variância para ajustar o mo<strong>de</strong>lo. Da mesma<br />
forma que na Gama, a distribuição beta possui dois coeficientes a ser<strong>em</strong> ajustados, alfa e beta,<br />
os outros dois (a e b) são os limites inferior e superior, respectivamente (EQUAÇÕES 37 e<br />
38). Esse método é também conhecido como método dos momentos.<br />
α<br />
X =<br />
EQ. 37<br />
α + β<br />
αβ<br />
2<br />
σ X =<br />
EQ. 38<br />
2 ( α + β ) ( α + β + 1)<br />
38