Tese em PDF - departamento de engenharia florestal ...

( ) = ( −1)!
Γ α α
EQ. 27
Γ
∞
z −t
1 t ⋅ e dt
( z + ) = ∫
0
EQ. 28
Salienta-se, neste momento, a diferença da função gama e a função densidade de
probabilidade Gama. A primeira é descrita pelas equações 27 e 28, enquanto que a segunda
pela 07. A primeira expressão é um fatorial e a segunda a probabilidade de ocorrência de um
determinado evento que tenha a tendência da distribuição Gama. Para que seja considerada
uma função densidade de probabilidade é necessário que a área entre o gráfico da função e o
eixo x seja igual a 1, determinando, assim, que sua probabilidade total não seja maior que
100%. Essa verificação é realizada por meio da EQUAÇÃO 29, na qual se observa que a
premissa é verificada.
∞ −1
x
∫
0 β α
α
⋅ e
⋅ Γ
−x
β
( α )
dx = 1
EQ. 29
Outros dois fatores importantes nas distribuições probabilísticas, conforme
mencionado anteriormente, são as expressões analíticas para se determinar a média e a
variância. Utilizando-se a expectativa matemática, pode-se facilmente chegar às expressões da
média (EQUAÇÃO 30) e variância (EQUAÇÃO 31).
∞ α −1
x
μ = ∫ x α
0 β
⋅ e
⋅ Γ
− x
β
( α )
2 ( X ) − E(
X )
dx = αβ
∞ α −1
2
2 2 x
σ = E [ ] = ∫ x α
0 β
−x
β
( α )
EQ. 30
⋅ e
2 2
X dx − [ E(
X ) ] = αβ
EQ. 31
⋅ Γ
Os ajustes da distribuição Gama serão realizados pelo método dos momentos,
utilizando-se as expressões 32 e 33, apresentadas anteriormente. Como a distribuição Gama
possui dois parâmetros (α e β ), que estão relacionados à média e à variância, que podem ser
calculadas empiricamente, basta estabelecer as duas igualdades (EQUAÇÕES 32 e 33). Como
se tem duas incógnitas e duas equações, o sistema é possível e determinado.
X = αβ
EQ. 32
2
2
X = α β
EQ. 33
σ ⋅
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