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( 0, 1) p ∈ . Esta variável aleatória X será chamada de variável aleatória de Bernoulli, para algum O matemático suíço Jacques Bernoulli (1654 – 1705) estudou experimentos independentes tendo uma probabilidade de sucesso comum p. Em seu livro Ars Conjectandi (a arte de conjecturar), publicado pelo seu sobrinho Nicolas oito anos após sua morte em 1713, Bernoulli mostrou que se um número de tais experimentos for grande, então a proporção deles que terá sucesso se aproximará de p com uma probabilidade próxima de 1. Jacques Bernoulli é da primeira geração da família dos mais famosos matemáticos de todos os tempos. Sua família fez contribuições fundamentais para a probabilidade, estatística e matemática. Uma dificuldade em saber o número exato de contribuições de cada membro da família consiste no fato de que alguns deles possuíam o mesmo nome. Outra dificuldade é que eles utilizavam nomes diferentes em diferentes localidades, por exemplo, Jacques, aqui citado, assinava também como Jaques. Entretanto, seus números, influência e resultados foram prodígios. Assim como os Bach para a música, os Bernoullis para a matemática constituíram uma família que entrou para a história (ROSS, 2000). 2.4.2 Binomial Usa-se o termo binomial para designar situações em que os resultados de uma variável aleatória podem ser agrupados em duas classes ou categorias. Os dados são, pois, nominais. As categorias devem ser mutuamente excludentes, de modo a deixar perfeitamente claro a qual categoria pertence determinada observação; e as classes devem ser coletivamente exaustivas, de forma que nenhum resultado fora delas é possível (STEVENSON, 1981). A distribuição binomial é, provavelmente, a de uso mais frequente entre as distribuições discretas, nas aplicações da teoria estatística. Essa distribuição está associada com as provas repetidas de um mesmo sucesso (MOOD; GRAYBILL, 1978). Essa distribuição tem ampla aplicabilidade no campo da confiabilidade, principalmente quando se está interessado no tempo de duração de um determinado evento, duração média de um evento, entre outros (TRIOLA, 2008). f Ela é descrita conforme expressão 02 (MONTGOMERY; RANGER, 2003). ⎛n ⎞ ⎝ p⎠ X n− X ( X ) = ⎜ ⎟ p ( 1 − p) , X = 0 , 1, 2, ..., n EQ. 02 14
A distribuição probabilística binomial descreve a distribuição da variável X, o número de sucessos em n repetições, se o experimento satisfaz as seguintes condições (FREUND; WILSON, 1996): • O experimento consiste em n tentativas idênticas; • Cada tentativa resulta em uma de duas possibilidades mutuamente exclusivas, uma chamada sucesso e outra falha; • A probabilidade de sucesso em uma repetição é igual a p e permanece constante durante todo o experimento; e • Os eventos são independentes. 2.4.3 Poisson De acordo com Larson e Farber (2010), a distribuição de Poisson é útil para descrever as probabilidades do número de ocorrências num campo ou intervalo contínuo (em geral tempo ou espaço). Ela é utilizada em uma ampla gama de situações físicas, como modelo matemático para descrever, em dado intervalo de tempo, eventos tais como emissão de partículas de uma substância radiotiva, chegadas de passageiros a um terminal aéreo, distribuição de partículas de poeira que atingem certo local, chegadas de carros a um cruzamento (SOONG, 1986). Diz-se que a variável X se distribui segundo uma distribuição de Poisson se a função de quantidade é f ( X ) −m X e m = , com X = 0, 1, 2, L em que m é X! qualquer número positivo (MOOD; GRAYBILL, 1978). Essa distribuição baseia-se nas seguintes hipóteses: 1) A probabilidade de uma ocorrência é a mesma em todo o campo de observação; 2) A probabilidade de mais de uma ocorrência num único ponto é aproximadamente zero; e 3) O número de ocorrências em qualquer intervalo é independente do número de ocorrências em outros intervalos. 2.4.4 Multinomial A distribuição multinomial, segundo Stevenson (1981), é usada em situações onde há mais de dois resultados mutuamente excludentes. Tal como na binomial, exige-se que as provas sejam independentes, com probabilidade constante. Um exemplo de distribuição 15
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