Tese em PDF - departamento de engenharia florestal ...

3.5 DISTRIBUIÇÃO BETA
A FDP Beta pode ser apresentada de acordo com a equação 10. Essa é a maneira
expandida da distribuição, a qual pode ser aplicada a qualquer conjunto de dados,
independente do intervalo. Ressalta-se que a distribuição, como foi concebida, ou seja, sem os
valores de a e b, estendia-se de 0 a 1.
f
( x)
⎧
⎪
= ⎨Γ
⎪
⎩0
Γ(
α + β )
( α ) ⋅ Γ(
β ) ⋅ ( b − a)
α + β −1
⋅
α −1
( x − a)
⋅ ( b − x)
β −1
se a < x < b
e.o.c.
EQ. 10
Deve-se, como nas demais distribuições, verificar se a soma das probabilidades no
intervalo de seu domínio é igual a 1, conforme EQUAÇÃO 34.
b
∫
a
Γ
Γ(
α + β )
( α ) ⋅ Γ(
β ) ⋅ ( b − a)
α + β −1
⋅
α −1
β −1
( x − a)
⋅ ( b − x)
dx = 1
EQ. 34
É possível, pela manipulação da expectativa matemática, resolver a integral que gera o
primeiro e segundo momento, obtendo-se dessa forma as equações 35 e 36.
b
μ = ∫ x
Γ
σ
b
∫
a
2
X
x
2
a
=
Γ
Γ(
α + β )
( α ) ⋅ Γ(
β ) ⋅ ( b − a)
2 ( X ) − E(
X )
2
E [ ]
Γ(
α + β )
( α ) ⋅ Γ(
β ) ⋅ ( b − a)
αβ
2 ( α + β ) ( α + β + 1)
=
α + β −
α + β −1
⋅
α −1
β −1
α
⋅ ( x − a)
⋅ ( b − x)
dx =
EQ. 35
1
α + β
α −1
β −1
( x − a)
⋅ ( b − x)
dx − [ E(
X ) ]
2
=
EQ. 36
Como a média e a variância empírica aproximam-se dos parâmetros populacionais,
podem ser utilizadas as estimativas da média e da variância para ajustar o modelo. Da mesma
forma que na Gama, a distribuição beta possui dois coeficientes a serem ajustados, alfa e beta,
os outros dois (a e b) são os limites inferior e superior, respectivamente (EQUAÇÕES 37 e
38). Esse método é também conhecido como método dos momentos.
α
X =
EQ. 37
α + β
αβ
2
σ X =
EQ. 38
2 ( α + β ) ( α + β + 1)
38