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FIGURA 07 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA DISTRIBUIÇÃO BETA, PARA α = 0,5 E β = 1,5 (SÓLIDO) E α = 3 E β = 0,5 (PONTOS) A média é dada pela Equação 11 e a variância pela Equação 12. α E ( X ) = EQ. 11 α + β α ⋅ β 2 σ = EQ. 12 2 ( α + β ) ⋅ ( α + β + 1) 2.5.4 Distribuição Weibull Esta distribuição é amplamente utilizada para testes de confiabilidade e vida útil (JOHNSON; LEONE, 1964). A função densidade de probabilidade da distribuição Weibull apresenta-se conforme transcrita a seguir (EQUAÇÃO 13). Pode-se afirmar que essa é mais uma das distribuições desenvolvidas a partir do conceito de exponenciais, logo, da mesma família. Certamente mais flexível que as demais, mas ainda limitada por seu fator de variação (exponencial). Pode ser descrita como sendo o produto entre: 1) o quociente entre c e b; 2) o quociente entre a diferença entre a variável aleatória x e a, e b, elevado a c subtraído de uma unidade; e 3) a exponencial do quociente entre a diferença de x e a, e b, elevado a c, multiplicado por menos 1. 26
f ( x) ⎧ c c ⎪ ⎛ x − a ⎞ ⋅ = ⎜ ⎟ ⎨b ⎝ b ⎠ ⎪ ⎩0 −1 ⋅ e c ⎛ x−a ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ b ⎠ se x ≥ a, b > 0 e c > 0 e.o.c. EQ. 13 Assim como a função beta, a Weibull também pode assumir várias formas (FIGURA 08). A distribuição Weibull é usualmente utilizada na engenharia devido à sua versatilidade. Foi originalmente proposta para interpretação de fadiga de materiais em Stockholm por Ernst Hjalmar Waloddi Weibull, 1939, mas agora seu uso estendeu-se a muitos outros problemas de engenharia. Em particular, é comumente usada no campo dos fenômenos da vida, como uma distribuição de tempo de vida de algum objeto, particularmente quando o modelo de ligação mais fraca é apropriado para o objeto, isto é, considerar um objeto com muitas partes e supor que existirá uma falha nele. Sob essas condições, foi mostrado que a distribuição Weibull fornece uma boa aproximação com a distribuição do tempo de vida do item (ROSS, 2000). FIGURA 08 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA DISTRIBUIÇÃO WEIBULL, COM a = 1, b = 10 e c = 0,7 (SÓLIDO), COM a = 1, b = 10 e c = 1 (PONTOS), COM a = 1, b = 10 e c = 2 (TRAÇOS), COM a = 1, b = 10 e c = 3,6 (PONTOS E TRAÇOS) 27
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