Lista 05 - Minerva.ufpel.tche.br - Universidade Federal de Pelotas

Universidade Federal de Pelotas<br />
Instituto de Física e Matemática<br />
Departamento de Matemática e Estatística<br />
Disciplina: Matemática Discreta A - 0100233 - 2012/1<br />
Professor: Cícero Nachtigall<br />
Lista 5<br />
1. Encontre a função geradora ordinária para cada uma das sequências abaixo:<br />
(a) (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, ...) (d) (0, 0, 1, 1, 1, ...) (g) (1, −1, 1, −1, 1, −1, ...)<br />
(b) (1, 0, 0, 2, 3, 0, 0, 0, 0...) (e) (0, 1, 0, 1, 0, 1, ...) (h) (1, −1, 1<br />
2!<br />
(c) (1, 1, 1, 3, 1, 1, ...) (f) (0, 4, 0, 4, 0, 4, ...) (i) (ak) =<br />
, − 1<br />
3!<br />
2. Encontre a sequência gerada pelas funções geradoras ordinárias dadas abaixo:<br />
(a) (x + 1) 4 (e) e 2x + x + x 2 (i) x 3 (1 − 4x) −1<br />
(b) x + e x (f) x 2 e x (j) e −2x<br />
(c) x 2 (1 − 3x) −1 (g)<br />
1<br />
1 + x 2<br />
3 k<br />
k!<br />
<br />
(k) ex + e −x<br />
2<br />
(d) 1+(1−x 2 ) −1 (h) e −x +3x (l) (1+x) q , q ∈ Z ∗ +<br />
3. Encontre o coeficiente de de x 6 em (1 − x) n , quando n = 6 e quando n = −6.<br />
4. Encontre o coeficiente de de x 27 em (x 3 + x 4 + x 5 + ...) 6 .<br />
5. Encontre o número de maneiras de se obter um total de 15 pontos ao se jogar,<br />
simultaneamente, quatro dados diferentes.<br />
, 1<br />
4!<br />
1 , − , ...) 5!<br />
6. Representantes de três institutos de pesquisa devem formar uma comissão de 9<br />
pesquisadores. De quantos modos pode ser formada esta comissão sendo que nenhum<br />
instituto deve ter maioria absoluta no grupo?<br />
7. Existem 10 caixas idênticas de presentes. Cada uma deve ser embrulhada com<br />
uma única cor e se dispõe de papéis de cor vermelha, azul, verde e amarela. O<br />
papel vermelho permite que se embrulhe no máximo duas caixas e com o azul se<br />
pode embrulhar no máximo três. Escreva a função geradora ordinária associada ao<br />
problema de se encontrar o número de maneiras de se embrulhar estas 10 caixas.<br />
8. Encontre a função geradora ordinária para se calcular o número de soluções em<br />
inteiros não negativos da equação<br />
2x + 3y + 4z + 5w = r.<br />
9. Encontre o número de soluções em inteiros da equação<br />
x + y + z + w = 25,<br />
onde cada variável é no mínimo 3 e no máximo 8.<br />
1

10. Numa competição, cada um dos quatro juízes deve atribuir notas de 1 a 6 para cada<br />
participante. Para ser finalista, um participante deve ter no mínimo 22 pontos.<br />
Encontre o número de maneiras que os juízes tem para atribuir notas de modo que<br />
um participante seja finalista.<br />
11. Quantas soluções possui a equação<br />
se cada variável é igual a 0 ou 1.<br />
x1 + x2 + x3 + x4 + ... + xn = r,<br />
12. Encontre o número de maneiras de se distribuir 11 laranjas e 6 pêras para 3 crianças<br />
de modo que cada criança receba pelo menos 3 laranjas e no máximo 2 pêras.<br />
13. Quantas n-uplas de 0 ′ s e 1 ′ s podem ser formadas usando-se um número par de 0 ′ s<br />
e um número par de 1 ′ s?<br />
14. (a) Uma companhia telefônica adquire 9 computadores idênticos. De quantas maneiras<br />
ela pode distribuir estes 9 computadores para 4 direfentes escritórios de modo que<br />
cada um receba pelo menos um novo computador?<br />
(b) Uma companhia telefônica contrata 9 novos técnicos. De quantas maneiras<br />
diferentes ela pode alocar estes 9 empregados para 4 diferentes escritórios de forma<br />
que cada escritório receba pelo menos um novo técnico?<br />
15. Encontre a função geradora exponencial para cada uma das sequências:<br />
(a) (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, ...) (b) (1, 3, 3 2 , 3 3 , ...) (c) (0, 2, 0, 2, 0, 2, ...)<br />
16. Encontre a função geradora ordinária para a sequência<br />
ak = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 k .<br />
17. Uma sequência quaternária é uma r-upla formada somente pelos dígitos 0, 1, 2 e<br />
3. Quantas são as r-sequências quaternárias nas quais o número de 0 ′ s é par e o<br />
número de 1 ′ s também é par?<br />
18. De quantas maneiras podemos distribuir 300 cadeiras idênticas em 4 salas de modo<br />
que o número de cadeiras em cada sala seja 20 ou 40 ou 60 ou 80 ou 100?<br />
19. Encontre a função geradora ordinária para o número de partições de n em que todas<br />
as partes são ímpares e nenhuma supera 7.<br />
20. Uma sequência ternária é uma r-upla formada somente pelos dígitos 0, 1 e 2. Encontre<br />
o número de r-sequências ternárias nas quais o número de 0 ′ s é par.<br />
21. Dê uma interpretação, em termos de partições, para:<br />
(a) O coeficiente de x 12 na expansão de<br />
(1+x 2 +x 4 +x 6 +x 8 +x 10 +x 12 )(1+x 4 +x 8 +x 12 )(1+x 6 +x 12 )(1+x 8 )(1+x 10 )(1+x 12 )<br />
(b) O coeficiente de x 15 na expansão de<br />
(1 + x 3 + x 6 + x 9 + x 12 + x 15 )(1 + x 6 + x 12 )(1 + x 9 )<br />
2

22. Encontre os coeficientes dos itens (a) e (b) de exercício 21.<br />
23. Encontre a função geradora que pode ser utilizada para encontrar:<br />
(a) O número de partições de 34 com partes restritas a 6, 8, 10 e 20.<br />
(b) O número de partições de 13 com partes maiores do que 3.<br />
(c) O número de partições de 11 com partes ímpares distintas.<br />
24. Encontre o número de maneiras de se distribuir n livros idênticos de português em<br />
r caixas idênticas e m livros idênticos de história em k caixas idênticas de tal forma<br />
que nehuma caixa fique vazia. É claro que estamos suponto r ≤ n e k ≤ m.<br />
25. Resolva o exercício 24 no caso r = 4, n = 6, k = 3 e m = 5.<br />
3

Respostas:<br />
1. (a) 1 + x + x 2 (d)<br />
(b) 1 + 2x 3 + 3x 4 (e)<br />
(c) 2x 3 + 1<br />
1 − x<br />
(f)<br />
1<br />
− 1 − x (g)<br />
1 − x<br />
x<br />
1 − x 2<br />
4x<br />
1 − x 2<br />
1<br />
1 + x<br />
(h) e −x<br />
(i) e 2x<br />
2. (a) (1, 4, 6, 4, 1) (g) (1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, 0, ...)<br />
(b) 1, 2, 1<br />
2!<br />
, 1<br />
3!<br />
1 1 , , ... , ...<br />
4! k!<br />
(h) (1, 2, 1<br />
2!<br />
, − 1<br />
3!<br />
, 1<br />
4!<br />
, − 1<br />
5!<br />
(c) (0, 0, 1, 3, 3 2 , 3 3 , 3 4 , ....) (i) (0, 0, 0, 1, 4, 4 2 , 4 3 , 4 4 , ...)<br />
(d) (2, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...) (j) (1, − 2<br />
1!<br />
(e) (1, 3, 3, 23<br />
3!<br />
, 24<br />
4!<br />
(f) (0, 0, 1, 1, 1<br />
2!<br />
, 1<br />
3!<br />
, 25<br />
5!<br />
, ...) (k) (1, 0, 1<br />
2!<br />
1 , , ...) (l)<br />
4!<br />
3. 1 para n = 6 e 462 para n = −6.<br />
4. C 9 14.<br />
5. 140.<br />
6. 10.<br />
7. f(x) = (1 − x3 )(1 − x4 )<br />
(1 − x) 4 .<br />
8. f(x) = 1<br />
·<br />
1 − x2 1<br />
·<br />
1 − x3 9. C 13<br />
16 − 4C 7 10 + 6C 1 4 = 104.<br />
10. 15.<br />
11. C r n se n ≥ r e 0 se n < r.<br />
12. 6.<br />
13. 2 n−1 , n par.<br />
1<br />
·<br />
1 − x4 14. (a) 56. (b) 186480.<br />
1<br />
.<br />
1 − x5 q<br />
0<br />
, 22<br />
2!<br />
, − 23<br />
3!<br />
, 0, 1<br />
4!<br />
<br />
,<br />
q<br />
1<br />
, 1<br />
6!<br />
24 , , ...) 4!<br />
, 0, 1<br />
6!<br />
15. (a) 1 + x x2<br />
+<br />
1! 2! . (b) e3x . (c) ex − e−x .<br />
16.<br />
1<br />
1 − 2x ·<br />
1<br />
1 − x .<br />
17. 4r + 2r+1 .<br />
4<br />
4<br />
<br />
,<br />
1 , − , ...) 7!<br />
1 , 0, , ...) 8!<br />
q<br />
2<br />
<br />
q<br />
, ...<br />
q

18. 52.<br />
19.<br />
4<br />
i=1<br />
20. 3r + 1<br />
.<br />
2<br />
1<br />
.<br />
1 − x2i−1 21. (a) é o número de partições de 12 em partes pares.<br />
(b) é o número de partições de 15 em partes restritas ao conjunto {3, 6, 9}.<br />
22. (a) 11. (b) 5.<br />
23. (a) (1+x 6 +x 12 +x 18 +x 24 +x 30 )(1+x 8 +x 16 +x 24 +x 32 )(1+x 10 +x 20 +x 30 )(1+x 20 ).<br />
(b) (1 + x 3 + x 6 + x 9 + x 12 )(1 + x 4 + x 8 + x 12 )(1 + x 5 + x 10 )(1 + x 6 + x 12 )(1 + x 7 )<br />
(1 + x 8 )(1 + x 9 )(1 + x 10 )(1 + x 11 )(1 + x 12 )(1 + x 13 ).<br />
(c) (1 + x)(1 + x 3 )(1 + x 5 )(1 + x 7 )(1 + x 9 )(1 + x 11 ).<br />
24. qr(n) · qk(m).<br />
25. 4.<br />
5