ângulos - Ednaldo Ernesto

MENSAGEM FINAL
A Borboleta
Um dia, uma pequena abertura apareceu em um casulo, um homem
sentou e observou a borboleta por várias horas conforme ela se esforçava
para fazer com que seu corpo passasse através daquele pequeno buraco.
Então pareceu que ela parou de fazer qualquer progresso. Parecia
que ela tinha ido o mais longe que podia, e não conseguia ir mais longe.
Então o homem decidiu ajudar a borboleta. Ele pegou uma tesoura e
cortou o restante do casulo.
A borboleta então saiu facilmente. Mas seu corpo estava murcho e
era pequeno e tinha as asas amassadas.
O homem continuou a observar a borboleta porque ele esperava que,
a qualquer momento, as asas dela se abrissem e esticassem para serem
capazes de suportar o corpo, que iria se afirmar a tempo.
Nada aconteceu! Na verdade, a borboleta passou o resto da sua
vida rastejando com um corpo murcho e asas encolhidas.
Ela nunca foi capaz de voar.
O que o homem, em uma gentileza e vontade de ajudar, não
compreendia era que o casulo apertado e o esforço necessário a borboleta
para passar através da pequena abertura era o modo com que Deus fazia
com que o fluido do corpo da borboleta fosse para as suas asas de modo que
ela estaria pronta para voar uma vez que estivesse livre do casulo.
Algumas vezes, o esforço é justamente o que precisamos em nossa
vida.
Se Deus nos permitisse passar através de nossas vidas sem quaisquer
obstáculos, ele nos deixaria aleijados. Nós não iríamos ser tão fortes como
poderíamos ter sido.
Nós nunca poderíamos voar.
Geometria | Caderno 02 2
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MENSAGEM INICIAL
SEJA UM JOVEM GUERREIRO
(Richard Carlson)
Quer admitamos quer não, e certamente quer gostemos quer não, a vida é cheia de
dificuldades. É parte inevitável do pacote. A questão então é, os nossos problemas e
dificuldades nos arruínam, nos tomam amargos e apáticos, ou destroem o nosso espírito ? Ou são
fonte de crescimento, de sabedoria, de objetividade e de paciência ? A resposta é, depende
totalmente da maneira de encará-los.
Don Juan disse certa vez, "A diferença entre um homem comum e um guerreiro é que o
guerreiro considera tudo um desafio, enquanto que o homem comum considera tudo uma
bênção ou uma maldição." A boa notícia é que com uma pequena mudança na sua atitude, você
pode se tomar um "jovem guerreiro", o que será útil na sua vida presente e futura.
Pense nas pessoas que você mais respeita pessoas que você conhece de fato, ou
heróis que admira. Como essas pessoas reagem aos desafios e às dificuldades de suas vidas ?
Elas se lamentam e reclamam, e se consideram vítimas ? Alimentam ressentimentos ? Sentem
pena de si mesmas e pensam "Nunca conseguirei superar isso" ? É claro que não.
Agora pense nas pessoas mais próximas conhecidos, vizinhos ou simplesmente
naquelas que já soube que reclamam de absolutamente tudo. Pessoas que se comiseram com as
outras, vivem se lamentando, batem o pé e não assumem a responsabilidade pela qualidade da
própria vida.
Qual é a diferença entre esses dois tipos de pessoas ? São as circunstâncias que
envolvem suas vidas, ou é a severidade das dificuldades que enfrentam ? Nada disso ! Na
verdade, se você observar bem, verá que as pessoas que demonstram atitudes mais corajosas
muitas vezes são as que enfrentam os problemas e desafios maiores.
Alguns jovens admiráveis que conheci tiveram problemas físicos ou doenças sérias e/ou
dolorosas, superaram problemas com drogas, viveram na pobreza ou cresceram sem os pais. E
provavelmente você não ficaria surpreso se eu dissesse que alguns jovens infelizes, insatisfeitos
e apáticos que conheci vêm de famílias ricas, têm pai e mãe que os amam, são bonitos,
possuem corpos saudáveis e tudo de bom que se possa imaginar. De fato, as circunstâncias não
fazem a pessoa... elas revelam quem essa pessoa é !
A diferença entre um jovem "comum" e um "jovem guerreiro" reside no modo de
encarar os problemas, as disputas e até as dificuldades legítimas. Um adolescente comum rotula
as coisas de "boas" ou "más" e fica sobrecarregado com seus problemas. Um jovem guerreiro, por
outro lado, tenta encontrar uma dádiva oculta, por menor que seja, em cada obstáculo que
enfrenta. Li sobre um monge tibetano que foi jogado numa prisão
Geometria | Caderno 02 94
3
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chinesa e ficou lá dezoito anos. Ele revelou que considerava os guardas da prisão seus maiores
professores porque eles o ajudaram a adquirir paciência e compaixão.
Esse certamente é um exemplo extremo, mas sugere que podemos aplicar a mesma
sabedoria aos desafios diários e menos sérios que enfrentamos. Sugere que quando alguma coisa
dá errado, em vez de reagir como sempre, em vez de ter a sensação de derrota, ficar maluco ou
deprimido, podemos encarar a situação de outra forma. Há alguma coisa para aprender
paciência, objetividade, humildade, generosidade, perseverança, ou outra coisa ? Esse
problema pode, de alguma maneira, nos transformar em pessoas melhores ? Nós temos mesmo
de reagir exageradamente ? Ou será que podemos dar a volta por cima ?
O simples fato de estar aberto para a possibilidade de os problemas poderem ensinar
alguma coisa que pode existir uma dádiva oculta em geral é o bastante para transformar
os seus problemas em novas oportunidades. Mantendo a mente aberta e encarando os seus
problemas desse jeito, você também pode se transformar num jovem guerreiro.
54. O triângulo ABC da figura é isósceles com base CB. Sabendo-se que BC = CD = DE = EF = FA,
o valor do ângulo interno no vértice A é:
a) 10º b) 15º c) 20º d) 25º e) 30º
Geometria | Caderno 02 4
93
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52. (FATEC-SP) Nesta figura, r é a reta suporte da bissetriz do ângulo ABC. Se = 40º e =
30º, então:
a) = 0º
b) = 5º
c) = 35º
d) = 15º
e) Os dados são insuficientes para a
determinação de y.
53. (STA CASA-SP) O triângulo ABC, representado na figura abaixo, é isósceles de base BC. A
medida do ângulo x assinalado é:
a) 90º
b) 100º
c) 105º
d) 110º
e) 120º
AS GEOMETRIAS
É muito comum ouvirmos falar de diversas Geometrias. No decorrer do próprio curso
falaremos em Geometria Euclidiana (plana e espacial) e em Geometria Analítica. Entretanto, os
diversos tratamentos que a Geometria sofreu no decorrer dos séculos permitem uma
“classificação” mais detalhada.
GEOMETRIA EUCLIDIANA
Entre 300 a 200 a.C., Euclides de Alexandria reuniu em sua
obra Os Elementos os trabalhos de Tales e Pitágoras, assim como
outras contribuições à Geometria provenientes dos egípcios e
babilônicos. Os Elementos são compostos de treze livros, dos quais
seis são dedicados quase exclusivamente à Geometria. A importância
de Euclides está na sistematização e organização do conhecimento
geométrico e na introdução do raciocínio dedutivo. Também
contribuíram para o desenvolvimento da Geometria Euclidiana:
Arquimedes, Eratóstenes e Ptolomeu.
GEOMETRIA PROJETIVA
A Geometria Projetiva deriva dos trabalhos dos grandes mestres da pintura na
Renascença, dentre os quais se destacam Leonardo da Vinci
(1452-1519) e Albrecht Dürer (1471-1528). A organização de uma
Geometria Projetiva baseou-se na resolução de problemas ligados
à representação gráfica de objetos, pessoas e paisagens em
perspectiva, de tal maneira que suas propriedades métricas se
mantivessem invariáveis. Também contribuíram para o
desenvolvimento da Geometria Projetiva Blaise Pascal (1623-
1662) e Gérard Desargues (1593-1662).
Geometria | Caderno 02 92
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DA VINCI
EUCLIDES

GEOMETRIA ANALÍTICA
Seguindo o desenvolvimento da Geometria Projetiva, houve
necessidade de se tratar algebricamente diversos problemas que a
Geometria Euclidiana não conseguia abordar. Essa aproximação entre
a Álgebra e a Geometria, concretizada principalmente por René
Descartes (1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1665), deu origem à
Geometria Analítica, que permite a substituição das curvas por
equações que as representem. A Geometria Analítica, proposta apenas
para o plano, estende-se hoje ao espaço de três dimensões.
GEOMETRIA DESCRITIVA
Situa-se, de certa forma, entre a Geometria Euclidiana e a
Projetiva e surgiu como forma de descrever o comportamento das
curvas e das figuras em duas ou três dimensões, considerando suas
projeções planas e suas características métricas, sem recorrer a
álgebra. A Geometria Descritiva é atribuída a Gaspard Monge (1746-
1818). Teve também importantes contribuições de L. Carnot (1753-
1823) e Jean Poncelet (1788-1867). A Geometria Descritiva é, em
homenagema Monge, também denominada de Geometria Mongeana.
MONGE
GEOMETRIA DIFERENCIAL
Como o advento da Geometria Analítica, percebeu-se que
suas técnicas algébricas não se aplicavam a todos os problemas
referentes às curvas representadas por equações. A Geometria
diferencial é constituída pela associação das conquistas algébricas
do Cálculo Diferencial àquelas da Geometria Analítica. Entre seus
principais criadores estão Leonhard Euler (1707-1783) e Karl F.Gauss
(1777-1855).
DESCARTES
EULER
49. Verifique a veracidade das seguintes afirmativas:
0 0 o incentro do triângulo é equidistante dos seus vértices.
1 1 o circuncentro do triângulo retângulo é ponto médio de hipotenusa.
2 2 o circuncentro do triângulo é eqüidistante dos seus vértices.
3 3 o ex-incentro do triângulo é o ponto de intersecção de suas bissetrizes externas, e
equidista de um lado e dos prolongamentos dos outros dois.
4 4 a bissetriz externa de um triângulo é sempre perpendicular à bissetriz do ângulo
interno adjacente.
50. O maior dos ângulos externos de um triângulo mede 160º. Se as medidas dos ângulos
internos estão em progressão aritmética, dois deles medem respectivamente:
a) 60º e 100º
b) 60º e 90º
c) 20º e 75º
d) 45º e 105º
e) nenhuma das respostas acima é correta.
51. Verifique a veracidade das afirmativas:
0 0 - Todo triângulo retângulo é escaleno.
1 1 - Existe triângulo retângulo e isósceles.
2 2 - Existe triângulo retângulo equilátero.
3 3 - Existe triângulo obtusângulo isósceles.
4 4 - Todo triângulo acutângulo ou é isósceles ou é equilátero.
Geometria | Caderno 02 6
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46. Na figura abaixo, exprimir o ângulo x em função dos ângulos a, b e c.
a) x = c + b - a
b) x = c + a - b
c) x = c + a +b
d) x = c - a - b
e) x = 2c + a – b
47. Se S = â + b ˆ + ĉ + d ˆ + ê + f ˆ , considerando a figura abaixo, podemos afirmar que:
a) S = 360º
b) S = 540º
c) S = 420º
d) S é variável
e) todas as alternativas são falsas.
48. Verifique a veracidade das seguintes afirmativas:
0 0 para se inscrever uma circunferência em um triângulo, determina-se o ponto de
intersecção das bissetrizes internas.
1 1 o baricentro divide cada mediana na razão de 1 para 2 no sentido do vértice para o
lado.
2 2 o circuncentro do triângulo pertence sempre ao seu interior.
3 3 o ortocentro do triângulo retângulo coincide com o vértice do ângulo reto.
4 4 o baricentro do triângulo pertence sempre ao seu interior.
GEOMETRIAS NÃO- EUCLIDIANAS
As Geometrias chamadas não-Euclidianas surgem dos
questionamentos de alugns axiomas contidos em Os Elementos de
Euclides, Basicamente, a suposição de que “por um ponto fora de
uma reta” poderiam “passar duas paralelas à reta dada”, levou
Girolamo Saccheri (1667-1733), Gauss e, posteriormente, Nicolas
Lobatchevski (1792-1856) e Janos bolyai (1802-1860) a propor uma
nova geometria denominada Geometria de Gauss ou Gaussiana.
Partindo da alternativa de que pelo ponto não passa nenhuma
paralela, George Riemann (1826-1866) propôs uma segunda
Geometria não-Euclidiana. Essas geometrias diferem da Euclidiana,
mas, assim como ela, mantêm uma coerência entre axiomas e
teoremas.
NIKOLAY IVANOVICH LOBATCHEVSKY (1792-1856)
Nascido em Gorky (Rússia), foi contemporâneo de
Ostrogradsky. Embora não tenha gozado do mesmo prestígio
deste, devido a sua origem humilde, seu verdadeiro valor
acabou por ser reconhecido.
Firmou as geometrias não-euclidianas, baseadas na
negação do postulado de Euclides sobre paralelas,e afirmou
que, por um ponto fora de uma reta, pode ser traçada mais de
uma reta paralela à reta dada.
Esta geometria toda estruturada logicamente parecia
tão contrária ao senso comum que foi chamada de geometria
imaginária.
Entre as várias obras de Lobatchevsky estão
Geometria imaginária. Novos fundamentos da Geometria,
Pesquisas geométricas sobre a teoria das paralelas e
Pangeometria.
Geometria | Caderno 02 90
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GAUSS
LOBATCHEVSKY

43. Num triângulo qualquer, os lados medem a, b e c. Se acrescentarmos x unidades a a,
diminuirmos x/2 unidades de b, e acrescentarmos 2/3 de x unidades a c, como devemos
escolher x a fim de que o perímetro do triângulo modificado seja o dobro do perímetro do
triângulo inicial?
a) 6(a+b+c) /7
b) 7(a+b+c) /6
c) 2a + b-2c
d) 3(2a + b-2c) /5
e) Impossível determinar.
44. Num triângulo retângulo a mediana, relativa à hipotenusa, forma com a bissetriz de um
ângulo agudo do triângulo um ângulo de 120º. Calcule os ângulos agudos do triângulo:
a) 50º e 40º
b) 35º e 55º
c) 36º e 54º
d) 43º e 47º
e) 28º e 62º
45. Na figura abaixo, os segmentos AM e AN são iguais. Exprimir o ângulo X em função dos
ângulos a e b.
a) x = (a - b) /2
b) x = (a + b) /2
c) x = 2(2 + b)
d) x = 2(a - b)
e) x = 3(a + b) /2
Geometria | Caderno 02 8
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40. Assinale a afirmação falsa:
a) Em todo triângulo retângulo os ângulos agudos são complementares.
b) Em todo triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes.
c) Em todo triângulo ao maior lado se opõe o maior ângulo, ao menor lado se opõe o menor
ângulo, e a lados de medidas iguais se opõem ângulos iguais.
d) Todo triângulo equilátero é isósceles, mas nem todo triângulo isósceles é equilátero.
e) Se um triângulo tiver um ângulo obtuso é obtusângulo, se tiver um ângulo reto é
retângulo e se tiver um ângulo agudo é acutângulo.
41. Numere a segunda coluna de acordo com a primeira, associando o ponto notável da
primeira a uma característica sua na segunda:
(1) incentro ( ) está a 2/3 do vértice e 1/3 do lado.
(2) ortocentro ( ) ponto de intersecção das alturas.
(3) baricentro ( ) eqüidistante dos vértices.
(4) circuncentro ( ) centro da circunferência inscrita.
(5) ex-incentro ( ) eqüidista de um lado e dos prolongamentos dos outros.
Lendo-se a segunda coluna de baixo para cima obtemos a seqüência;
a) 3 2 4 1 5 b) 5 4 1 2 3 c) 4 1 5 2 3 d) 4 1 5 3 2 e) 5 1 4 2 3
42. Um desenhista pretende construir cinco triângulos cujos lados devem ter as medidas
seguintes.
I) 10 cm; 8 cm; 6 cm
II) 9 cm; 15 cm; 12 cm
III) 12 cm; 15 cm; 12 cm
IV) 9 cm; 8 cm; 4 cm
V) 10 cm; 10 cm; 21 cm
Podemos afirmar que o desenhista obteve triângulo nos casos:
a) I, II, IV e V
b) I, II e V
c) I, II e IV
d) I, II, III e IV
e) Em nenhum caso pode se formar triângulo.
Primeira Parte
Ednaldo Ernesto
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EXERCÍCIOS
37. Seja ABC um triângulo. Sabendo que a altura AR forma com a bissetriz interna de A, AS, um
ângulo de 20º e que as bissetrizes externas de B e C se encontram segundo um ângulo de
30º, podemos afirmar que os ângulos internos do triângulo ABC medem:
a) 120º, 30º, 30º
b) 90º, 45º, 45º
c) 120º, 50º, 10º
d) 90º, 30º, 60º
e) 90º, 76º, 15º
38. Na figura abaixo, calcule a medida do ângulo x.
39. A figura abaixo mostra um triângulo ABC, isósceles de base BC, sendo BI bissetriz de A B ˆ C e
CI bissetriz de A Ĉ B, calcule o valor de x.
Geometria | Caderno 02 10
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IV. Em todo triângulo, a bissetriz interna e a altura que partem de um mesmo vértice
formam um ângulo cuja medida é sempre igual à semi-diferença absoluta das medidas
dos dois ângulos internos adjacentes ao lado oposto.
Demonstração:
Hipótese: AH é altura e
AD é bissetriz interna.
Tese:
Â
+ + C = 90°
2
2 + Â + 2 Ĉ = 180° 2 + Â + 2 Ĉ = Â + Bˆ Ĉ
2 + 2 Ĉ = B Ĉ ˆ
V. Em todo triângulo, duas de suas bissetrizes externas sempre formam um ângulo cuja
medida é igual à semi-soma das medidas dos ângulos internos adjacentes ao lado de
cujos vértices partem as bissetrizes externas.
Demonstração:
B ˆ
Ĉ
2
B ˆ
Ĉ
2
cqd
Hipótese: BE e CE são bissetrizes
externas
Tese:
B ˆ
2
Ĉ
B Ĉ
2
ˆ
.
B 180 - Ĉ
ˆ
B 180 - Ĉ
2 2
180 -
ˆ 180 -
cqd
2
180
360
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ÍNDICE
Página
01 - A idéia de ângulo 13
02 - Ângulo (definição) 14
03 - Ângulos nulo e raso 15
04 - Ângulos consecutivos 15
05 - Ângulos adjacentes 16
06 - Medida de ângulos 16
07 - Ângulos congruentes 22
08 - Bissetriz de um ângulo 22
09 - Classificação dos ângulos 23
10 - Ângulos opostos pelo vértice 26
11 - Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma
transversal
26

III. Em todo triângulo isósceles a mediana relativa à base é também altura, bissetriz interna
e está contida da mediatriz.
Demonstração:
Hipótese: O ABC é isósceles de base AB e CM é mediana.
Tese: CM é bissetriz, altura e parte da mediatriz.
No ABC temos:
2 + 2 = 180°
+ = 90°
No ACM temos:
X + + = 180°
X + 90° = 180°
X = 90°
CM é altura.
ACM CMB
Geometria | Caderno 02 12
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CASO: LLL
Então: A ĈM
MĈB
CM é bissetriz de A ĈB
.
cqd

II. Todo ponto da bissetriz de um ângulo é eqüidistante dos lados do ângulo.
Demonstração:
Hipótese: P está na bissetriz AÔB
Tese: d d .
P,
OA P, OB
OP
P P ˆ O 1
P1Ô
P
OP (lado comum)
P P (ângulos
ˆ O 2
r etos)
P2ÔP
( OP é bissetr iz)
OP1P
OP2P
Logo :
PP1
PP2
d
P, OA
d
P, OB
cqd
01. A IDÉIA DE ÂNGULO
ÂNGULOS
Uma das idéias mais importantes em Geometria é a idéia de ângulo, que pode ser
sugerida pelas figuras:
(MODELO MATEMÁTICO)
Olhando os ponteiros de um relógio, notamos uma figura que dá a idéia de ângulo.
(MODELO
MATEMÁTICO)
Mas os ângulos não estão presentes apenas nos objetos. Engenheiros, topógrafos,
desenhistas, carpinteiros, operadores de vôo, por exemplo, fazem uso constante de ângulos em
suas atividades profissionais.
Geometria | Caderno 02 84
13
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02. ÂNGULO
Definição: É a união de duas semi-retas de mesma origem.
Na figura:
OA
O ponto O (origem das semi-retas) é denominado vértice do ângulo.
As semi-retas OA e OB são denominadas lados do ângulo
Indica-se por AÔB, ou simplesmente, Ô.
Os pontos do plano que não pertencem ao ângulo ficam separados em duas regiões, que
recebem os nomes de interior do ângulo (ou região angular) e exterior do ângulo, conforme a
figura abaixo.
OB
AÔB
ângulo
07. TEOREMAS
I. Todo ponto da mediatriz de um segmento é eqüidistante das extremidades do mesmo.
Demonstração:
Hipótese: P está na mediatriz de AB.
Tese: d P,A = d P,B.
Geometria | Caderno 02 14
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PM
AM
MP ˆ A
PM (lado
MB ˆ P
comum)
MB (M é ponto
(ângulos
médio)
r etos)
Logo :
APM
PA
dP,
A
PMB
PB
dP,
B
cqd

CASO 2: TRIÂNGULO RETÂNGULO.
CASO 3: TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO.
ORTOCENTRO
NO VÉRTICE DO
ÂNGULO RETO
ORTOCENTRO
EXTERNO
03. ÂNGULOS NULO E RASO
a) Ângulo Nulo
Def.: É o ângulo formado por semi-retas coincidentes.
O ângulo FOG é não-nulo
b) Ângulo Raso
Def.: É o ângulo formado por semi-retas opostas.
04. ÂNGULOS CONSECUTIVOS
Def.: Dois ângulos são consecutivos entre si se tiverem um mesmo vértice e um lado
em comum.
EXEMPLO 1 EXEMPLO 2
O ângulo FOG obtido após a
superposição de
(ângulo raso)
OF e OG é nulo
AÔB e AÔC são consecutivos AÔB e BÔC são consecutivos
Geometria | Caderno 02 82
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05. ÂNGULOS ADJACENTES
Def.: Dois ângulos consecutivos são adjacentes se não tiverem pontos internos em
comum (interiores disjuntos).
Observação:
A ÔB
e C ÔB
são consecutivos e
adjacentes.
Dois ângulos adjacentes são sempre consecutivos, mas dois ângulos consecutivos nem
sempre são adjacentes.
06. MEDIDAS DE ÂNGULOS
Sistemas
a) Sistema Sexagesimal
GRAU
Sexagesimal
Circular
Unidade de medida Um Grau = 1°
IAÔB IBÔC =
Suponha que 360 pontos são marcados sobre a circunferência, de modo que ela fique
dividida em partes iguais.
V. ALTURAS:
São segmentos de reta que ligam o vértice perpendicularmente ao lado oposto ou ao
seu prolongamento.
AH é a altura relativa
ao lado BC.
POSICIONAMENTO RELATIVO DO ORTOCENTRO
CASO 1: TRIÂNGULO ACUTÂNGULO
As três alturas do triângulo
concorrem em um ponto único
denominado ortocentro.
ORTOCENTRO
INTERNO
Geometria | Caderno 02 16
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Observe que:
As três mediatrizes de um triângulo concorrem em um ponto único (eqüidistante dos
Vértices) denominado circuncentro que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
POSICIONAMENTO RELATIVO DO CIRCUNCENTRO
Observe as figuras em que estão traçadas as circunferências circunscritas:
TRIÂNGULO
ACUTÂNGULO
CIRCUNCENTRO
INTERNO
TRIÂNGULO
RETÂNGULO
CIRCUNCENTRO NO
PONTO MÉDIO DA
HIPOTENUSA
TRIÂNGULO
OBTUSÂNGULO
CIRCUNCENTRO
EXTERNO
SUBDIVISÃO DO GRAU
O grau se subdivide em 60 minutos (60’) e o minuto se subdivide em 60 segundos (60’’).
TRANSFERIDOR
É um instrumento para medir e construir Ângulos.
O modelo da figura a seguir é de 180º.
Normalmente, o transferidor é graduado de 0º
a 180º nos dois sentidos, da direita para a esquerda
e da esquerda para a direita.
Cada distância entre
dois traços equivale a 1º.
Geometria | Caderno 02 80
17
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1º = 60’
1’ = 60’’
1º = 60’ = 3 600”

) Sistema Circular
Unidade de medida 1 Radiano = 1 rad
Dada uma circunferência de centro O e raio R, consideremos um arco AB cujo
comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência.
Por definição, o arco AB mede 1 rad (lê-se: um radiano). E o Ângulo central AÔB,
correspondente do arco AB, mede também 1 rad.
Portanto, uma circunferência tem 2 rad, pois, no comprimento total da
circunferência, cabe 2 vezes o raio.
RELAÇÃO ENTRE OS SISTEMAS
180° = rad
III. BISSETRIZES EXTERNAS:
São semi-retas que partindo do vértice divide o ângulo externo em dois outros ângulos
adjacentes e congruentes.
Observe que:
As bissetrizes externas de um triângulo interceptam-se duas a duas em três pontos
externos distintos denominados Ex-Incentros.
IV. MEDIATRIZES:
São retas perpendiculares aos lados do triângulo, interceptando-se em seus pontos
respectivos pontos médios.
m é mediatriz do lado BC do ABC O é o circuncentro do ABC
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79

II. BISSETRIZES INTERNAS:
São segmentos de reta que ligam o vértice ao lado oposto, dividindo os ângulos internos
do triângulo em dois outros ângulos adjacentes e congruentes.
AS é a bissetriz interna
relativa ao ângulo  do
ABC.
PROPRIEDADE:
I é o incentro do ABC.
As bissetrizes internas se
interceptam em um ponto único
situado no interior do triângulo
denominado incentro.
I é o centro da circunferência de
raio r inscrita no ABC.
O Incentro (eqüidistante dos lados) é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
Conversão de Medidas de ângulos
EXERCÍCIOS
01. Converta as medidas de ângulos abaixo para as suas medidas correspondentes:
5
a) 36º b) rad
4
Geometria | Caderno 02 78
19
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Resp:
4 3
c) rad d) rad
5
4
Resp:
Resp:
Resp:

e)
10
3
o
Operações com ângulos no sistema sexagesimal:
02. Efetue as adições:
a) 24º30'12'' + 14º13'40'' = b) 53º26'19'' + 12º50'48'' =
c) 23º14'42'' + 13º20'51'' + 20º43'54'' =
03. Obtenha as diferenças:
Resp:
a) 63º40'31'' - 20º19'23'' = b) 27º16'44'' - 12º46'34'' =
PROPRIEDADES:
O Baricentro divide cada mediana na razão 1 por 2 no sentido do lado para o vértice.
O BARICENTRO COMO
CENTRO DA GRAVIDADE:
O ponto G, baricentro de
um triângulo, é o ponto de
equilíbrio do triângulo. Faça a
experiência de pendurar um
triângulo feito em cartão passando
um fio pelo baricentro e você
poderá verificar esta propriedade.
Geometria | Caderno 02 20
77
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G
Propriedade do Baricentro:
AG
BG
CG
2GM
2GN
2GP

06. CEVIANAS
Denominamos de ceviana a todo segmento de reta que liga o vértice do triângulo a um
ponto do lado oposto.
Exemplo:
I. MEDIANAS:
CEVIANAS NOTÁVEIS:
Medianas
Bissetrizes
Alturas
internas
São segmentos de reta que ligam o vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto.
AM é a mediana relativa ao
lado AB do ABC.
são cevianas os segmentos: AH, CN e BM.
As medianas se interceptam
em um ponto único, situado no
interior do triângulo
denominado baricentro.
c) 76º12'40'' - 52º49'52'' = d) 62º21'12'' - 30º27'' =
04. Obtenha:
a) O dobro de 30º12'24'' b) O triplo de 24º43'30''
c) O quíntuplo de 21º52'46''
05. Determine:
a) A metade de 36º24'48'' b) A quinta parte de 73º49'50''
Geometria | Caderno 02 76
21
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c) A terça parte de 82º25'17''
07. ÂNGULOS CONGRUENTES
Def.: Dois Ângulos são congruentes quando têm a mesma medida (na mesma
unidade).
m(AÔB) = 50° m(P V ˆ Q) = 50°
08. BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
Os ângulos AOB e PVQ têm a mesma
medida (50º). Dizemos então que AOB e
PVQ são ângulos congruentes e
escrevemos: AOB PVQ (lê- se: ângulo
AOB é congruente ao ângulo PVQ).
Def.: É a semi-reta que tendo sua origem no vértice do ângulo, divide-o em dois
outros, ângulos adjacentes e congruentes.
m(B ÔE)
m(EÔA)
m(DÔC)
2
3º caso: ALA
4º caso: LAAo
Geometria | Caderno 02 22
75
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4 cm

EXERCÍCIOS
36. Identifique os pares de triângulos congruentes de acordo com os casos indicados a seguir:
1º caso: LLL
2º caso: LAL
09. CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
I) ÂNGULO NULO:
QUANTO À MEDIDA ABSOLUTA
Def.: É o ângulo cuja medida é igual a zero grau (0º).
II) ÂNGULO RETO:
Def.: É o ângulo cuja medida é exatamente 90º.
III) ÂNGULO AGUDO:
Def.: É todo ângulo cuja medida está compreendida entre 0º e 90º
0º < m (AÔB)

V) ÂNGULO RASO: (ÂNGULO DE MEIA-VOLTA)
Def.: É o ângulo cuja medida é exatamente 180º.
V) ÂNGULO OBTUSO:
VI) ÂNGULO PLENO: (ÂNGULO DE UMA VOLTA)
Def.: É o ângulo que mede exatamente 360º.
m(AÔB) = 180º
Def.: É todo ângulo cuja medida está
compreendida entre 90º e 180º.
90º < m (AÔB) < 180º
m(AÔB) = 360º
CASO 2: LADO - ÂNGULO - LADO (L.A.L)
Dois triângulos são congruentes, quando têm dois lados e o ângulo formado por eles
respectivamente congruentes.
CASO 3: ÂNGULO - LADO - ÂNGULO (A.L.A)
Dois triângulos são congruentes, quando têm dois ângulos e o lado adjacente a esses
ângulos respectivamente congruentes.
CASO 4: LADO - ÂNGULO - ÂNGULO OPOSTO (L.A.Ao)
Dois triângulos são congruentes, quando têm um lado, um ângulo adjacente a esse
lado e o ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.
Geometria | Caderno 02 24
73
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AB
B ˆ
BC
B ˆ
BC
Ĉ
BC
B ˆ
Â
N ˆ
MN
NP
N ˆ
P ˆ
Ê
D ˆ
NP
EF
ABC MNP
ABC MNP
ABC DEF

05. CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
Dois ou mais triângulos serão congruentes entre si, se o somente se tiverem lados e
ângulos correspondentes congruentes entre si. (forem idênticos)
Exemplo:
Observe que:
Os lados correspondentes são congruentes:
AB DE, AC DF e BC EF.
Os ângulos correspondentes são congruentes:
 D ˆ , B ˆ Ê , Ĉ F ˆ .
CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
Caso 1: LADO - LADO - LADO (L.L.L.)
Dois triângulos são congruentes, quando têm os três lados respectivamente
congruentes.
AB
AC
BC
ED
ED
DF
ABC DEF
QUANTO À MEDIDA RELATIVA
I) ÂNGULOS COMPLEMENTARES
Def.: Dois ângulos são complementares entre si, quando a soma de suas medidas for
exatamente 90º.
II) ÂNGULOS SUPLEMENTARES
AÔB e BÔC são complementares entre si.
Def.: Dois ângulos são suplementares entre si, quando a soma de suas medidas for
exatamente 180º.
AÔB e BÔC são suplementares entre si.
III) ÂNGULOS REPLEMENTARES
m(AÔB) + m(BÔC) = 90º
Comp (x) = 90º - x 0º x 90º
m(AÔB) + m (BÔC) = 180º
Sup(x) = 180º - x 0º x 180º
Def.: Dois ângulos são replementares entre si quando a soma de suas medidas for
exatamente 360º.
AÔB e A’Ô B’ são replementares entre si.
m(AÔB) + m (A' Ô B') = 360º
Rep (x) = 360º - x 0º x 360º
Geometria | Caderno 02 72
25
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Demonstração:
Hipótese:
10. ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
A Ô B e C Ô D são opostos pelo vértice
Dois ângulos são o.p.v. quando os
lados de um forem semi-retas opostas
aos lados do outro.
TEOREMA: Se dois ângulos forem opostos pelo vértice terão medidas iguais.
Tese: m ( ˆ)
m( ˆ)
ˆ e ˆ são ângulos OPV
m(
ˆ)
m(
ˆ)
m( ˆ)
m( ˆ)
Então : m(
ˆ)
m( ˆ)
180
180
m( ˆ)
m(
ˆ)
m(
ˆ)
m( ˆ)
11. ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS E UMA
TRANSVERSAL
Quando duas retas paralelas interceptam uma transversal, elas determinam oito
ângulos com vértices nos pontos de intersecção.
Estes ângulos recebem nomes especiais: (aos pares)
cqd
II. TRIÂNGULO RETÂNGULO
É o triângulo que possui um ângulo reto.
Observe que:
Em todo triângulo retângulo os ângulos agudos são complementares entre si.
No triângulo retângulo os lados adjacentes ao ângulo reto são denominados catetos e o
lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa.
III. TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO
É o triângulo que possui um ângulo obtuso.
90º < m (Â) < 180º
m (Â) = 90º
Geometria | Caderno 02 26
71
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obtuso
reto

II. TRIÂNGULO ISÓSCELES
É o triângulo que possui dois lados congruentes entre si.
III. TRIÂNGULO ESCALENO
Observe que:
Todo triângulo eqüilátero é isósceles.
É o triângulo que possui os lados com medidas diferentes entre si.
QUANTO AOS ÂNGULOS
I. TRIÂNGULO ACUTÂNGULO
AC AB
B ˆ Ĉ (Ângulos da base)
AB BC AC AB
Observe que:
É o triângulo que possui todos os ângulos agudos.
Triângulo escaleno é todo triângulo não-isósceles.
ABC não possui dois lados congruentes.
0º < m ( Â ), m ( B ˆ ), m ( Ĉ ) < 90º
Observe que:
Todo triângulo eqüilátero é acutângulo.
ÂNGULOS
CORRESPOND ENTES
ALTERNOS
COLATERAIS
INTERNOS
EX TERNOS
INTERNOS
EX TERNOS
CONGRUENTES
CONGRUENTES
SUPLEMENTARES
Com uma régua e um esquadro, vamos traçar duas retas, como mostra a figura: (a
Geometria | Caderno 02 70
27
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seguir).
Veja que as retas traçadas são paralelas. Observe ainda que, se o ângulo do esquadro
medir 45º, as duas retas traçadas formarão ângulos de 45º com a régua:
Esses dois ângulos, pela posição que ocupam, são chamados de ângulos
correspondentes.
1e
5
2 e 6
3 e 7
4 e 8
são
ângulos
cor r espondentes
Os ângulos correspondentes são congruentes

4 e 5
3 e 6
1e
8
2 e 7
4 e 6
3 e 5
1e
7
2 e 8
são ângulos
são
ângulos
são ângulos
são
colaterais
Os colaterais internos são
suplementares
ângulos
colaterais
alternos
alternos
internos
Os colaterais externos são
suplementares
externos
internos
Os alternos internos são congruentes
externos
Os alternos externos são congruentes
04. CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
TRIÂNGULO
QUANTO AOS LADOS:
I. TRIÂNGULO EQÜILÁTERO
É o triângulo que possui todos os lados congruentes.
AB BC AC
 B ˆ Ĉ = 60º
Observe que:
O triângulo eqüilátero é o polígono regular de
três lados.
Geometria | Caderno 02 28
69
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LADOS
ÂNGULOS
EQUILÁTERO
ISÓSCELES
ESCALENO
ACUTÂNGULO
OBTUSÂNGULO
RETÂNGULO

35. Ordene os ângulos do triângulo abaixo;
03. TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO
Em todo triângulo a medida de um ângulo externo é sempre igual à soma das medidas
dos ângulos internos não adjacentes.
Demonstração:
Hipótese: ê é o ângulo externo adjacente a Ĉ
Tese: m(ê) = m(Â) + m( B ˆ )
Logo:
m(Â)
m( Ĉ)
Então:
B) ˆ m(
m(ê)
m( Ĉ)
180
180
(lema)
m( Ĉ ) + m(ê) = m(Â) + m( B ˆ ) + m( Ĉ )
m(ê) = m(Â) + m( B ˆ )
m(e) = m(Â) + m( B ˆ )
cqd
EXERCÍCIOS
06. Adotando = 3,14, exprimir (aproximadamente) 1rad em graus:
a)150º b) (32,15)º c) (62,27)º d) (57,32)º e)360º
07. O dobro da medida do suplemento de um ângulo vale 7 vezes a medida do seu
complemento. Achar a medida deste ângulo.
a) 50º b) 51º c) 52º d) 53º e) 54º
08. O replemento de um ângulo, aumentado de 10º, é igual ao dobro do suplemento deste
ângulo, somado ao seu complemento. Este ângulo mede.
a) 30º b) 40º c) 80º d) 110º e) 50º
Geometria | Caderno 02 www.ednaldoernesto.com.br
68
29

09. Dois ângulos suplementares são tais que a diferença entre suas medidas é 120º. Calcule a
medida do complemento do menor destes ângulos:
a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º e) 70º
10. (UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento desse
ângulo. Esse ângulo mede:
a) 7
rad b) 5
rad
c) 7
rad
d) 7
rad e) 5
rad
8
16
4
16
8
11. Determine a medida do ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes,
sabendo que a medida do primeiro é 1/2 da do seu complemento e que a medida do segundo
vale 1/9 da medida do seu suplemento.
a) 42º b) 23º c) 24º d) 14º e) 50º
33. Na figura abaixo determine os possíveis valores de x:
POSTULADO:
Geometria | Caderno 02 30
67
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a = 2x + 1
b = 4
c = 1
Em todo triângulo ao maior lado se opõe o maior ângulo, ao menor lado se opõe o
menor ângulo e a lados de medidas iguais se opõem ângulos de medidas iguais.
34. Ordene os lados do triângulo abaixo:
EXERCÍCIOS
Se a b c  B ˆ Ĉ

02. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DO TRIÂNGULO
Em todo triângulo a medida de um lado qualquer é sempre menor que a soma das
medidas dos outros dois e maior que a diferença absoluta entre eles.
b - c < a < b + c
a - b < c < a + b
a - c < b < a + c
Se a + b < c ou a + b = c é impossível formar o triângulo conforme sugere as ilustrações
abaixo:
12. O replemento do suplemento de um ângulo, aumentado de 50º é igual ao dobro do
suplemento do complemento deste ângulo. Este ângulo mede.
a) 40º b) 45º c) 50º d) 55º e) 60º
13. O suplemento do complemento do replemento do replemento do suplemento do suplemento
do complemento de um ângulo é igual ao óctuplo do ângulo. Calcule-o:
Geometria | Caderno 02 66
31
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14. Verifique a veracidade das afirmativas:
I II
0 0 Se o replemento do suplemento do complemento de um ângulo vale 8 vezes a
medida do ângulo,este mede 30º.
1 1 Ângulos adjacentes são obrigatoriamente consecutivos.
2 2 Um ângulo obtuso não admite complemento.
3 3 Em duas paralelas cortadas por uma transversal dois ângulos colaterais internos são
congruentes.
4 4 Em um sistema formado por duas paralelas cortadas por uma transversal dois ângulos
alternos internos são suplementares.
15. Nas figuras a seguir sendo a paralela a b, calcule x:
a) b)
01. TRIÂNGULO
TRIÂNGULOS
É todo polígono que possui apenas três lados.
ABC: triângulo ABC.
A, B e C são os vértices
do ABC.
AB, BC e AC são os lados
do ABC.
Â, B e Ĉ ˆ são os ângulos internos
do ABC.
Veja, em destaque, alguns elementos de um triângulo de vértices A, B e C:
Em todo triângulo sempre teremos:
Geometria | Caderno 02 32
65
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D = 0
nº de diagonais
Si = 180º
soma dos ângulos internos
Se = 360º
soma dos ângulos externos

16. Nas figuras abaixo sendo r/ /s calcule o valor de x:
a) b)
c) d)
Geometria | Caderno 02 64
33
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e)

17. Calcule a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um
relógio que marca exatamente 14h:23min.
Geometria | Caderno 02 34
63
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ÍNDICE
Página
01 - Triângulos 65
02 - Condição de existência do triângulo 66
03 - Teorema do ângulo externo 68
04 - Classificação dos triângulos 69
05 - Congruência de triângulos 72
06 - Cevianas 76
07 - Teoremas 83

18. Calcular a medida exata do ângulo côncavo formado pelos ponteiros de um relógio que
marca pontualmente cinco horas e dezesseis minutos.
19. (FGV-81) É uma hora da tarde; o ponteiro dos minutos coincidirá com o ponteiro das horas,
pela primeira vez aproximadamente, às:
a) 13h 5 min 23s
b) 13h 5 min 25s
c) 13h 5 min 27s
d) 13h 5 min 29s
e) 13h 5 min 31s
Geometria | Caderno 02 62
35
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Terceira Parte
Ednaldo Ernesto
Geometria | Caderno 02 36
61
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Geometria | Caderno 02 60
37
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30. Na figura ao lado, determine a soma das medidas dos ângulos b + ĉ + dˆ + ê + fˆ .
ˆ â +
31. As mediatrizes de dois lados consecutivos de certo polígono regular fazem um ângulo que
mede 15º. Qual o polígono e quantas diagonais não passam pelo seu centro?
32. Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as
diagonais de um hexágono. Determine:
a) o número de eixos e centros de simetria.
b) Quantas são as retas determinadas pelos vértices desse polígono?
Geometria | Caderno 02 38
59
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27. A soma dos n - 3 ângulos externos de um polígono regular é 225º. Se cada lado seu mede 5
cm, determine seu semi-perímetro.
28. (UFPE-80) Os ângulos internos de um pentágono convexo são proporcionais aos números 3, 5,
6, 7 e 9. Calcule as medidas destes ângulos.
29. (PUC-SP) A soma das medidas dos ângulos A + B + C + D + E:
a) é 60°
b) é 120°
c) é 180°
d) é 360°
e) 270°
Geometria | Caderno 02 58
39
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ÍNDICE
Página
01 - Linha poligonal 41
02 - Polígono 42
03 - Elementos dos polígonos 43
04 - Polígonos côncavo e convexo 44
05 - Classificação dos polígonos
06 - Perímetro dos polígonos (2p) 46
07 - Número de diagonais de um polígono convexo (D) 47
08 - Diagonais radiais 49
09 - Lei angular de Tales 50
10 - Soma dos ângulos internos de um polígono convexo: (Si) 51
11 - Soma dos ângulos externos de um polígono convexo: (Se)
45
53

23. As bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos de um polígono regular formam um
ângulo de 45º. Se o perímetro polígono é 12m, qual a medida de seus lados?
24. Qual o polígono convexo cujo número de diagonais é o sêxtuplo da quantidade de diagonais
que partem de cada um de seus vértices?
25. A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 36 retos. Qual a medida
de cada um dos ângulos externos?
26. A soma dos n - 4 ângulos internos de um polígono regular é 864º. Quantas diagonais nãoradiais
possui o polígono?
Geometria | Caderno 02 40
57
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EXERCÍCIOS
20. Dois polígonos regulares isoperimétricos são tais que um deles é um octógono de lado 6cm.
Se cada lado do outro mede 4cm, que polígono é este?
21. Dados dois polígonos convexos com n e n + 6 lados, respectivamente, calcular n sabendo-se
que um dos polígonos tem 39 diagonais mais do que o outro.
22. A razão entre as medidas dos ângulos internos de dois polígonos regulares é 8/11.
Determine esses polígonos sabendo que o número de lados de um é o quádruplo do outro.
0 1 . LINHA POLIGONAL
POLÍGONOS
É a reunião de três ou mais segmentos de reta consecutivos e não adjacentes entre si.
EXEMPLOS:
Numa Poligonal:
a extremidade de cada segmento chama-se vértice (pontos A,B,C,D,...);
cada segmento é chamado lado ( AB, BC, CD ,...).
Notamos que existem poligonais nas quais há lados não consecutivos que se cortam em
pontos que não são vértices essas poligonais são denominadas entrelaçadas, enquanto as outras
são denominadas simples.
Existem poligonais nas quais as extremidades coincidem; essas poligonais são
denominadas poligonais fechadas ou polígonos.
As demais poligonais são chamadas abertas.
Geometria | Caderno 02 56
41
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Linha poligonal aberta entrelaçada
(não-simples)
02. POLÍGONO
Linha poligonal fechada entrelaçada - É polígono.
Linha poligonal fechada simples
(É polígono)
Consideremos num plano n pontos, (n 3): A 1,A 2,A 3,...,A n-1, A n, ordenados de modo que
três consecutivos não sejam colineares e os segmentos 1 2 A A , 2 3 A A ,..., A n 1 An
, A n An
1 .
Denominamos de polígono à figura constituída pelos n segmentos consecutivos.
1 2 A A A 2A3
n 1 A A = polígono A1A2A3 ... An
Teorema 02
Em todo polígono regular as bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos formam um
ângulo congruente ao ângulo externo.
Demonstração
Hipótese: ABCDE... é um polígono regular.
Geometria | Caderno 02 42
55
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Tese:
Ai
2
Ai
2
360
n
EO e
DO são bissetrizes de ângulos internos consecutivos.
2 Ai
2
Ai
180
180
Ac
360
n
cqd

Teorema 01
TEOREMAS FINAIS
Em todo polígono regular as mediatrizes de dois lados consecutivos formam um ângulo
cuja medida é igual a medida do ângulo externo.
Demonstração
Hipótese: ABCDE... é um polígono regular.
r e s são mediatrizes de lados consecutivos.
Tese:
360
n
90° + 90° + A i + = 360°
Ai
Ai
Ae
180
180
Ai
180
- Ai
- Ae
-180
_____________________
-
Ae
0
Ae
cqd
Observemos as poligonais a seguir:
Essas poligonais são curvas fechadas simples.
Elas são chamadas polígonos.
03. ELEMENTOS DOS POLÍGONOS:
ELEMENTOS
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54
43
LADOS
VÉRTICES
ÂNGULOS
DIAGONAIS
INTERNOS
EXTERNOS

04. POLÍGONOS CÔNCAVO E CONVEXO:
Um polígono simples divide o plano em duas regiões, sem pontos comuns: a dos pontos
internos (interior) e a dos pontos externos (exterior).
Exemplos:
POLÍGONO CONVEXO POLÍGONO CÔNCAVO
Dizemos que um polígono é convexo se o mesmo limita uma região
(interna) convexa.
Polígono Côncavo Polígono Convexo
de 10 lados de 6 lados
11. SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS
DE UM POLÍGONO CONVEXO: (Se)
Em todo polígono convexo sempre teremos
Teorema da soma dos ângulos externos
A soma dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados (n 3) é 360º.
Demonstração:
Hipótese: A 1 A 2 A 3 ... A n é polígono convexo de n lados
Tese: ê 1 + ê 2 + ê 3 + ... + ê n = 360º
Pela definição de ângulos externo, temos:
în
ên
180º
n . 180º - 360º + Se = n . 180º
____________________
Se = 360º
Somando: Si + Se = n . 180º cqd
ÂNGULO EXTERNO DO POLÍGONO REGULAR: (Ae)
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44
53
î1
î2
ê1
ê2
180º
180º
î3
ê3
180º
Se = 360º
Se 360 º
Ae = Ae =
n
n
Como S i = (n - 2) . 180° , temos:
(n - 2) . 180º + S e = n . 180º

Demonstração
Hipótese: A 1 A 2 A 3 ... An é um polígono convexo (n 3)
Tese: Si = Â 1 + Â 2 + Â 3 + ... + Ân = (n - 2) . 180º
Â
B Ĉ 180º
ˆ Â D 2.
180º
ˆ B Ĉ ˆ Â
D Ê 3.
180º
ˆ B Ĉ ˆ
A soma dos ângulos internos do polígono convexo de n
lados é a soma dos ângulos internos de todos os
triângulos em que ele fica dividido pelas diagonais com
extremidades em um dos vértices.
São n - 2 triângulos. (Só os dois triângulos vizinhos ao
vértice em questão utilizam-se de dois lados do
polígono.)
Assim:
Si = (n - 2) . 180º
cqd
ÂNGULO INTERNO DO POLÍGONO REGULAR: (Ai)
Si
Ai = Ai =
n
180º
( n
n
2)
05. CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS
Quanto ao número de lados:
Os polígonos recebem nomes de acordo com o número de lados. (Num polígono, o
número de lados é igual ao número de ângulos e igual ao número de vértices.)
n NOMENCLATURA n NOMENCLATURA
3 Triângulo 9 Eneágono
4 Quadrilátero 10 Decágono
5 Pentágono 11 Undecágono
6 Hexágono 12 Dodecágono
7 Heptágono 15 Pentadecágono
8 Octógono 20 Icoságono
- Os demais polígonos não têm nomenclatura específica
Exemplo: Todos os polígonos a seguir são pentágonos:
Quanto às medidas dos lados e ângulos:
POLÍGONO
EQUILÁTERO
EQUIÂNGULO
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REGULAR
IRREGULAR

a) Polígono Equilátero: dizemos que um polígono é equilátero quando tem todos os lados com
mesma medida.
b) Polígono Equiângulo: dizemos que um polígono é equiângulo quando tem todos os ângulos
internos com mesma medida.
c) Polígono Regular: dizemos que um polígono convexo é regular quando é equiângulo e
equilátero.
Exemplos de polígonos regulares:
triângulo quadrado pentágono hexágono heptágono octógono eneágono
Todo polígono regular é inscritível e circunscritível.
06. PERÍMETRO DO POLÍGONO (2P)
Dado um polígono ABC ... K, definimos como perímetro a soma das medidas de todos os
lados do polígono:
2p = AB + BC+
CD+
... + KA
ou ainda
2p =
n
i = 1
m ( i )
Demonstração
Hipótese: Â , B ˆ e Ĉ são Ângulos Internos do ABC.
Tese: m( Â ) + m( B ˆ ) + m( Ĉ ) = 180º
Construção auxiliar: Pelo vértice A, traçamos r //
BC.
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cqd
1. B ˆ Â 1
2. Ĉ Â 2
3. med ( Â 1) + med ( Â ) + med ( Â 2) = 180º
4. med ( B ˆ ) + med ( Â ) + med ( Ĉ ) = 180º
10. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM
POLÍGONO CONVEXO: (Si)
Em todo polígono convexo sempre teremos:
Si = 180º (n-2)
Teorema da soma dos ângulos internos
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados (n 3) é dada por:
Si = (n - 2) . 180º

I) GÊNERO PAR
Para polígonos regulares:
DIAGONAIS
D =
n(
n - 3)
2
DIAGONAIS
RADIAIS
n
D = D =
2
DIAGONAIS
NÃO-RADIAIS
Todo polígono regular de gênero par com n lados possui n eixos de simetria e 1(um)
centro de simetria.
II) GÊNERO ÍMPAR
DIAGONAIS
D =
n(
n - 3)
2
DIAGONAIS
RADIAIS
D = 0
n(
n
- 4)
2
DIAGONAIS
NÃO-RADIAIS
n(
n - 3)
D =
2
(todas)
Todo polígono regular de gênero ímpar com n lados possui n eixos de simetria e não
possui centro de simetria.
09. LEI ANGULAR DE TALES
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é constante e
sempre igual a 180º.
m (Â) + m ( B ˆ ) + m ( Ĉ ) = 180º
bs: Se o polígono for regular e tiver n lados cada lado medindo então:
A metade do perímetro é dita semi-perímetro e representada por p.
07. NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO CONVEXO (D)
Sabemos que, diagonais de um polígono é todo segmento de reta que liga dois vértices
não consecutivos do polígono.
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Exemplo:
Teorema do Número de Diagonais
BF, BE e BD são três das diagonais do hexágono.
Se um polígono convexo tiver n lados seu número de
diagonais é dado por.
O número de diagonais de um polígono convexo de n lados (n 3) é
igual a
n(
n - 3)
2
.
2p = n .
D =
n(
n - 3)
2

Demonstração
Hipótese: A 1 A 2 ... A n é um polígono convexo de n lados
Tese: d =
n(
n - 3)
2
n = 3 d = 0 n = 4 d = 2 n = 5 d = 5
O número de diagonais com extremidades em um vértice
desse polígono é n - 3. (Dos n pontos, A 1 não forma diagonal
com três: A 1, A 2 e A n).
São n vértices no total.
Se cada vértice tem n - 3 extremidades de diagonais e se
cada diagonal tem duas extremidades, então:
d =
n(
n - 3)
2
c.q.d.
08. DIAGONAIS RADIAIS
Em todo polígono regular com gênero (número de lados) par existe diagonais radiais
(que passam pelo centro) em número igual a metade do seu número de lados.
Observem as figuras a seguir:
Se o polígono tiver gênero par passarão pelo
centro tantas diagonais quanto for a metade do
número de lados.
No decágono regular cinco de suas diagonais
passam pelo seu centro (são radiais).
Se o polígono regular tiver gênero ímpar
nenhuma de suas diagonais irá passar pelo seu
centro. É o caso do pentadecágono regular da
figura acima.
No polígono regular de 18 lados 9 de
suas diagonais passam pelo seu centro.
E do enágono regular.
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