Matemática financeira - PORTAL DO ADMINISTRADOR

FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL 

Período/Curso: 4º Administração 

Disciplina: Matemática Financeira 

1) Objetivo: 

O enfoque teórico da Matemática Financeira é o estudo da evolução do dinheiro ao longo do 

tempo, visando estabelecer relações entre quantias em datas distintas. 

Por conseqüência dessa mudança de valor real do dinheiro ao longo do tempo, podemos 

extrair duas conclusões: 

1º - Não se compara quantias expressas em datas diferentes: 

Só é possível comprar quantias expressas na mesma data. Assim, neutraliza-se o efeito 

inflacionário e o prêmio de postecipação do fluxo de caixa, evidenciando apenas o valor real 

em estudo. 

Uma aplicação clara dessa propriedade é a comparação do PIB ou Aferição de Performance 

de Vendas. 

2º - Só é possível realizar operações algébricas com quantias expressas na 

mesma data. 

É muito comum ouvir dizer que em uma compra parcelada em dez, doze, ou mais vezes, o 

comprador acaba pagando “duas vezes” o valor do bem. 

2) Fundamentos Básicos da Matemática Financeira 

• Capital 

• Juro 

• Taxa de Juro 

• Montante 

Msc. Fábio Z. Dall’Orto 1

• Juros 

O juro pode ser interpretado de duas maneiras: 

1º) J = Ci i 

2º) J = M − C 

• Montante 

M = C + J 

• Taxa 

J ⎛M −C 

⎞ M C M 

i = = ⎜ ⎟= 

− = −1 

C ⎝ C ⎠ C C C 

3) Regime de Capitalização 

O que é o Regime de Capitalização? 




O regime de capitalização nos informa como a taxa de juro incide sobre o capital. 

Existem basicamente dois regimes de capitalizaçâo: 

• Simples; 

• Composto. 


• Capitalização Simples: 




A taxa incide apenas sobre o capital originalmente aplicado, portanto, os valores dos juros 

incorridos são sempre constantes. 

Graficamente: 

• Capitalização Composta ou Juros Compostos: 

A taxa incide sobre o valor acumulado (capital mais juros) do período anterior, logo, os juros 

crescem de forma exponencial: 





Gráfico Comparativo – Regimes de Capitalização Simples x Composto 

1) Regime de Capita1ização Simples: 

1.1) Conceito - A taxa incide apenas sobre o capital originalmente aplicado, portanto, os 

valores dos juros são sempre constantes. 

1.2) Aplicação deste Regime de capitalização: 

- Desconto de Títulos; 

- Desconto de notas promissórias; 

- Operações de curtíssimo prazo. 

1.3) Relações Fundamentais do Regime de Capitalização Simples: 

• Juros: 

J n = Cii i n 


• Montante: 

M = C + J 

• Capital: 

ATENÇÃO: 

M 

C = 

1 + ( iin) FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL 



M = Ci(1 + in i ) 

I) O juro (J) e o capital (C) são, sempre, expressos em valores monetários; 

II) Faz-se necessário, em qualquer regime de capitalização que a taxa (i) e o prazo (n) 

estejam sempre na mesma unidade de tempo. 

III) A taxa deve ser sempre utilizada na forma decimal. 

1.4) Taxa Nominal, Proporcional e Equivalente (no regime de juros simples). 

•.Taxa Nominal - Quando a unidade de tempo expressa na taxa é maior que a unidade de 

tempo do período de capitalização. 

• 6% ao ano, capitalizada mensalmente; 

• 18% ao ano, capitalizada semestralmente; 

• 15% ao semestre, capitalizada bimestralmete. 

O que fazer nestes casos?? 

•.Taxa Proporcional - E a taxa nominal devidamente adequada ao número de períodos de 

capitalização da operação financeira. 

Como se calcula a taxa proporcional ?? 

i 

i = in 

p 

n 

nc 

p 

i 

i 

p 

n 

n 

n 

c 

p 

= 

= 

= 

= 

Taxa Proporcional 

Taxa Nominal 

Número do período de 

capitalização da taxa nominal 

Número de período de 

capitalização da taxa proporcional 





• Exemplo: para uma taxa nominal de 24% ao ano, capitalizada mensalmente, a taxa 

trimestral proporcional será: 

24% 

i p = i 3 = 6% 

12 

• Taxas Equivalentes: 

Dizemos que duas ou mais taxas são equivalentes quando estão expressas em períodos de 

capitalizações diferentes, entretanto, quando aplicadas a um mesmo capital, com prazos 

idênticos, produzem montantes iguais. 

3) Regime de Capitalização 

ao trimestre 

Existem basicamente dois regimes de capitalização; o simples e o composto. O regime de 

capitalização nos informa como a taxa de juro incide sobre o capital; de forma linear no 

regime simples ou de forma exponencial no regime composto. Pode-se ainda fazer a seguinte 

distinção; na capitalização simples a taxa incide somente sobre o capital inicial e os valores 

dos juros são sempre constantes. Na capitalização composta a taxa incide sobre o valor 

acumulado entre os períodos (capital mais juros) e os juros crescem de forma exponencial. 

• Capitalização Simples (Juros Simples): A taxa incide apenas sobre o capital originalmente 

aplicado, portanto, os valores dos juros incorridos são sempre constantes. 


Graficamente: 




• Capitalização Composta (Juros Compostos): A taxa incide sobre o valor acumulado do 

período anterior, capital mais juros, logo, os juros crescem de forma exponencial: 

Para efeito ilustrativo, vejamos graflcamente a diferença do crescimento de um capital 

aplicado no regime simples e o mesmo valor aplicado no regime composto: 





Perceba que, aplicado a juro composto o crescimento do capital é mais rápido, com exceção 

do primeiro período (assinalado no gráfico), onde, o regime de capitalização simples produz 

resultados maiores. Então, em operações onde o prazo é inferior a 30 dias é preferível aplicar 

a juros simples, contrariando a idéia que muitos têm de que a aplicação a juros compostos é 

sempre a melhor opção. Deriva daí a preferência das operadoras financeiras em utilizar a 

capitalização simples em operações de curtíssimo prazo, como a de hot many. 

3.1) Regime de Capitalização Simples (Juros Simples) 

No regime de capitalização simples a taxa incide apenas sobre o capital originalmente 

aplicado, portanto, os valores dos juros são sempre constantes. A aplicação desse conceito é 

muito restrita no mercado financeiro brasileiro, salvo algumas exceções, tais como: desconto 

de duplicatas, desconto de notas promissórias e operações de curtissimo prazo. Na outra 

grande maioria utiliza-se o regime de capitalização composto, o qual discutiremos mais 

adiante. 

3.1.1) Relações Fundamentais do Regime de Capitalização Simples 

As relações fundamentais do regime de capitalização simples serão desenvolvidas através da 

análise do diagrama abaixo: 

Os Juros, acumulados, entre os períodos são: 

J1 = C0i i 

J = ( C ii) + ( C i 

) 

2 0 0 

J3 = ( C0ii) + ( C0ii) + ( C0i i) 

J = ( C ii) + ( C ii) + ( C ii) + ( C i i) 

4 0 0 0 0 

Colocando o (C . i) em evidência... 

J4 = C0 ii i (1+ 1+ 1+ 1) 

J4 = C0 ii 

i (1+ 1+ 1+ 1) 


Generalizando... 




ATENÇÃO: Na relação acima J e C são valores monetários, i é o coeficiente, ou taxa de 

juros, e n é o prazo da operação. Uma observação cabe ser feita é necessário, em qualquer 

regime de capitalização, que a taxa (i) e o prazo (n) estejam sempre na mesma unidade de 

tempo. Além disso, a taxa deve estar sempre na forma decimal. 

O montante (M) é a soma do capital mais o juro incorrido durante o período da aplicação. De 

maneira intuitiva pode-se representá-lo da seguinte forma: 

M = C + J 

Substituindo o J, anteriormente demonstrado, na equação acima é possível deduzir uma 

expressão mais direta para o cálculo do montante: 

M = C + ( Cii i n) 

Utilizando a expressão do montante e isolando o capital (C) em relação às outras variáveis: 

Exemplos: 

J n = Cii i n 

M = Ci(1 + in i ) 

M 

C = 

1 + ( iin) Juros 

1) Um capital de $ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,50% ao mês durante um trimestre. Pede-se 

determinar o valor dos juros acumulados neste período. 

J 

C 

i 

n 

= 

= 

= 

= 

Capital Investido 

Taxa de juros 

Número de período da aplicação 


Jn= Cin ii 

J = 80.000i0,025i 3 

3 

J = 6.000,00 

3 




2) Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês 

durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $27.000,00 o total dos juros 

incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo. 

J = Cin ii 

n 

27.000= Ci0,06i 

9 

27.000 

C = C = 50.000 

0,069 i 

3) Uma pessoa aplica $ 18.000 à taxa de 1,50% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor 

acumulado ao final deste período. 

M = Ci(1 + in i ) 

M = 18.000 i(1+ 0,015i 8) 

M = 18.000 i (1,12) 

M = 20.160 

3.1.2) Taxa Nominal, Proporcional e Equivalente 

As operações financeiras podem se caracterizar por envolver dois prazos; o da capitalização e 

o referente à taxa de juros. Por exemplo, a poupança tem uma taxa de juros de 6% ao ano, 

mas, a capitalização é mensal. Veja que, a unidade de tempo expressa na taxa é anual e a do 

regime de capitalização é mensal, ou seja, a taxa de juro incidirá sobre o capital mês a mês, 

doze vezes ao ano, e não uma única vez ao ano. [Quando a unidade de tempo expressa na taxa 

é maior que a unidade de tempo do período de capitalização, dizemos que essa taxa é 

nominal.] 


Exemplo: 




• 6% ao ano, capitalizado mensalmente; 

• 18% ao ano, capitalizado semestralmente; 

• 15% ao semestre, capitalizado bimestralmente. 

Sabe-se que para executar cálculos financeiros é preciso que a unidade de tempo expressa na 

taxa seja igual a unidade de tempo do período de capitalização. Entretanto, se o período em 

que a taxa estiver expressa for maior que o período de capitalização, esta taxa é chamada de 

taxa nominal. Tendo em vista o que foi dito, chama-se de taxa proporcional à taxa nominal 

devidamente adequada ao número de períodos de capitalização da operação financeira. A 

taxa proporcional é dada pela taxa nominal, dividida pelo número de capitalização do 

período, multiplicada pelo número de capitalização da operação. 

Por exemplo, para uma taxa nominal de 24% ao ano, capitalizada mensalmente, a taxa 

trimestral proporcional será: 

0,24 

i p = 3= 0,06=> 6% 

12 

i 

i 

p 

n 

n 

n 

c 

p 

i ao trimestre 

= 

= 

= 

= 

Dizemos que duas ou mais taxas são equivalentes quando estão expressas em períodos de 

capitalizações diferentes, entretanto, quando aplicadas a um mesmo capital, com prazos 

idênticos, produzem montantes iguais. 

Graficamente: 

Taxa proporcional; 

Taxa nominal; 

nº do periodo de capitalização da taxa nominal; 

nº de periodo da aplicação financeira 





Observe no diagrama acima que, se dois valores iguais (C) forem aplicados a um mesmo 

prazo, um à taxa de 20% ao ano, o outro à taxa de 1,67%o ao mês, produzem o mesmo 

montante (M), então, as taxas são consideradas equivalentes. No entanto, pela própria 

natureza do regime de capitalização simples, onde, a taxa de juros evolui de forma linear, não 

existirá diferença entre a taxa equivalente e a proporcional. A taxa equivalente é calculada 

com a mesma fórmula que calcula a taxa proporcional. 

Exercícios Resolvidos: 

1) Calcule a taxa mensal proporcional a: 18% ao ano; 12% ao semestre. 

18% 

ip= i 1= 1,5% am . . 

12 

12% 

ip= i 1= 2% am . . 

6 

2) Calcule a taxa de juros semestral proporcional: 45% ao ano; 12% ao quadrimestre. 

45% 

ip= i 6= 22,50% as .. 

12 

12% 

ip= i 6= 18% as .. 

4 

3) Determine se 46% ao ano é equivalente a 8% ao bimestre. 

46% 

ie= 2= 7,67% ab .. 

12 

i Portanto não são equivalentes. 

Pode-se resolver também, partindo da taxa de menor período: 

8% 

ie= 12= 48% aa .. 

2 

i Ratificando a afirmação acima. 

4) Um capital de $5.000,00 foi aplicado a juros simples durante quatro meses à taxa de 18% 

ao ano. Obtenha os Juros e o Montante aferidos na operação: 


J = Cin ii 

⎛0,18 ⎞ 

J = 5.000i⎜ ⎟i4 

J = 300,00 

⎝ 12 ⎠ 

M = C+ J 

M = 5.000+ 300 M = 5.300 




5) Qual o capital que rende juros de $3.000,00 aplicados no prazo de cinco meses, sendo que, 

a taxa é de 2% ao mês? 

J = Cin ii 

J 

C = 

in i 

3.000 

C = 

0,02i5 C = 30.000,00 

6) Uma aplicação financeira de $8.000,00 tem prazo de cinco meses e rende juros simples à 

taxa de 22 % ao ano. Se o imposto de renda é 20% do ganho, calcule: 

a) O montante resgatado no final do período? 

b) O valor do IR pago? 

c) O capital que deve ser aplicado para que se resgate $9.500,00 líquidos? 


a) Sendo o IR 20% do ganho (juros): 

M = C+ J − IR 

M = C+ ( Cin ii ) −0,20J 

⎛ 0,22 ⎞ ⎛ 0,22 ⎞ 

M = 8.000+ ⎜8.000i i5 −0,20 

8.000 5 

12 

⎟ i⎜ i i 

12 

⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

M = 8.000+ 733,33 − 0,20i 733,33 

( ) ( ) 

M = 8.733,33− 146,66 M = 8.586,67 

b) IR=20% X J 

IR= 0,20 i( Cin ii ) 

⎛ 0,22 ⎞ 

IR = 0,20i⎜8.000i i 5⎟ 

⎝ 12 ⎠ 

IR = 146,66 

c) Montante líquido desejado $9.500,00: 

M = C+ J− IR 

M = C+ J − 0,20J 

M = C + 0,80J 

⎡ ⎛0,22 ⎞ ⎤ 

C = 9.500−0,80i⎢Ci⎜ ⎟i 

5 

12 

⎥ 

⎣ ⎝ ⎠ ⎦ 

C = 9.500−0,80i 0,0917C 

C = 9.500− 0,0734C 

1,0734C = 9.500 

9.500 

C = 

1,0734 

C = 8.850,40 

( ) 




7) Um comerciante tomou um empréstimo de $90.000,00 à taxa de 72% ao ano. Se ele pagou 

$27.000,00 de juros, qual o período que ele permaneceu com o dinheiro? 

J = Cin ii 

0,72 

27.000= 90.000i i n 

12 

5.400i n = 27.000 


27.000 

n = 

5.400 

n= 5meses 




EXERCÍCIO JUROS SIMPLES 

1) Em quantos dias o capital de R$5.000,00 rende, à taxa de 2% ao 

mês, juros de R$ 140,00 ? 

Jn = Cin ii 

140,00= 5.000i0,02in 140= 100n 

140 

n= = 1,4meses 

100 

Em dias: 1,4i 30 = 42dias 

2) Coloquei certa quantia a juros simples a taxa de 2% ao mês. Após 

dois anos e três meses obtive um montante de R$8.000,00. Qual foi 

a quantia aplicada ? 

M 

C = 

1 + (.) in 

8.000 

C = 

1 + ( in i ) 

8.000 

C = 

1 + (0,02i27) 8.000 

C = 

1+ 0,54 

8.000 

C = = 5.194,80 

1,54 

3) Maria Clara aplicou R$70.000,00 num banco, a prazo fixo por três 

meses, à taxa de 6% ao mês. Sabendo que, sobre os juros, incide 

uma taxa de 25% de imposto de renda, determine o valor dos juros 

recebidos. 

DADOS: 

Aplicou 70.000,00 Prazo de 3 meses Taxa de 6% ao mês Taxa de 

25% IR 

Jn = Cin ii 

Jn = 70.000i0,06i3 Jn = 12.600 

25% => 12.600− 3.150,00= 9.450,00 





4) Determine a taxa bimestral de juros simples que faz com que um 

capital triplique de valor após 2 anos. (RESP: 16,70% a.b.). 

DADOS: 

Taxa bimestral ? n=12 bimestres (para 2 anos) M=3C (Para triplicar o 

capital) 

a) 

M = Ci(1 + in i ) 

M = 3C 

3 C = Ci(1 + in i ) => 3 C = Ci(1+ ii12) 

3C 

= (1+ 12 i) => 3= 1+ 12i 

C 

3− 1= 12i => 2= 12i 

2 

i = => 0,1667 

12 

i = 16,67% 

5) Calcular a taxa proporcional de juros simples de: 

a) 14,40% a.a. para mensal; b) 23,50% a.s. para bimestre. 

i 

i = in 

p 

b) 

n 

nc 

p 

i 

i = in 

p 

n 

nc 

p 

0,144 

i p = i1 ip= 0,012=> 12% am . . 

12 

0,235 

i p = i2 ip= 0,0783=> 7,83% ab .. 

6 

6) Uma TV em cores é vendida nas seguintes condições: 

? preço a vista = R$ 1.800,00; 

? ou a prazo = 30% de entrada e R$ 1.300,00 em 30 dias. 

Determine a taxa de juros cobrada na venda a prazo. (Resp.: i=3,17% 

ao mês) 

TV a vista = 1800,00 

Entrada 30%=540,00 

Restou 1.260,00 1.300 – 12060 = R$40,00 de juros 

J 40,00 

i = i= 

=> 0,0317 am . . => 

3,17% am . . 

C 1.260,00 





7) Em quanto tempo triplica um capital que cresce à taxa de 21% ao 

semestre ? 

(Resp.: 57,14 meses ou 9,52 semestres). 

DADOS: I=21% a.s. = 3,5 a.m. M=3C n=? 

M = Ci(1 + in i ) 3 C = Ci(1+ 3,5 in) 3C 

= (1+ 3,5 n) 

3= 1+ 3,5n 

C 

3− 1= 3,5n 2= 3,5n 

2 

n= = 0,5714=> 57,14meses=> 9,52semestre 

3,5 

8) Uma máquina calculadora está sendo vendida a prazo nas seguintes 

condições: 

? R$ 128,00 de entrada; R$ 192,00 em 30 dias; R$ 192,00 em 60dias. 

Sendo de 1,1% ao mês a taxa de juros, pede-se calcular até que preço 

é interessante comprar a máquina a vista. (Resp.: R$505,66). 

DADOS: Entrada 128,00 i=1,1% 30 dias 192,00 i=2,2% 60 

dias 192,00 Montante = 512,00. 

J = ( C ii) + ( C ii) J = (192i0,011) + (192i0,022) J = 2,112+ 4,224 

o o 

J = 6,336 M − J => 512− 6,336 => R$505,66 

9) Um capital acrescido de seus juros de 21 meses soma R$ 

156.400,00. O mesmo capital diminuído de seus juros de 9 meses é 

reduzido a R$88.400,00. Calcule o capital e a taxa de juros simples 

ganho. (Resp.: R$ 108.800,00 e 25% ao ano). 

156.400 

M = Ci(1 + in i ) 156.400 = Ci(1+ ii21) 

C 

= 

(1+ ii21) 

M = C −J 88.400 

C = 

(1−ii9) M = C−( Cin ii ) M = C(1 ii in) 

88.400 = Ci(1−ii9) 

Como C = C 

156.400 88.400 

C = = C = 

(1+ ii21) 

(1−ii9) 156.400 

= 

(1+ 21) i 

88.400 

(1−9) i 

 

156.400(1− 9) i = 88.400(1+ 21) i 156.400− 1407.600 i i= 88.400+ 1856.400i 

 

156.400− 88.400 = 1856.400i+ 1407600i 

68.000 = 3.264.000i 


68.000 

i= => 0,021 am . . × 12 = aa . 

3.264.000 




156.400 = Ci(1 + in) 

156.400 = Ci(1+ 

0,0208i21) 156.400 = Ci(1+ 

0,4375) 

156.400 = Ci 

(1,4375) 

156.400 

C = => 108.800 

1,4375 

10) Uma aplicação de R$ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 

meses à taxa de juros simples de 26% ao ano. Que outra quantia 

deve ser aplicada por 2 meses à taxa de 9% ao semestre para se 

obter o mesmo rendimento financeiro? (Resp.: R$32.500,00). 

DADOS: Aplicação 15.000 n= 3 meses i=26% a.a ou i=2,1667% 

a.m.=0,021667 

Jn = Cin ii Jn = 15.000i0,0216i3 Jn = R$975,00 

9% as .. = 1,5% am . . = 0,015 

n=2meses 

975 

Jn = Cin ii 975= Ci0,015i2C 

= = R$32.500,00 

0,03 

11) Um investidor aplicou 20% do seu capital à 15% a.a., 25% de 

seu capital a 18% a.a. e o restante a 12% a.a, no regime de juros 

simples. Determine o valor do capital inicialmente aplicado, sabendo 

que os juros acumulados no final de dois anos foram iguais a R$ 

14.100,00. (Resp.: R$50.000,00). 

DADOS: J=14.100 n=2Anos i1=15% a.a. i2=18% a.a. 

i3=12%a.a. 

Jn = Cin ii 

J1= 0,20Ci0,15i 2=> 0,06C 

J2 = 0,25Ci0,18i 2 => 0,09C 

J3 = 0,55Ci0,12i 2=> 0,132C 

0,06C+ 0,09C + 0,132 C = R$14.100,00 

0,282C = 14.100 14.100 

C = => 

R$50.000,00 

0,282 





12) Um investidor depositou R$400.000,00 num banco, a prazo fixo 

por dois meses, à taxa de 3% ao mês. Sabendo que, sobre os juros, 

incide uma taxa de 30% de impostos de renda, determine o valor dos 

juros recebidos. 

(Resp.: R$16.800,00). 

Jn = Cin ii 

Jn = 400.000i0,03i2Jn = 24.000− 30% = 7.200,00 

O valor recebido foi R$16.800,00 

13) Uma geladeira é vendida a vista por R$ 1.000,00 ou em duas 

parcelas, sendo a primeira como entrada de R$ 200,00 e a segunda, 

dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros 

utilizada ? (Resp.: 5%). 

DADOS: Entrada=200,00 Restante: 880,00 n=2 

1000,00− 200,00 = 800,00 

Jn = Cin ii 

80= 800ii i 280 

1600i 

= 80 

i = => 0,05=> 5% 

1600 


Sumário: 




3.2) REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTO (JUROS COMPOSTOS)..............................................................................21 

3.2.1) Relações Fundamentais do Regime de Capitalização Composta............................................................... 21 

Exercícios Resolvidos:................................................................................................................................................... 26 

3.2.2) Taxa Nominal, Efetiva e Equivalente............................................................................................................... 29 

? Taxa Nominal (i) e Taxa Efetiva (i e) ..........................................................................................................................29 

? Conversão de Taxa Efetiva em Nominal ....................................................................................................................32 

3.2.3) Taxas Equivalentes ............................................................................................................................................. 34 

Exercícios Resolvidos..................................................................................................................................................... 36 

Exercícios Propostos...................................................................................................................................................... 40 





3.2) Regime de Capitalização Composto (Juros Compostos) 

A capitalização composta se difere da simples por apresentar taxas de juros crescentes de 

forma exponencial. Os juros são sempre calculados sobre o valor acumulado do período 

anterior; o capital em que a taxa incidirá em tn+1 é igual ao montante, capital mais juros, do 

período tn. Fica evidente, então, que no regime de capitalização composto os juros, incorridos 

entre os períodos, também são remunerados, enquanto no regime simples apenas o capital 

inicial é remunerado. 

No mercado, as principais operações financeiras utilizam a metodologia da capitalização 

composta, enquanto a capitalização simples é mais restrita e menos comum. A utilização de 

uma calculadora financeira pode ser muito conveniente para efetuar operações do regime de 

capitalização composta, tendo em vista a existência de situações onde o cálculo manual é de 

difícil operacionalização, tais como; alternâncias dos embolsos e desembolsos, fluxos 

assimétricos, prazos não uniformes, cálculos de potencialização e radiciação. 

Para desenvolver as relações fundamentais da capitalização composta, resolveremos um 

exemplo bem simples que ajudará no entendimento das definições. As notações que 

contemplam as funções deste regime de capitalização serão padronizadas com as que estão 

disponíveis no teclado da calculadora HP-12C, pois, é esta ferramenta que lançaremos mão 

para resolver grande parte dos nossos exercícios, tanto deste capítulo, quanto dos outros que o 

seguiram. 

3.2.1) Relações Fundamentais do Regime de Capitalização Composta 

Imagine uma aplicação de $10.000,00 à taxa de 3% ao mês durante 3 meses. Qual o valor de 

resgate e os juros ganhos a cada período? 





Sendo o montante, que a partir desse momento chamaremos de Valor Futuro - FV devido a 

padronização com as notações da HP - 12c, dado por: 

FV = PV + 

J 

( PV i) 

FV = PV + ⋅ 

( PV ⋅i) 

PV 

FV = + 

PV PV 

e, inserindo os valores do exemplo supra citado na fórmula apresentada, onde, o capital, que 

classificaremos como Valor Presente – PV, também devido às padronizações mencionadas , é 

de $10.000,00 e a taxa de 3% ao mês, temos que: 

• FV = 10. 

000⋅ 

( 1 + 0, 

03) 

FV 

1 

1 

= 10. 

000⋅ 

FV 1 = 10. 

300 

( 1. 

03) 

• FV = 10. 

300 ⋅ ( 1. 

03) 

2 

FV 2 = 10. 

609 

• FV = 10. 

609⋅ 

( 1. 

03) 

3 

PV = 10.000 

( i) 

FV = PV ⋅ 1 + 

3 10. 

927, 

27 = FV 

FV = ? 

t1 t2 t3 

Cálculo do Valor Futuro - FV 





Perceba que, por indução finita, pode-se escrever a seguinte relação: 

• FV = PV + J 

1 

FV = PV + ( PV ⋅ i) 

1 

FV = PV ⋅( 

1 + i) 

1 

• FV FV + J 

2 

= 1 

FV = FV + FV ⋅ i) 

2 

1 

( 1 

FV = FV ⋅( 

1 + i) 

2 

1 

FV = PV ⋅ ( 1+ 

i) 

⋅ ( 1+ 

i) 

2 

FV = PV ⋅ ( 1+ 

i) 

2 

• FV FV + J 

3 = 2 

FV = FV + FV ⋅ i) 

3 

2 

2 

( 2 

FV = FV ⋅ ( 1+ 

i) 

3 

2 

2 

FV = PV ⋅ ( 1 + i) 

⋅ ( 1 + i) 

3 

FV = PV ⋅ ( 1 + i) 

Generalizando... 

3 

FV - valor futuro 

VP - valor presente 

i - taxa de juros 

n - número de capitalizações 

FV = 10.000 i (1+ 0,03) 

FV = 10.000 i(1,031,031,03) i i 

FV = 10.000 i(1,0609i 1,03) 

FV = 10.0001,092727 i 

FV = 10.927.27 

FV = 

PV ⋅ ( 1+ 

i) 

3 

3 

n 


Observações: 

i) Na equação acima ( + i) 

ii) A fração composta por ( ) n 

+ i 




1 é conhecido como Fator de Capitalização – FC; 

1 é conhecida como Fator de Acumulação de Capital - 

FAC. Fundamentalmente, é o Fator de Capitalização elevado ao número de períodos 

que se quer capitalizar o Valor Presente. Portanto, o valor do FAC é dado em função de 

i e n: FAC (i, n). Seus valores encontram-se calculados para diversas combinações de 

prazo é taxas de juros no anexo desta apostila. A tabela é de extrema importância, 

principalmente quando não se tem em mãos uma calculadora financeira para executar o 

cálculo do PV e do FV, dado que o FAC é o resultado de uma expressão com operação 

exponencial; 

iii) Assim como no regime de capitalização simples, no composto também deverá haver 

igualdade nas unidades de tempo da taxa e do prazo; 

iv) Para converter o prazo para a mesma unidade de tempo da taxa, divide-se ou 

multiplica-se de acordo com a unidade de tempo expressa na taxa. Nunca multiplique e 

divida a taxa como é feita no regime de capitalização simples; 

v) Nunca esquecer que no momento de substituir os valores nas fórmulas, a taxa de juros 

deve está na forma decimal. 

A partir da fórmula geral do FV, pode-se extrair outras relações: 

Valor Presente (PV) 

FV = PV ⋅( 

1+ 

i) 

FV 

PV = OU : 

n 

( 1 + i) 

PV = FV ⋅ ( 

1+ 

i) 

n 

−n 


Taxa (i) 

Partindo novamente do FV: 

( ) n 

i 

FV = PV ⋅ 1 + 

FV 

n 

= ( 1+ 

i) 

PV 

1 

Elevando os dois lados a ... 

n 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

FV 

PV 

FV 

PV 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1 

n 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1 

n 

FV n 

1 

⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ PV ⎠ 

= 

= 

[ ( ) ] n 

1 

n 

1 + i 

= 

n 

( 1 + i)n 

( 1+ 

i) 

1 ⎡ ⎤ 

⎢⎛ 

FV ⎞ n 

i 

= ⎜ ⎟ −1⎥ 

⎢⎝ 

PV ⎠ ⎥ 

⎣ ⎦ 

Período (n) 




Para determinar o período aplica-se uma propriedade inerente às equações logarítmicas. 

Primeiramente, vejamos alguns exemplos desta propriedade: 

n 

• Log X = n ⋅ Log X 

• 

• 

15 4 

4 

Log = ⋅ Log 

10 5 

5 

Ln = ⋅ Ln 

10 

15 





Essa última notação, Ln, é muito comum nas calculadoras financeiras, ela representar o 

logaritmo na base neperiana, e, onde, e é igual a 2,7183 aproximadamente. Então: 

• 

Log 10 = Ln 

2, 

7183 

10 

. 

Visto isto, já podemos deduzir uma fórmula para calcular o valor de n: 

( ) n 

i 

FV = PV ⋅ 1 + 

FV 

PV 

( ) n 

+ i 

= 1 

FV 

Ln = Ln 1 + 

PV 

( ) n 

i 

FV 

Ln = n ⋅ Ln 1+ 

PV 


( i) 

1) Um capital de $50.000,00 foi aplicado pelo prazo de 6 meses á taxa de 2% ao mês. Qual o 

montante desta aplicação? 

( ) n 

i 

FV = PV ⋅ 1 + 

FV 

= 

FV = 

n = 

Ln 

Ln 

50 . 000 ⋅ + 

50. 000⋅ 

1. 

126 

FV = 56. 

308, 

121 

FV 

PV 

( 1 + i) 

( ) 6 

1 0, 

02 

PV= 50.000 

Montante?FV 

Msc. Fábio Z. Dall’Orto 26 

n = 6 

i = 2%

Usando a HP 12c: 

50.000 (CHS) (PV) Valor Presente (sinal negativo) 

2 (i) Taxa de juros 

6 (n) Número de períodos de capitalização 

(FV)... Comando para calcular o Valor Futuro 

56.308,12 Resposta 




2) Qual capital que aplicado a uma taxa de juros compostos de 2,50% ao mês produz um 

montante de $3.500,00 após um ano? 

( ) n 

i 

FV = PV ⋅ 1 + 

3 . 500 = PV ⋅ + 

( ) 12 

1 0, 

25 

3. 500 = PV ⋅1, 

3449 

PV 

= 

3. 

500 

1, 

3449 

PV = 2. 

602, 

42 


3.500 (FV) Valor Futuro 

2,5 (i) Taxa de juro 


(PV)... Comando para calcular o Valor Presente 

2.602,42 Resposta (sinal negativo - saída de caixa) 

3) Um capital de $2.500,00 aplicados durante 4 meses gerou um montante de $3.500,00. Qual a 

taxa juros mensal desta operação financeira? 

1 ⎡ ⎤ 

⎢⎛ 

FV ⎞ n 

i = ⎜ ⎟ −1⎥ 

⎢⎝ 

PV ⎠ ⎥ 

⎣ ⎦ 

1 

⎡ 

⎤ 

⎢⎛ 

3. 

500⎞ 

4 

i = ⎜ ⎟ −1⎥ 

⎢⎝ 

2. 

500⎠ 

⎥ 

⎣ 

⎦ 

i = 

0, 

25 ( 1, 

40) 

− 1 

i = 1, 088 − 1 

i = 8, 

776 

% ao mês. 

Capital? (PV) 

PV= 2.500 

n = 12 

FV= 3.500 

FV = 3.500 


n = 4 

i = ? 

i =2,5% 

3500 Enter 

2500 ÷ 

4 1/x


2.500 (CHS) (PV) Valor Presente (sinal negativo) 

3.500 (FV) Valor Futuro 


(i)... Calculo da taxa 

8,78 Resposta 




4) Durante quanto tempo um capital de $1.000,00 deve ser aplicado à taxa de 10% ao ano para 

gerar um montante de $1.610,51? 

n = 

Ln 

Ln 

Ln 

n = 

Ln 

Ln 

n = 

Ln 

FV 

PV 

( 1 + i) 

1. 

610, 

51 

1. 

000 

( 1 + 0, 

10) 

1, 

611 

( 1, 

10) 

0, 

477 

n = ⇒ 5 anos. 

0, 

095 

1000 CHS PV 

1.610,51 FV 

10 i 

N = ? 

PV= 1.000 

1610,51 Enter 

1000 ÷ 

g Ln 

1,10 

g Ln 

÷ 

FV= 1.610,51 

Para achar o prazo (n), a calculadora HP não funciona ! 


n = ? 

i =0,10

3.2.2) Taxa Nominal, Efetiva e Equivalente 




Até então, abordamos a capitalização de valores da forma mais simples possível; os 

pagamentos e recebimentos eram realizados em apenas uma parcela e a taxa de juros era 

fornecida de acordo com o período de capitalização. No entanto, vimos no capítulo 1 que 

existem vários tipos de fluxos de caixa: uniformes, não uniformes, periódicos, crescentes, 

decrescentes e etc. Para avançar no estudo e trabalhar com séries de pagamentos mais 

complexas, ou seja, que contemplem mais de dois fluxos financeiros, deve-se dominar alguns 

conceitos importantes referentes às taxas. Esses conceitos auxiliarão na resolução de 

problemas, onde, os embolsos e desembolsos não seguem um padrão, como aqueles vistos até 

agora. 

? Taxa Nominal (i) e Taxa Efetiva (ie) 

Conceitualmente a Taxa nominal já foi definida na secção 3.1.2, ela é aquela onde a taxa é 

expressa em unidade de tempo diferente do período de capitalização da operação financeira. Na 

prática, a taxa nominal só servirá como parâmetro de comparação entre operações financeiras, 

o seu valor não é aplicado nos cálculos. Logo abaixo citamos outros exemplos de taxas 

nominais: 

• 18% ao ano, capitalizado mensalmente; 

• 3% ao mês, capitalizado diariamente; 

• 15% ao semestre, capitalizado bimestralmente. 

Taxa Efetiva de juros é aquela apurada durante todo o prazo da operação financeira. Ela é 

construída pelo processo de formação exponencial da taxa nominal ao longo dos períodos de 

capitalização. A incidência da taxa de juros efetiva sobre o capital, acontece uma única vez 

durante o processo de capitalização, logo, pode-se concluir que a unidade de tempo expressa 

por ela é sempre igual ao do período de capitalização. 

Vejamos um Exemplo: um capital de $1.000,00 foi aplicado pelo prazo de dois anos. Se o 

montante da operação financeira era de $1.610,51 qual a taxa de juros efetiva no período? 


• 

i e 

1. 610, 

51 −1. 

000 

= 

1. 

000 

i = 61, 

05% 

ao período. 

e 




Observe que neste exemplo extraímos a taxa efetiva com os valores informados do PV e do FV. 

No entanto, nem sempre isso será possível ou de interesse. Na maioria das vezes a informação 

disponível para se calcular a taxa efetiva é a taxa nominal. Para atender essa necessidade 

desenvolveremos uma relação entre a taxa nominal e a efetiva. 

Vimos no exemplo acima que: 

• 

J 

ie = 

PV 

i e 

i e 

i 

i 

e 

e 

FV − PV 

= 

PV 

= 

FV 

PV 

− 

PV 

PV 

n 

⎛ PV ⋅( 

1 + i) 

⎞ 

= ⎜ 

−1 

⎟ 

⎝ PV ⎠ 

= 

n 

( 1+ i) 

−1 

Como obrigatoriamente, na efetivação do cálculo, a taxa deve estar expressa na mesma unidade 

de tempo do período de capitalização, divide-se a taxa nominal pelo número de capitalização 

que o período expresso nela contempla e eleva-se ao número de período que se deseja calcular 

a taxa efetiva: 

i 

⎛ ⎞ 

= ⎜1 

+ i ⎟ −1 

⎝ 

p ⎠ 

e n 

ie = Taxa efetiva; 

n 

1.000 

1.610,51 


n = nº de capitalizações do período; 

np = nº de capitalizações da taxa nominal; 

i = Taxa nominal. 




É importante frisar que a taxa só será nominal se observada a diferença entre a unidade de 

tempo do período de capitalização e aquele expresso por ela, caso contrário, a taxa será sempre 

efetiva. Para um mesmo prazo a taxa nominal será sempre menor que a efetiva, reflexo da 

capitalização linear da primeira e exponencial da segunda. 

Exemplo: Um banco anuncia que paga juros à taxa nominal de 24% ao ano para fundos de 

aplicação com saldo superior a $25.000,00. Se o período de capitalização dos juros é mensal, 

qual a taxa efetiva do investidor? 

⎛ ⎞ 

• e = ⎜1 

+ ⎟ − 1 

⎝ np 

⎠ 

i i 

i e 

i e 

i e 

⎛ 

= ⎜1 

+ 

⎝ 

= 

0, 

24 

12 

⎞ 

n 

⎟ 

⎠ 

12 

( 1, 

02) 

−1 

= 1, 2682 − 1 

12 

− 1 

i = 26, 

82% 

ao ano. 

e 

Note que, contrariando o que muitos pensam, o ganho é superior aos 24% ao ano, informado 

pela taxa nominal. Podemos citar outros exemplos de taxa nominal e efetiva: 

• 18% ao ano, capitalizado semestralmente: 

2 

⎛ 0, 

18 ⎞ 

i e = ⎜1 

+ ⎟ −1 

⇒ i e = 18, 

81% 

ao ano; 

⎝ 2 ⎠ 


• 7% ao mês, capitalizado diariamente: 

30 




⎛ 0, 

07 ⎞ 

i e = ⎜1 

+ ⎟ − 1 ⇒ i e = 7, 

24 % ao mês; 

⎝ 30 ⎠ 

• 10 % ao semestre, capitalizado bimestralmente: 

3 

⎛ 0, 

10 ⎞ 

i e = ⎜1 

+ ⎟ −1 

⇒ i e = 10, 

34% 

ao bimestre. 

⎝ 3 ⎠ 

Quanto maior o número de períodos de capitalizações de uma taxa nominal, maior será a taxa 

efetiva. Vejamos o quadro abaixo, onde, a taxa nominal é de 18% ao ano: 

Período de Capitalização Número de Períodos Taxa Efetiva Anual 

Anual 1 18% 

Semestral 2 18,81% 

Quadrimestral 3 19,10% 

Trimestral 4 19,25% 

Mensal 12 19,56% 

Diária 360 19,72% 

? Conversão de Taxa Efetiva em Nominal 

Às vezes, para comparações de desempenhos de investimentos, temos a necessidade de 

transformar uma taxa efetiva em nominal. 

Exemplo: Calcule a taxa nominal anual da série abaixo capitalizada mensalmente, e compare 

com fundos que rendem a taxa SELIC (17% ao ano). 

• 

i e 

i e 

⎡FV 

⎤ 

= ⎢ − 1⎥ 

⎣PV 

⎦ 

⎡1. 

416, 

10 ⎤ 

= ⎢ − 1⎥ 

⎣ 1. 

000 ⎦ 

i = 41, 

61% 

ao período. 

e 

1.000 

2 anos 

1.416,10 





Como já conhecemos a relação entre taxa efetiva e nominal, apenas isolaremos a taxa nominal: 

⎛ ⎞ 

• i = ⎜1 

+ i 

e ⎟ −1 

⎝ np 

⎠ 

n 

⎛ i ⎞ 

ie + 1 = ⎜1 

+ 

n 

⎟ 

⎝ 

p ⎠ 

( i + 1) 

n 

e n p 

i 

1 

= ⎢⎜1 

( ) 

n 

⎡⎛ 

+ 

⎢⎣ 

⎝ 

n 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

n 

e 

n 

n 

n p 

i 

1 

i + 1 

⎛ 

= ⎜1+ 

⎝ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

( ) 

n 

e n p 

i 

+ 1 = 1 

1 

i + 

i 

n 

( 1) 1 

1 

i + − 

= n 

e 

p 

⎡ ⎤ 

i = 

⎢⎣ 

1 

⎥⎦ 

⋅ 

Calculando a taxa nominal do fluxo acima teremos: 

⎡ 

⎢⎣ 

⎤ 

⎥ 

⎥⎦ 

• i = ( 1 + 0, 

4161) 

24 − 1 ⋅12 

i = 

i = 

( ie 

+ 1) n − n p 

1 

[ 1, 0146 −1] 

⋅12 

[ 0, 0146] 

⋅12 

i = 17, 

52 % ao ano. 

1 

⎤ 

⎥⎦ 

1 

n 

Respondendo a pergunta, este investimento gerou ganhos superiores àqueles atrelados à taxa 

SELIC, pois, o seu retorno nominal anual é de 17,52%, contra 17% do outro. 





O diagrama abaixo resume as conversões das taxas efetivas e nominais: 

⎡ ⎤ 

= 

⎢⎣ 

1 

⎥⎦ 

1 

( 1 + i ) − ⋅ n 

i e 

n 

3.2.3) Taxas Equivalentes 

Já desenvolvemos o conceito de Taxas Equivalentes no item 3.1.2 (pág. 7). Relembrando a 

definição anteriormente mostrada, duas ou mais taxas são equivalentes quando aplicadas a um 

mesmo capital, com prazos idênticos, produzem montantes iguais. Entretanto, neste caso, há 

uma diferença de algebrismo no cálculo da taxa equivalência, pois agora a capitalização é 

através do regime composto. 

Vejamos um exemplo: um capital de $15.000,00 aplicado à taxa de 12% ao mês produz o 

mesmo montante se aplicado a 0,3785% ao dia. Ou seja, as taxas de 12% ao mês e 0,3785% ao 

dia são equivalentes. 

15.000 

Taxa Efetiva 

Taxa Nominal 

Taxa 12% ao mês 

Taxa 0,3785% ao dia 

Observe que os montantes produzidos pelas taxas são iguais, $18.000, logo, elas são 

equivalentes. Pode-se desenvolver a seguinte relação: 

⎛ ⎞ 

= ⎜1+ 

⎟ −1 

⎝ p ⎠ 

i 

e n 


i 

Taxa Efetiva x Taxa Nominal 

16.800 

Taxas Equivalentes 

n

FV = FV 

• 1 2 

( ) ( ) n 

n 

1 + i = PV ⋅ i 

PV ⋅ 1+ 

mensal 




diário 

( ) ( ) 30 

1 

1 + 0, 

12 = 15. 

000 ⋅ 1+ 

i 

15. 000⋅ 

diário 

15. 

000 

15. 

000 

⋅ 

( ) ( ) 30 

1, 

12 = 1+ 

i 

( ) 30 

1 + i 

1, 12 = diário 

diário 

⎛ 1 ⎞ 

Elevando os dois lados a ⎜ ⎟ ... 

⎝ 30 ⎠ 

[ ] 30 

1 

30 

1 

( , 12) 

30 = ( 1+ 

i ) 

1 diário 

30 

1, 0038 = ( 1 + idiário)30 

1 , 0038 

i diário 

=1 + idiário 

= 1, 0038 −1 

i = 0, 

3785% 

ao dia, confirmando a equivalência apresentada no diagrama. 

diário 

Generalizando a demonstração acima... 

FV = FV 

• 1 2 

( ) ( ) n 

1 + i = PV ⋅ i 

PV ⋅ 1+ 

PV 

PV 

mensal 

( ) ( ) n 

1 + i = + i 

⋅ 1 

mensal 

( ) ( ) n 

1 + i = 1+ 

i 

mensal 

diário 

( ) ( ) n 

1 

+ = 1+ 

i 

i > 

< 

diário 

i> - Taxa do maior período; 

i< - Taxa do menor período;. 

diário 

n - nº de vezes que o período menor acontece dentro no maior. 


Exercícios Resolvidos 




1) Uma instituição financeira cobra uma taxa de juros efetiva de 36% ao ano. Admitindo que o 

período de capitalização é mensal, calcule a taxa equivalente: mensal, bimestral, trimestral e 

semestral. 

• Mensal: 

( 1+ i ) = ( 1+ 

i ) 

> < 

( ) ( ) 12 

+ 0, 

36 = 1+ 

i 

1 < 

1 

( ) 12 = ( + ) 

n 

1 

12 

⎡ ⎤12 

1,36 1 i < ⎣ ⎦ 

1 

1 12 

⎡ ⎤ 

1,36 ⎢ 1 i < ⎥ 

⎣ ⎦ 

( ) ( ) 12 

12 = + 1 

1 , 026 

= 1+ 

i 

< 

i < = 1− 1, 

026 

i = 2, 

595 ao mês. 

< 

Usando a HP 12c 

1,36 (Enter) 

12 (1/x) (y x ) 

1 (-) 

100 (x)... 

2,595 

• Bimestral: 

( ) ( ) 6 

+ 0, 

36 = 1+ 

i 

1 < 

1 

6 

[ ] 6 

1 

6 

( , 36) 

= ( 1 + i ) 

1 < 

1 , 053 = 1 + i 

< 

i < = 1− 1, 

053 

i = 5, 

258% 

ao bimestre. 

< 

Capitais Iguais Montantes iguais 

C 

C 

36% a.a 

2,595% a.m 


M 

M


1,36 (Enter) 

6 (1/x) (y x ) 

1 (-) 

100 (x)... 

5,258 

• Trimestral: 

( ) ( ) 4 

+ 0, 

36 = 1+ 

i 

1 < 

1 

4 

[ ] 4 

1 

4 

( , 36) 

= ( 1+ 

i ) 

1 < 

1 , 080= 

1+ 

i 

i < 

< 

= 1− 1, 

080 

i = 7, 

99% 

ao trimestre. 

< 


1,36 (Enter) 

4 (1/x) (y x ) 

1 (-) 

100 (x)... 

7,99 

• Semestral: 

( ) ( ) 2 

+ 0, 

36 = 1+ 

i 

1 < 

1 

2 

[ ] 2 

1 

2 

( , 36) 

= ( 1 + i ) 

1 < 

1 , 166= 

1+ 

i 

i < 

< 

= 1 −1, 

166 

i = 16, 

619% 

ao semestre. 

< 


1,36 (Enter) 

2 (1/x) (y x ) 

1 (-) 

100 (x)... 

16,619 








2) A Caderneta de Poupança paga juros nominais de 6% ao ano capitalizado mensalmente. 

Ache a taxa efetiva anual e a taxa mensal que ela deveria pagar para que o ganho efetivo seja 

de 6% ao ano. 

1º) Taxa efetiva: 

i 

i e 

i e 

i e 

= 

n 

( 1 + ) −1 

i 

e n 

⎛ 

= ⎜1 

+ 

⎝ 

= 

0, 

06 

12 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

12 

−1 

12 

( 1+ 

0, 

05) 

−1 

= 1, 0617 − 1 

i = 6, 

17 % ao ano. 

e 

2º) Taxa mensal equivalente a 6% ao ano. 

( ) ( ) n 

1 + = 1 + i 

i > 

< 

( ) ( ) 12 

+ 0, 

06 = 1 + i 

1 < 

[ ] 12 

1 

12 

1 

( , 06) 

12 = ( 1+ 

i ) 

1 < 

12 

( 1+ 

)12 

1 , 0049 = i < 

i < 

= 1, 0049 −1 

i = 0, 

4868 % ao mês. 

< 

3) Um fundo rende 95% do CDI (Certificado de Depósito Interbancário). Se em dois meses de 

aplicação havia 44 dias úteis e a taxa média do CDI no período foi de 2,40% ao mês, calcule o 

valor de resgate considerando um PV de $12.000,00. (A capitalização do CDI é diária e só é 

valida para dias úteis). 





1º) Calculo da taxa efetiva do CDI para o período de 44 dias: 

i 

ie 

ie 

ie 

= 

n 

( 1 + ) −1 

i 

e n 

44 

⎛ 0, 

024⎞ 

= ⎜1+ 

⎟ 

⎝ 30 ⎠ 

= 

( 1, 035) 

− 1 

= 1, 035− 

1 

30 

−1 

i = 3, 

54% 

ao período. 

e 

2º) Calculo da rentabilidade do fundo (95% x CDI): 

i fundo 

= 

3, 54 ⋅ 0, 

95 

i = 3, 

363% 

ao período. 

fundo 

3º) Calculo do valor de resgate do fundo: 

FV = PV ⋅ 1 + 

FV = 12. 000⋅ 

FV 

( i ) 

= 12. 

403, 

52 

fundo 

( 1, 

0363) 

4) O banco A anunciou que cobra taxa efetiva de 5,50% ao mês por empréstimos com prazos 

inferiores a 30 dias. O banco B fez o mesmo anuncio, porém, a taxa é nominal de 5,36% ao 

mês capitalizado diariamente. Podemos afirmar que o banco B é mais generoso com seus 

clientes? 

Para os leigos no assunto, o banco B é menos usurento, pois, aparentemente, cobra taxas 

menores que o banco A. Entretanto, as duas taxas não podem ser comparadas na forma que se 

encontram (uma efetiva e a outra nominal). Fazendo a conversão da taxa do banco A para 

nominal, temos que: 


⎡ ⎤ 

= 

⎢⎣ 

1 

⎥⎦ 

1 

( 1 + i ) − ⋅ n 

i e 

n 

⎡ 

i = 

⎢⎣ 

i = 

i = 

⎤ 

⎥⎦ 

1 

( 1 + 0, 

055) 

30 − 1 ⋅ 30 

0, 

0333 [ ( 1, 

055) 

− 1] 

⋅ 30 

[ 1, 0018 −1] 

⋅30 

i = 5, 

36% 

ao mês. 




Ou seja, os dois bancos trabalham com a mesma taxa, simplesmente um banco divulga a taxa 

na forma efetiva e o outro na forma nominal. Poderíamos, também, transformar a taxa nominal 

do banco B em efetiva: 

i e 

i e 

i e 

= ⎜ 

⎛ 1+ 

⎝ 

= 

0, 

0536 

30 

⎟ 

⎞ 

⎠ 

30 

( 1, 

0018) 

−1 

= 1, 0550 −1 

30 

−1 

i = 5, 

50% 

ao mês. Ratificando o resultado anterior. 

e 

Exercícios Propostos 

1) Calcular o capital que aplicado durante 6 anos à taxa de juros compostos de 15% a.a. 

transforma-se em R$ 14.000,00. (Resp. R$ 6.052,59) 

n = 6 anos FV = 14000 i = 15% a.a. PV ? 

Pv = 

HP: 

Fv 

( 1+ 

i) 

n 

Pv = 

14.000 

( ) 6 

1+ 0,15 

14.000 14.000 

Pv = Pv= => R$6.052,74 

1,15 2,313 

( ) 6 

[14000] [CHS] [FV] [6] [N] [15] [i] [PV] 

2) Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado através de um único 

pagamento de R$ 110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% a.m.? 

(Resp. 5 meses) 

n = ? FV = 110.624,80 i = 15% a.m. PV =55.000,00 





Fv 

Ln 

n = 

Pv 

Ln( 1+ 

i) 

 

110.624,80 

Ln 

55.000,00 Ln2,011 

n = 

n = 

Ln ( 1+ 0,15) 

Ln1,015 

0,699 

n = => 4,99 => 5 

0,140 

HP: 

[55.000] [CHS] [PV] [15] [i] [110.624,80] [FV] [N] 

3) Um capital de R$ 2.000,00 rendeu R$ 280,00 de juros em 2 meses. Calcular a taxa de juros 

efetiva ganha na aplicação. (Resp. 14% a.b. ou 6,77% a.m.) 

n = 2 meses FV = 2.280,00 i = ? PV = 2.000,00 

1 

n 

⎛Fv ⎞ 

i = ⎜ ⎟ −1 

⎝Pv ⎠ 

i = 6,77% am . . 

( 1 i ) ( 1 i ) 

1 

⎛ 2.280⎞2 

i 

= ⎜ −1 

2.000 

⎟ i = ( 1,14)0,5 −1i = 1,0677−1i = 0,0677 ou 

⎝ ⎠ 

n 

+ > = + < ( ) ( ) 2 

1 1 0,0677 

i > 

i > = 1,14−1i > = 0,14 ou 14% a.b. 

+ = + ( ) ( ) 2 

1+ = 1,0677 ( ) 

HP: 

[2.000] [CHS] [PV] [2.280] [FV] [2] [N] [i] 


i > 

1+ i > = 1,14 

4) A que taxa de juros um capital de R$ 13.200,00 poderá transformar-se em R$ 35.112,26 se o 

período de aplicação for de 7 meses? (Resp. 166% a.p. ou 15% a.m.) 

n = 7 meses FV = 35.112,26 i = ? PV =13.200,00 

1 

n 

⎛Fv ⎞ 

i = ⎜ ⎟ −1 

⎝Pv ⎠ 

⎛35.112,26 ⎞7 

i 

= ⎜ −1 

13.200 

⎟ 

⎝ ⎠ 

i= 0,1501=> 15% am . . 

( 1 i ) ( 1 i ) 

1 

i = 2,660 −1 ( ) 0,143 

i = 2,660 −1 ( )17 

n 

+ > = + < ( ) ( ) 7 

1+ i > = 1+ 0,15 ( ) ( ) 7 

1 i > 1,15 

i > = 2,66−1 i > = 1,66 ou 166% a.p. 

HP: 

[13.200] [CHS] [PV] [35.112,26] [FV] [7] [N] [i] 

+ = ( 1+ i > ) = 2,66 

5) Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicados durante 10 meses a juros efetivos de 2% 

a.m.. (Resp. R$ 875,98) 

n = 10 meses FV = ? i = 2,0 a.m. PV =4.000,00 

( 1 ) 

n 

i ( ) 10 

Fv = Pv + i Fv = 4.000i1+ 0,02 Fv = 4.875,978 

J = FV−PV J = 4.875,97−4.000,00 J = 

875,97

HP: 




[4.000] [CHS] [PV] [10] [N] [2] [i] [FV] [4.000] [-] 

6) Aplique hoje R$ 55.000,00 e receba após 6 meses R$ 60.000,00. Qual a taxa mensal de 

rendimento desta aplicação, considerando o regime de juros compostos? (Resp. 1,46% a.m.) 

n = 6 meses FV = 60.000,00 i = ? PV = 55.000,00 

1 

n 

⎛ Fv ⎞ 

i = ⎜ −1 

Pv 

⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛60.000 ⎞6 

i = ⎜ ⎟ −1 

⎝55.000 ⎠ 

Pela fórmula: 

1 

i = 1,0909 −10,0146 ou 1,46%a.m. 

( )16 

x 

[60.000] [Enter] [55.0000] [÷] [6] [1/x] [x> 15.801,708 

[12.000] [CHS] [PV] [8] [N] [3,5] [i] [FV] 

9) Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R$ 40.000,00 que produz 

um montante de R$ 43.894,63 ao final de um quadrimestre. 

(Resp. 2,35% a.m. ou 9,737% a.q.) 

n = 4 FV = 43.894,63 i = ?. PV = 40.000,00 


1 

n 

⎛Fv ⎞ 

i = ⎜ ⎟ −1 

⎝Pv ⎠ 

2,35% am . . 

( 1 i ) ( 1 i ) 

⎛43.894,63 ⎞4 

i 

= ⎜ −1 

40.000,00 

⎟ 

⎝ ⎠ 




1 

i = 1,097 −1 i = ( 1,0235) −1i = 0,235 

( )1 

4 

n 

+ > = + < ( ) ( ) 4 

1+ i > = 1+ 0,0235 ( ) ( ) 4 

1 i > 1,0235 

i > = 1,0974−1 i > = 0,0974 ou 9,74% a.q. 

Pela Fórmula: 

+ = ( 1+ i > ) = ( 1,0974) 

 

x 

[43.894,63] [Enter] [40.000] [÷] [4] [1/x] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

HP: 

[40.000] [CHS] [PV] [43.894,63] [FV] [4] [N] [i] [STO] [1] [100] [÷] [1] [+] 

x 

[4] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

10) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 2,20% ao 

mês para que duplique? (Resp. 31,85 meses) 

n = ? FV = 2PV i = 2,20%a.m. PV =1 

n = 

Fv 

Ln 

Pv 

Ln + i 

 

( 1 ) 

2PV 

Ln 

n = 

PV 

Ln 

n= 0,3185=> 31,85Meses 

HP: 

( 1+ 0,022) 

[1] [CHS] [PV] [2] [FV] [2,20] [i] [N] 

Ln2 

n = 

Ln 1,022 

0,69315 

n = 

0,02176 

( ) 

11) Uma aplicação de R$ 22.000,00, efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros 

de 2,40% ao mês, um montante de R$ 26.596,40. Calcular o prazo da operação. 

(Resp. 8 meses) 

n = ? FV = 26.596,40 i = 2,40%a.m. PV =22.000,00 

Fv 

Ln 

n = 

Pv 

Ln + i 

 

26.596,40 

Ln 

22.000,00 Ln1,209 

n = 

n = 

Ln 

Ln1,024 

0,18974 

n = 8,0036 Meses 

0,02372 

HP: 

( 1 ) 

( 1+ 0,024) 

[26.596,40] [Enter] [22.000] [÷] [G] [LN] [1,024] [Enter] [G] [LN] 





12) Um capital foi aplicado a juros compostos durante 9 meses, rendendo um montante igual 

ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação? (Resp. 44,22% a.t.) 

n = 9 => 3 Trimestres FV = 3PV i = ?. PV =1 

1 

n 

⎛Fv ⎞ 

i = ⎜ ⎟ −1 

⎝Pv ⎠ 

⎛3PV ⎞3 

i 

= ⎜ ⎟ −1 

⎝ PV ⎠ 

i = 0,442 at .. => 44,22% a.t. 

HP: 

[3] [Enter] [3] [1/x] [1] [-] [100] [x] 

1 

i = 3 −1i = 1,442−1 ( )13 

13) Um fogão é vendido à vista por R$ 600,00 ou então a prazo, sendo 20% do preço à vista 

como entrada, mais uma parcela de R$ 550,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal 

de juros compostos do financiamento? (Resp. 7,04% a.m.) 

OBS: 600,00− 20% = 480,00 

n = 2 meses FV = 550,00 i = ?. PV =480,00 

1 

n 

⎛Fv ⎞ 

i = ⎜ ⎟ −1 

⎝Pv ⎠ 

7,04% am . . 

HP: 

1 

⎛ 550 ⎞2 

i 

= ⎜ −1 

480 

⎟ i = ( 1,14583)0,5 −1i = 1,07044−1i = 0,7044 

⎝ ⎠ 

x 

[550] [Enter] [480] [÷] [2] [1/x] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

14) Alberto aplicou R$ 6.000,00 a juros compostos, durante um ano, à taxa de 24% ao ano 

capitalizada mensalmente: 

n = 12 meses => 1 período de 1 ano FV = ? i = 24%a.a. PV =6.000,00 

a) Qual o montante? (Resp. R$ 7.440,00) 

( 1 ) 

Fv = Pv + i 

HP: 

n 

i ( ) 1 

Fv = 6.000i1+ 0,24 Fv = 7.440,00 

[6.000] [CHS] [PV] [24] [i] [1] [N] [FV] 

b) Qual a taxa mensal de juros da aplicação? (Resp. 1,81% a.m.) 

n = 12 meses FV = 7.440,00 i = ? PV =6.000,00 


1 

n 

⎛Fv ⎞ 

i = ⎜ ⎟ −1 

⎝Pv ⎠ 

HP: 

⎛7.440 ⎞12 

i 

= ⎜ ⎟ −1 

⎝6.000 ⎠ 




1 

( ) 1 

12 

i = 1.240 −1i= 1,81% am . . 

x 

[7.440] [Enter] [6.000] [÷] [12] [1/x] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

c) Qual a taxa semestral de juros da aplicação? (Resp. 11,36% a.s.) 

n = 12 meses => 2 semestres FV = 7.440,00 i = ? PV =6.000,00 

1 

n 

⎛ Fv ⎞ 

i = ⎜ −1 

Pv 

⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛7.440 ⎞2 

i = ⎜ −1 

6.000 

⎟ 

⎝ ⎠ 

OU: 

Como: i < = 0,0181 = 1,81% a.m Temos : 

1 

i = 1.240 −1i= 11,36% as .. 

( )1 

2 

(1 ) (1 ) n 

6 

6 

+ i> = + i< 

(1 

+ i > ) = (1+ 0,01809) (1 

+ i > ) = (1,01809) 

1+ i >= 1,11357 

i >= 1,11357−1i >= 0,11357 11,357% as .. 

HP: 

x 

[7.440] [Enter] [6.000] [÷] [2] [1/x] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

15) Gisele aplicou R$ 6.000,00 a juros compostos, sendo uma parte no banco A, à taxa de 2% 

a.m., e outra no banco B, à taxa de 1,50% a.m.. O prazo das duas aplicações foi de 6 meses. 

Calcule quanto foi aplicado em cada banco, sabendo que os montantes resultantes foram iguais. 

(Resp. R$ 2.955,78 e R$ 3.044,22) 

n = 12 meses FV = 7.440,00 i = ? PV =6.000,00 

Fv1 = Fv2 

i12,0% am . . 

Pv1 + Pv2 

= 6.000 

= n= 6m 

i 1,5% am . . = 

2 

n1 n2 

6 6 

Pv1i(1 + i1) = Pv2i(1 + i2) 

Pv1i(1+ 0,020) = Pv2i(1+ 

0,015) 

Pv i(1,093) 

2 

Pv1( 1,126 ) = Pv2i(1,093) 

Pv 1 = 

Pv1 = 0,97Pv2 

1,126 

Pv1 + Pv2 

= 

6.000 


0,97Pv Pv 6.000 

2 + 2 = 2 




6.000 

1,97Pv = 6.000 Pv 2 = Pv 2 = 3.044,27 

1,97 

Pv1 + Pv2 

= 6.000 

Pv 1 + 3.044,22= 6.000 

Pv 1 = 6.000−3.044,22 Pv 1 = 2.955,78 

16) Milena adquiriu um aparelho de som há 6 meses por R$ 800,00. Estando o aparelho em 

ótimo estado de conservação e desejando vendê-lo com um retorno de 2% a.m. sobre o capital 

aplicado na compra, calcule o preço de venda considerando o regime de juros compostos. 

(Resp. R$ 900,93) 

n = 6 meses FV = ? i = 2,0% a.m. PV =800,00 

( 1 ) 

Fv = Pv + i 

HP: 

n 

i ( ) 6 

Fv = 800 1+ 0,02 

i Fv = 900,93 

[800] [CHS] [PV] [2] [i] [6] [N] [FV] 

17) Uma empresa tomou um empréstimo para capital de giro no valor de R$ 10.000,00 por 30 

dias, à taxa efetiva de 75% a.a. Qual o montante? 

(Resp. R$10.477,39). 

1ª Maneira de se fazer : (Convertendo a taxa para 30 dias) 

n = 12 meses FV = ? i = 75% a.a. PV =10.000,00 

( 1+ i ) = ( 1+ 

i ) 

> < 

1 

( + ) 12 = ( + ) 

n 

1 

12 12 

1 0,75 ⎡ 1 i ⎤ 

< ⎣ ⎦ 

1 

( ) 12 = ( + ) 

1,75 1 i < 

1,048= 1+ i 

= => 

Fv = Pvi + i 

( 1 

n 

) 

( ) 1 

i 10.000 ( 1,048) 

Fv = 10.000 1+ 0,048 

Fv = i Fv = 

10.477,39 


2ª Maneira de se fazer : (Método simplificado) 

( 1 ) 

Fv = Pvi + i 

n 

( ) 30 

360 

Fv = 10.000 1+ 0,75 

Fv = 10.477,39 

OU AINDA: 

( 1 ) 

Fv = Pvi + i 




Fv = 10.000i1,75 Fv = 10.000i( 1,04774) 

 

i ( ) 0,08333 

n 

( ) 1 

12 

Fv = 10.000 1+ 0,75 

Fv = 10.477,39 

i ( ) 0,08333 

10.000 1,75 

Fv = i Fv = 10.000i( 1,04774) 

 

HP: 

[0,08333] [N] [10.000] [CHS] [PV] [75] [i] [FV] 

18) Analisando a questão anterior, e se o prazo fosse de 37 dias? (Resp. R$ 10.592,02) 

n = 12 meses = 1 ano = 360 dias FV = ? i = 75% a.a. PV =10.000,00 

( 1 ) 

Fv = Pvi + i 

n 

( ) 37 

360 

Fv = 10.000 1+ 0,75 

Fv = 10.592,02 

i ( ) 0,10278 

10.000 1,75 

Fv = i Fv = 10.000i( 1,05920) 

 

HP: 

[10.000] [CHS] [PV] [75] [i] [37] [Enter] [30] [÷] [12] [÷] [N] [FV] 

19) No exercício anterior, qual deveria ser a taxa de juros do empréstimo de capital de giro, 

para que a empresa ficasse indiferente entre as duas opções? (Resp. 4,17% a.m.) 

(Cancelada!) 

20) Qual o valor aplicado numa operação a juros compostos, com prazo de 160 dias, montante 

de R$ 170.000,00 e taxa de 2,20% a.m.? (Resp. R$ 151.371,51) 

n = 160/30 = 5,3333... FV = 170.000,00 i = 2,20% a.m. PV = ? 

Pv = 

HP: 

Fv 

( 1+ 

i) 

n 

Pv = 

170.000 

( ) 5,333... 

1+ 0,022 

= 170.000 

Pv = 

1,022 

170.000 

Pv = => 151.371,51 

1,123 

( ) 5,333... 

[5.333..] [N] [2,20] [i] [170.000] [FV] [PV] 





21) Um banco cobra em suas operações de empréstimo de capital de giro uma taxa de juros 

compostos de 45% a.a.. Se um cliente concordar em pagar apenas 40% a.a., qual a taxa de 

abertura de crédito que o banco deverá cobrar para que a taxa efetiva anual resulte em 45% 

a.a.? Considere o prazo da operação igual a 63 dias. 

(Cancelada!) 

22) Um banco emprestou para uma empresa um capital de R$ 500.000,00 a juros compostos 

por 49 dias. Sabendo-se que o montante foi de R$ 530.000,00, calcule: 

a) A taxa efetiva mensal de juros compostos da operação; (Resp. 6% a.p.) 

n = 49 dias FV = 530.000,00 i = ? PV = 500.000,00 

J 

ie = 

Pv 

i < ? 

Fv−Pv 530.000−500.000 ie = ie = 

Pv 

500.000 

30.000 

ie = => 0,06 ou 6% ap(49 . . dias) 

500.000 

Para 30 dias: n=49/30 

( 1+ i ) = ( 1+ 

i ) 

> < 

( + ) = ( + ) 

n 

30 

30 

49 ⎡ 

49 

⎤49 

30 

⎡⎣ 1 0,06 ⎤⎦ 

⎢ 1 i < 

⎣ 

⎥ 

⎦ 

30 

0,6122 

( ) 49 = ( + ) ( ) ( ) 

1,06 1 i < 

i < = 0,03632 ou 3,63% a.m. 

HP: 

1,06 = 1+ i < 1,03632= ( 1+ i < ) i < = 1,03632−1 [500.000] [Enter] [CHS] [PV] [530.000] [FV] [49] [Enter] [30] [÷] [N] [i] 

x 

[100] [÷] [1] [+] [49] [Enter] [30] [÷] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

b) A taxa efetiva mensal de juros compostos, considerando a liberação de dinheiro 3 dias após 

a assinatura do contrato. (Resp. 3,87% a.m.) 

n = 49 - 3 dias = 46 dias FV = 530.000,00 i = ? PV = 500.000,00 

n = 46/30 => 1,53333.... 

( 1 i ) ( 1 i ) 

n 

+ > = + < ( ) ( ) 1,533 

1 0,06 1 i < 

1 

1,533 

( 1,06) ( 1 i < ) 

HP: 

1,533 

1,533 

+ = + ( 1+ 0,06) = ⎡( 1+ i < ) ⎤ 

⎣ ⎦ 

= + ( 1,0387) = ( 1+ i < ) i < = 1,0387−1 i < = 0,0387 ou 3,873% a.m. 

[46] [Enter] [30] [÷] [N] [500.000] [CHS] [PV] [530.000] [FV] [i] 


1 

1 

1,533




23) Em relação ao exercício anterior, suponha que o dinheiro foi liberado na assinatura do 

contrato, mas que foi cobrada uma taxa de abertura de crédito de 1% do capital emprestado. 

Qual a taxa efetiva mensal de juros compostos da operação? (Resp. 4,23% a.m.) 

n = 49 dias FV = 530.000,00 i = ? PV = 500.000,00 – 1% => 495.000,00 

J 

ie = 

Pv 

Fv−Pv 530.000−495.000 35.000 

ie = ie = ie 

= ie = 0,07071 =>7,071% a.p. 

Pv 

495.000 

495.000 

30 

30 

49 

⎡ 49 ⎤49 

30 

n 

= ( 1+ ) = ( 1+ 

) ie= ( 1+ 0,07071) = ( 1+ 

i< 

) 

ie i> i< 

⎢ 

⎣ 

⎥ 

⎦ 

1,04272− 1=+

1 

n 

⎛Fv ⎞ 

i = ⎜ −1 

Pv 

⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛8.500 ⎞2,133 

i = ⎜ −1 

8.000 

⎟ 

⎝ ⎠ 

( 1 i ) ( 1 i ) 

1 

i = 1,063 −1i= 2,88% am . . 

( ) 1 

2,133 

n 

+ > = + < ( ) ( ) 12 

1+ i > = 1+ 0,0288 ( ) ( ) 12 

1 i > 1,0288 

i > = 1,4064−1 i > = 0,4064 ou 40,64% a.a. 

HP: 

+ = ( 1+ i > ) = 1,4064 

[8.000] [CHS] [PV] [8.500] [FV] [64] [Enter] [30] [÷] [N] [i] [100] [÷] [1] [+] 

x 

[12] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

25) Em relação ao exercício anterior, suponha que o dinheiro tivesse sido liberado na conta da 

empresa 3 dias após a assinatura do contrato do empréstimo. Qual a nova taxa mensal nestas 

condições? (Resp. 3,03% a.m.) 

n = 64 dias – 3 dias => 61 dias 

n=61/30=>2,0333 

FV = 8.500,00 i = ? PV = 8.000,00 

1 

n 

⎛Fv ⎞ 

i = ⎜ −1 

Pv 

⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛8.500 ⎞2,033 

i = ⎜ −1 

8.000 

⎟ 

⎝ ⎠ 

3,026% a.m. 

1 

i = 1,0625 −1 i = 1,0303−1 i = 0,0303 ou 

( ) 1 

2,033 





HP: 

[8.000] [CHS] [PV] [8.500] [FV] [61] [Enter] [30] [÷] [N] [i] 

26) Explique qual é a melhor opção: aplicar um capital à taxa de juros composta de 5,252% ao 

semestre ou 10,78% ao ano. (Resp. É indiferente) 

n 

ie = 1+ i = 1+ 

i ( ) ( ) 2 

ie = 1+ 0,1078 = 1+ 0,05252 ( ) ( ) 2 

ie = 1,1078 = 1,05252 

( > ) ( < ) 

ie = ( 1,1078) = ( 1,1078) 

RESPOSTA: é indiferente ! 

HP: 

x 

[5,252] [Enter] [100] [÷] [1] [+] [2] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

27) A taxa de juros de um financiamento está fixada em 3,30% a.m.. Qual o percentual desta 

taxa acumulada em um ano? (Resp. 47,64% a.a.) 

n 

ie = ( 1+ i> ) = ( 1+ 

i< 

) ( ) ( ) 12 

1+ i > = 1+ 0,033 ( 1+ i > ) = 1,4764 i > = 1,4764−1 i > = 0,4764 ou 47,64% a.a. 

HP: 

x 

[3,30] [Enter] [100] [÷] [1] [+] [2] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

28) Calcule a taxa equivalente para as seguintes taxas: 

a) 2,30% ao mês para um ano; 

( 1 i ) ( 1 i ) 

n 

+ > = + < ( ) ( ) 12 

1+ i > = 1+ 0,0230 ( ) ( ) 12 

1 i > 1,0230 

i > = 1,3137−1 i > = 0,3137 ou 31,37% a.a. 

HP: 

x 

[1] [Enter] [0,023] [+] [12] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

b) 0,14% ao dia para 23 dias; 

( 1 i ) ( 1 i ) 

n 

+ > = + < ( ) ( ) 23 

1+ i > = 1+ 0,0014 ( ) ( ) 23 

1 i > 1,0014 

i > = 1,0327−1 i > = 0,0327 ou 3,27% a.p. 

HP: 

x 

[1] [Enter] [0,014] [+] [23] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

+ = ( 1+ i > ) = 1,3137 

+ = ( 1+ i > ) = 1,0327 


c) 7,45% ao trimestre para um ano; 

( 1 i ) ( 1 i ) 




n 

+ > = + < ( ) ( ) 4 

1+ i > = 1+ 0,0745 ( ) ( ) 4 

1 i > 1,0745 

i > = 1,3330−1 i > = 0,3330 ou 33,298% a.a. 

HP: 

x 

[1] [Enter] [0,0745] [+] [4] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

d) 6,75 ao semestre para um mês; 

( 1 i ) ( 1 i ) 

n 

+ > = + < ( ) ( ) 6 

1 0,0675 1 i < 

1 

( 1,0675) 6 ( 1 i ) 

HP: 

+ = ( 1+ i > ) = 1,3330 

6 6 

+ = + ( 1,0675) 6 = ⎡( 1+ i < ) ⎤ 

⎣ ⎦ 

= + < ( 1,0109) = ( 1+ i < ) i < = 1,0109−1 i < = 0,0109 ou 1,094% a.m. 

x 

[0,0675] [1] [+] [6] [1/x] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

e) 1,87% para 20dias para um ano =360/20 => 18 períodos. 

n 

( 1+ i ) = ( 1+ 

i ) ( ) ( ) 18 

1+ = 1+ 0,0187 ( ) ( ) 18 

1 1,0187 

> 

i > = 1,3958−1i > = 0,3958ou 

39,58% ap . . 


1 

+ i > = ( 1+ i > ) = 1,3958 

33) Se um investidor deseja ganhar 18% ao ano de taxa efetiva, pede-se calcular a taxa de juros 

que deverá exigir de uma aplicação se o prazo de capitalização for igual a: 

a) 1 mês; 

1 

1 

n 

12 

12 

12 

+ > = + < = ⎡( + ) ⎤ 

( 1 i ) ( 1 i ) 

HP: 

1,18 

⎣ 

1 i < ⎦ 

1 

( ) 12 ( ) 

x 

[1] [Enter] [0,18] [+] [12] [1/x] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

b) 1 quadrimestre; 

1 

1 

n 

3 

3 

3 

+ > = + < = ⎡( + ) ⎤ 

( 1 i ) ( 1 i ) 

HP: 

1,18 

⎣ 

1 i < ⎦ 

1,18 = 1+ i 

3 

( ) ( ) 

x 

[1] [Enter] [0,18] [+] [3] [1/x] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

1,18 = 1+ i 

1

c) 1 semestre; 

1 

1 

n 

2 

2 

2 

+ > = + < = ⎡( + ) ⎤ 

( 1 i ) ( 1 i ) 

HP: 

1,18 

⎣ 

1 i < ⎦ 




1 

( ) 2 ( ) 

x 

[1] [Enter] [0,18] [+] [2] [1/x] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

d) 5 meses; 

1 

1 

+ > = + < 

n 

 

2,4 

= ⎡( + 

2,4 2,4 ) ⎤ 

( 1 i ) ( 1 i ) 

HP: 

1,18 

⎣ 

1 i < ⎦ 

1,18 = 1+ i 

8,627% a.s. 

1 

( ) 2,4 ( ) 

x 

[1] [Enter] [0,18] [+] [2,4] [1/x] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

e) 10 meses. 

1 

1 

+ > = + < 

n 

 

1,2 

= ⎡( + 

1,2 1,2 ) ⎤ 

( 1 i ) ( 1 i ) 

HP: 

1,18 

⎣ 

1 i < ⎦ 

1,18 = 1+ i 

1 

( ) 1,2 ( ) 

x 

[1] [Enter] [0,18] [+] [1,2] [1/x] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

1,18 = 1+ i 

14,789% a.p. 

34) Para cada taxa nominal apresentada a seguir, pede-se calcular a taxa efetiva anual: 

a) 9,00% a.a. capitalizados mensalmente; (Resp. 9,381% a.a) 

n 

12 

⎛ i ⎞ 

ie = ⎜1+ ⎟ −1 

⎝ np ⎠ 

⎛ 0,09 ⎞ 

ie = ⎜1+ ⎟ −1 

ie = ( 1+ 0,0075)12 −1 ( ) 

⎝ 12 ⎠ 12 

ie = 1,0075 −1 ie = ( 1,0938) −1ie = 0,0938 ou 9,3807 a.a. 

HP: 

x 

[0,09] [Enter] [12] [÷] [1] [+] [12] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

b) 14% a.a. capitalizados trimestralmente; (Resp. 14,752% a.a.) 

n 

4 

⎛ i ⎞ 

ie = ⎜1+ ⎟ 

⎝ np ⎠ 

−1 

⎛ 0,14 ⎞ 

ie = ⎜1+ ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

−1 

ie = ( 1+ 0,0350)4−1 ( ) 4 

ie = 1,0350 −1 ie = 1,1475 −1ie = 0,1475 ou 14,7523% a.a. 

HP: 

( ) 

x 

[0,14] [Enter] [4] [÷] [1] [+] [4] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 





c) 15% a.a. capitalizados semestralmente. (Resp. 15,563% a.a.) 

n 

2 

⎛ i ⎞ 

ie = ⎜1+ ⎟ 

⎝ np ⎠ 

−1 

⎛ 0,15 ⎞ 

ie = ⎜1+ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

−1 

ie = ( 1+ 0,0750)2−1 ( ) 2 

ie = 1,0750 −1 ie = 1,1556 −1ie = 0,1556 ou 15,5625% a.a. 

HP: 

( ) 

x 

[0,15] [Enter] [2] [÷] [1] [+] [2] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

d) 12% a.a. capitalizados anualmente. (Resp. 12,00% a.a.) 

n 

1 

⎛ i ⎞ 

ie = ⎜1+ ⎟ −1 

⎝ np ⎠ 

⎛ 0,12 ⎞ 

ie = ⎜1+ ⎟ −1 

ie = ( 1+ 0,12)1−1 ( ) 

⎝ 1 ⎠ 1 

ie = 1,12 −1 ie = ( 1,12) −1 

ie = 0,12 ou 12% a.a. 

HP: 

x 

[0,12] [Enter] [1] [÷] [1] [+] [1] [ Y ] [1] [-] [100] [x] 

35) Com relação a formação das taxa de juros, pede-se: 

a) Em 77 dias uma aplicação rendeu 8,30% de juros. Apurar as taxas mensal e anual 

equivalentes; 

n = 77/30 => 2,56667 

( 1 i ) ( 1 i ) 

2,5667 2,5667 

+ = + ( 1+ 0,0830) = ⎡( 1+ i < ) ⎤ 

⎣ ⎦ 

n 

+ > = + < ( ) ( ) 2,5667 

1 0,0830 1 i < 

1 

2,5667 

( 1,0830) ( 1 i < ) 

( 1 i ) ( 1 i ) 

= + ( 1,0316) = ( 1+ i < ) i < = 1,0316−1 i < = 0,0316 ou 3,1553% a.m. 

n 

+ > = + < ( ) ( ) 12 

1+ i > = 1+ 0,0316 ( ) ( ) 12 

1 i > 1,0316 

i > = 1,4518−1 i > = 0,4518 ou 45,1775% a.a. 


1 

1 

2,5667 

+ = ( 1+ i > ) = 1,4518 

b) Um banco cobra atualmente 18,60 ao ano de juros. Para uma operação de 136 dias, 

determinar a taxa efetiva que será cobrada; 

n = 360/136 => 2,64706 

( 1 i ) ( 1 i ) 

2,6471 2,6471 

+ = + ( 1,1860) = ⎡( 1+ i < ) ⎤ 

⎣ ⎦ 

n 

+ > = + < ( ) ( ) 2,6471 

1 0,1860 1 i < 

1 

2,6471 

( 1,1860) ( 1 i < ) 

= + ( 1,0666) = ( 1+ i < ) i < = 1,0666−1 i < = 0,0666 ou 6,6566% a.p. 

1 

1 

2,6471




c) Uma empresa está cobrando juros de 3% para vendas a prazo de 28 dias corridos. 

Determinar a taxa efetiva mensal e anual de venda a prazo; 

n = 30/28 => 1,07143 

( ) 30 

28 

i = 1+ 0,03 −1 ( ) 1,07143 

i = 1,03 −1i = 1,03218−1i = 0,03218 ou 3,218% am . . 

( ) 360 

28 

i = 1+ 0,03 −1 ( ) 12,85714 

i = 1,03 −1i = 1,46235−1i = 0,46235 ou 46,235% aa .. 

d) Determinar a taxa equivalente para 44 dias de 109,30% ao ano. 

N = 360/44 => 8,18182 

( 1 i ) ( 1 i ) 

n 

+ > = + < ( ) ( ) 8,1818 

1 1,0930 1 i < 

1 

8,1818 

( 2,0930) ( 1 i < ) 

+ = + ( ) = ( + ) 


1 

1 

8,1818 

8,1818 8,1818 

2,0930 ⎡ 1 i ⎤ 

⎣ < ⎦ 

= + ( 1,0945) = ( 1+ i < ) i < = 1,0945−1 i < = 0,0945ou 

9,4473% a.p. 

36) Determinar o montante de uma operação de aplicação no valor de R$ 22.000,00 admitindo 

os seguintes prazos e taxas efetivas: 

FV = ? PV = 22.000,00 

a) Taxa de 2,20% a.m. e prazo de 7 meses; (Resp. R$ 25.619,99) 

( 1 ) 

n 

i ( ) 7 

Fv = 22.000i1+ 0,022 ( ) 7 

22.000 1,022 

Fv = Pv + i 

Fv = 25.619,99 

HP: 

[22.000] [CHS] [PV] [2,2] [i] [7] [N] [FV] 

b) Taxa de 5,00% a.m. e prazo de 2 anos; (Resp. R$ 70.952,20) 

( 1 ) 

Fv = Pv + i 

n 

i ( ) 24 

Fv = 22.000i1+ 0,050 ( ) 24 

22.000 1,050 

Fv = 70.952,20 

HP: 

[22.000] [CHS] [PV] [5,0] [i] [24] [N] [FV] 

c) Taxa de 12,00% a.t. e prazo de 1 ano e meio; (Resp. R$ 43.424,10) 

( 1 ) 

Fv = Pv + i 

n 

i ( ) 6 

Fv = 22.000i1+ 0,120 ( ) 6 

22.000 1,120 

Fv = 43.424,10 

HP: 

[22.000] [CHS] [PV] [12] [i] [6] [N] [FV] 

Fv = i Fv = 22.000i( 1,1645) 

Fv = i Fv = 22.000i( 3,225) 

Fv = i Fv = 22.000i( 1,9738)




d) Taxa de 20,00% a.s. e prazo de 4 anos; (Resp. R$ 94.595,97) 

n 

Fv = Pvi( 1+ 

i) 

( ) 8 

Fv = 22.000i1+ 0,200 ( ) 8 

Fv = 22.000i1,200 Fv = 22.000i( 4,2998) 

Fv = 94.595,97 

HP: 

[22.000] [CHS] [PV] [20] [i] [8] [N] [FV] 

e) Taxa de 0,15% a.d. e prazo de 47 dias; (Resp. R$ 23.605,74) 

( 1 ) 

n 

i ( ) 47 

Fv = 22.000i1+ 0,0015 ( ) 47 

22.000 1,0015 

Fv = Pv + i 

Fv = 22.000i( 1,07299) 

Fv = 23.605,74 

HP: 

[22.000] [CHS] [PV] [0,15] [i] [47] [N] [FV] 

Fv = i 

f) Taxa de 9,00% a.a. e prazo de 216 meses. (Resp. R$ 103.776,65) 

n = 216/12 =>18 anos 

n 

Fv = Pvi( 1+ 

i) 

( ) 18 

Fv = 22.000i1+ 0,090 ( ) 18 

Fv = 22.000i1,090 Fv = 22.000i( 4,7171) 

Fv = 103.776,65 

HP: 

[22.000] [CHS] [PV] [9] [i] [18] [N] [FV] 

37) Um banco lança um título pagando 6% a.t.. Se uma pessoa necessitar de R$ 58.0000,00 

daqui a 3 anos, quanto deverá aplicar neste título? (Resp. R$ 28.824,22) 

N = 36/3 => 12 

Fv 

Pv = n 

1+ 

i 

 

58.000,00 58.000,00 58.000,00 

Pv = 

Pv = Pv = Pv = 28.824,22 

1+ 0,060 

1,060 

( 2,0122) 

HP: 

( ) 

( ) 12 

[58.000] [FV] [12] [N] [6] [i] [PV] 

( ) 12 

38) Sendo a taxa corrente de juros de 10% a.q., quanto deve ser aplicado hoje para se resgatar 

R$ 38.500,00 daqui a 28 meses? (Resp. R$ 19.756,59) 

N = 28/4 => 7 

Fv 

Pv = n 

1+ 

i 

 

38.500,00 38.500,00 38.500,00 

Pv = Pv = Pv = Pv = 19.756,59 

1+ 0,10 

1,10 

( 1,9487) 

HP: 

( ) 

( ) 7 

[38.500] [FV] [7] [N] [10] [i] [PV] 

( ) 7 





39) Os rendimentos de uma aplicação de R$ 12.800,00 somaram R$ 7.433,12 ao final de 36 

meses. Determine a taxa efetiva mensal de juros desta aplicação. (Resp. 1,28% a.m.) 

FV = PV+J = 20.233,12 

J = 7.433,12 

i = ? PV = 12.800,00 

J 7.433,12 

ie = ie = ie = 0,5807 ou 58,07% a.p. 

PV 12.800 

( 1 i ) ( 1 i ) 

36 36 

+ = + ( 1,5807) = ⎡( 1+ i < ) ⎤ 

⎣ ⎦ 

n 

+ > = + < ( ) ( ) 36 

1 0,5807 1 i < 

1 

36 

( 1,5807) ( 1 i < ) 

OU: 

1 

N 

= + ( 1,0128) = ( 1+ i < ) i < = 1,0128−1i < = 0,0128 ou 1,28% a.m. 

⎛ FV ⎞ ⎛20.233,12 ⎞36 

i = ⎜ −1 

PV 

⎟ i = ⎜ ⎟ −1 

⎝ ⎠ ⎝12.800,00 ⎠ 

i= 1,280% am . . 

HP: 

1 


1 

( ) 0,02778 

i = 1,58071 −1i = 1,01280−1i = 0,01280 

[12.800] [Enter] [7.433,12] [+] [FV] [12.800] [CHS] [PV] [36] [N] [i] 

40) Uma empresa tem observado um crescimento médio de 10% ao ano na demanda de seus 

produtos. Mantida esta tendência ao longo do tempo, determine em quantos anos dobrará a 

demanda. (Resp. 7 anos, 3 meses e 8 dias) 

Pv = 1 

Fv= 2PV 

i= 10% aa .. 

n = ?. 

FV 

LN 

n = PV 

LN( 1 + i) 

 

2PV 

LN 

n = PV 

LN 

ENTÃO: 

( 1+ 0,10) 

LN2 

n 

= 

LN 1,10 

0,69315 

n = n = 7.27258 

0,09531 

( ) 

n = 7.27258 n = 7anos + 0,27258 0,2725812 i = 3,27096 3meses + 0,27096 

0,27096i30= 8,12880 8dias + 

0,12880 

1 

36




41) Determine a taxa mensal de juros compostos que faz com que um capital triplique de valor 

após três anos e meio. (Resp. 2,650% a.m.) 

i = ? Fv= 3Pv 

3,5anos= 42Meses 

( 1 

n 

) 

( ) 42 

i 

Fv = Pvi + i 

3Pv = Pv 1+ 

i 

3Pv 

= + 

Pv 

( ) 42 

1 i 

1 

1 

42 

⎡ 42 ⎤42 

1 

[ 3] = ( 1+ i) 

1 

⎢ 

⎣ 

⎥ 

⎦ 

[ 3] 42 = ( 1+ i) 

1,0265= ( 1+ i) 

i = 1,0265−1i= 0,0265ou2,65% am . . 

42) Uma taxa efetiva de juros, com capitalização quadrimestral é aplicada a um capital gerando 

um total de juros, ao final de 2 anos, igual a 270% do valor do capital aplicado. Determinar o 

valor desta taxa de juros. (Resp. 24,366% a.q.) 

Pv= 1Pv 

Fv = Pv+ 2,7Pv 

3,7PV 

n= 2a 

ou 6q 

i = ? 

1 

n 

⎛ Fv ⎞ 

i = ⎜ −1 

Pv 

⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛3,7Pv ⎞6 

i = ⎜ −1 

Pv 

⎟ 

⎝ ⎠ 

i= 24,36% aq .. 

1 

i = 3,7 −1i = 1,2437−1i = 0,2437 

1 

( ) 6 





4) SÉRIES DE PAGAMENTOS........................................................................................................................................... 59 

4.1) VALOR PRESENTE (PV) .................................................................................................................................................60 

4.1.1) PVP - Série Periódica Constante Postecipada ............................................................................................... 60 

4.1.2) PVA - Série Periódica Constante Antecipada................................................................................................. 64 

Um Caso a Parte das Séries Antecipadas .....................................................................................................................66 

4.1.3) PVG - Série Perpétua.......................................................................................................................................... 68 

4.1.3.1) Valor Presente de Perpetuidades com Taxas Crescentes ................................................................................70 

4.1.4) PV - Outros Modelos de Séries de Pagamentos............................................................................................. 74 

4.1.4.1) PV D - Séries Diferidas ......................................................................................................................................74 

4.1.4.2) PV - Séries Variáveis ........................................................................................................................................76 

4.1.4.3) PV - Séries não Periódicas...............................................................................................................................78 

Exercícios Resolvidos:................................................................................................................................................... 79 

Exercícios Proposto:...................................................................................................................................................... 87 


4) Séries de Pagamentos 




Genericamente, entende-se por Série de Pagamentos uma seqüência de embolsos (entradas) 

e/ou desembolsos (saídas) de capitais que são distribuídos periodicamente, um após o outro, 

em uma linha de tempo. Chamaremos esses embolsos e desembolsos de prestações (PMT). 

O estudo das séries de pagamentos envolve basicamente três conceitos: o Valor Presente (PV), 

que é a somatória das parcelas na data zero; o Valor Futuro (FV), que é a somatória das 

parcelas em data futura, em data igual ou após o vencimento da ultima prestação; e a 

Equivalência de Capitais, que é a somatória das prestações em uma data qualquer. 

Abordaremos cada um dos pontos acima, porém, antes, é preciso classificar os tipos de séries, 

ou seja, a forma como se comportam os fluxos monetários ao longo do tempo, haja vista os 

diversos formatos que eles podem assumir: 

? Quanto à Periodicidade das Prestações: 

• Periódica: Ocorrem em intervalos regulares do tempo. Por exemplo: prestações 

mensais, anuais, semestrais e etc.; 

• Não Periódica: Não obedece a uma regularidade temporal. 

? Quanto ao Valor das Prestações: 

• Constante: Quando eles são iguais. 

• Variável: Quando eles não são iguais. 

? Quanto ao Número de Prestações: 

• Finita: Quando a quantidade for conhecida; 

• Perpétua: Quando a quantidade não for conhecida. 

? Quanto ao Início do Pagamento da Primeira Prestação: 

• Antecipada: Quando a primeira prestação for efetivada no ato da operação 

financeira; 





• Postecipada: Quando a primeira prestação for efetivada depois de decorrido um 

período da operação financeira. 

• Diferida: Quando a primeira prestação for efetivada ( + 1) 

zero. Dizemos que n é o prazo de carência da série. 

4.1) Valor Presente (PV) 

n períodos após a época 

O Valor Presente de uma série de pagamentos é dado pela somatória das prestações 

descapitalizadas por uma taxa (i) à data inicial (t0) do fluxo de caixa. De forma simplista, o 

valor presente é a substituição de várias parcelas, recebimentos e/ou pagamentos, por apenas 

uma, em data igual ou anterior ao vencimento da primeira. 

No item presente discutiremos o Valor Presente para as seguintes formatações de séries: 

• PVP - Série Periódica Constante Postecipada; 

• PVA - Série Periódica Constante Antecipada; 

• PVG - Série Perpetua; 

• Outros Modelos Aleatórios. 

4.1.1) PV P - Série Periódica Constante Postecipada 

Uma Série Periódica Constante Postecipada é aquela em que o os valores das parcelas e os 

intervalos entre elas são iguais; a primeira prestação é efetuada após uma unidade de tempo da 

data inicial do fluxo. Reportando-se à representação gráfica: 

PV P 

PMT PMT PMT PMT 

t1 t2 t3 tj 

Série Periódica Constante Postecipada 


PV 

PV 

P 

P 

= 

j 

∑ 

n= 

1 1 

PMT 

( + i) 

PMT PMT 

= + 

1 + i 

n 




PMT 

+ 

1+ 

i 

PMT 

+ ⋅⋅ 

⋅ + 

1+ 

i 

( ) ( ) ( ) ( ) j 

2 

3 

1+ 

i 

Colocando o PMT em evidência... 

PV 

PV 

⎡ 1 1 

PMT ⋅⎢ 

+ 

⎣( 

1+ 

i) 

( 1+ 

i) 

1 

+ 

( 1+ 

i) 

1 

+ ⋅⋅⋅ 

+ 

( 1+ 

i) 

P = 2 

3 

j 

P 

−1 

−2 

−3 

− j 

[ ( 1+ 

i) 

+ ( 1 + i) 

+ ( 1 + i) 

+ ⋅⋅⋅ 

+ ( + i) 

] 

= PMT ⋅ 

1 

Observe que a expressão entre colchetes equipara-se a soma dos termos de uma Progressão 

Geométrica (PG) de n termos, sendo o primeiro termo a1, o último an e a razão q. A somatória 

desta expressão é conhecida com Fator de Valor Presente (FPV). Aplicando a fórmula da 

soma de uma PG: 

Admitindo que: 

a1 

− an 

. q 

Sn = FPV = 

1− 

q 

• ( ) 1 − 

a = 1 + i 

1 

• q = 

a 2 ( ) 

? 

a ( ) 1 

−2 

1+ 

i 

− 

1 + i 

1 

• ( ) j − 

a 

n 

= 1+ 

i 

Calculando o FPV… 

FPV = 

( ) ( ) ( ) 

( ) 1 

−1 

− j 

1+ 

i − 1+ 

i ⋅ 1+ 

i 

− 

1− 

1+ 

i 

FPV (i, j) 


⎤ 

⎥ 

⎦ 

? ( ) ( ) 1 

2 1 + i ⋅ 1 + i 

− 

? ( ) 1 − 

q = 1 + i 

−1

FPV = 

FPV = 

1− 

FPV = 

1− 

FPV = 

-1 

− j 

( 1+ 

i) 

− ( 1 + i) 

⋅ ( 1+ 

i) 

-1 

1 − ( 1+ 

i) 

( ) ( ) ( ) 

( ) ( ) 0 

0 

− j 

1+ 

i − 1+ 

i ⋅ 1+ 

i 

1+ 

i − 1+ 

i 

− j ( 1+ 

i) 

( 1+ 

i) 

−1 

( 1+ 

i) 

i 

− j 

⋅1 




0 

-1 

⋅ 

( 1+ 

i) 

( 1+ 

i) 

Substituindo a expressão entre colchetes pelo FPV... 

1 − 

PV = PMT ⋅ 

PVP - Valor Presente 

PMT - Prestação 

i - Taxa de juros referente ao período de capitalização 

n - nº de prestações 

-t - nº de prestações 

OBS: Para que a calculadora esteja preparada para calcular juros compostos aperte: 

[C] [STO] [EEX] 

( 1 + i) 

Exemplo: Um imóvel foi vendido por 12 parcelas mensais de $6.000,00, a primeira a vencer 

daqui a 30 dias. Quanto deve pagar o comprador caso ele decida quitar o imóvel à vista. A taxa 

de juros do mercado é de 3 % ao mês. 

i 

−t 

ou 

= PMT ⋅ FPV 

( i, 

n) 


PV P

PV P 

PV P 

PV P 

PV P 

PV P 

= 

= 

= 

12 

∑ 

n= 

1 

6. 

000 

( 1+ 

0, 

03) 

6. 

000 

n 




6. 

000 

+ 

1 + 0, 

03 

6. 

000 

+ 

1 + 0, 

03 

6. 

000 

+ ⋅⋅ 

⋅ + 

1 + 0, 

03 

( ) ( ) ( ) ( ) 12 

3 

2 

1+ 

0, 

03 

6. 

000 

+ 

6. 

000 

+ 

6. 

000 

+ ⋅⋅ 

⋅ + 

6. 

000 

( 1, 

03) 

( 1, 

061) 

( 1, 

093) 

( 1, 

426) 

= 5 . 825, 

243 + 5. 

655, 

042 + 5. 

489, 

478 + ... + 

= 

59. 

724, 

02 

4. 

207, 

574 

Aplicando a fórmula anteriormente definida do Valor Presente, que caracteriza este tipo de 

série: 

Y 

x 

( i) 

1− 1+ 

PVP= PMT ⋅ 

i 

PV P 

PV P 

PV P 

PV P 

1− 

= 6. 

000⋅ 

= 

= 

PVP 

−n 

( 1+ 

0, 

03) 

0, 

03 

1− 

0, 

701 

6. 

000⋅ 

0, 

03 

6. 000⋅ 

9, 

954 

= 59. 

724, 

02 

−12 

HP: 

[12] [N] [3] [i] [6.000] [CHS] [PMT] [PV] 

6.000 6.000 6.000 6.000 

t1 t2 t3 t12 

HP: 

[1] [Enter] 

[0,03] [+] 

[12] [CHS] 

x 

Y 

FPV (3%, 12) 

Série Periódica Constante Postecipada 

HP: 

[CHS] [1] 

[+] [0,03] 

[ ÷ ] 


1 (1 ) T 

PV 

PMT = − 

− + 

i 

i 




Perceba que utilizando a primeira opção de resolução do exercício para calcular o PV, apesar 

de viável, é cansativo, e se o número de parcelas for muito grande, a extensão da operação 

pode ser fator de gerador de erros de execução. Da segunda maneira, a inexistência de uma 

calculadora financeira ou de uma planilha eletrônica, pode dificultar os cálculos. Então, para 

facilitar a operacionalização da fórmula, existe no apêndice desta apostila uma tabela com 

varias combinações de FPV (i, n). 

4.1.2) PV A - Série Periódica Constante Antecipada 

Uma Série Periódica Constate Antecipada é aquela em que os valores das parcelas e os 

intervalos entre elas são iguais, entretanto, diferentemente da postecipada, a primeira prestação 

é efetuado no ato da operação financeira. Este valor é vulgarmente conhecido como entrada. 

Reportando-se à representação gráfica: 

PV A 

PMT 

t0 

Neste caso, tj-1 equivale ao último período da série, e j-1 representa o número de prestações 

menos um. O Valor Presente (PVA) é igual ao PMT de t0 mais as PMT´s subseqüentes 

descapitalizadas por uma taxa (i) à inicial do fluxo (t0). Note que existe uma parcela que é 

realizada no início do fluxo, portanto, ela não está dispersa ao longo do tempo e não pode 

sofrer incidência da taxa de juros. Sendo assim: 


t1 t2 t3 tj-1 

Série Uniforme Periódica Antecipada 


PV 

PV 

A 

A 

= PMT + 

∑ − j 1 

n= 

1 1 

PMT 

( + i) 




n 

⎡ PMT PMT PMT PMT ⎤ 

= PMT + ⎢ + + + ⋅⋅⋅ 

+ 

1 

2 

3 

j−1⎥ 

⎣( 

1+ 

i) 

( 1+ 

i) 

( 1+ 

i) 

( 1+ 

i) 

⎦ 

Como nas séries postecipadas, a expressão entre colchetes pode ser simplificada aplicando a 

soma de uma PG. Deixamos a demonstração para exercício do leitor: 

PV 

A 

PV 

1 − 

= PMT + PMT ⋅ 

A 

( 1+ 

i) 

i 

( 1 i) 

⎡ 1 − + 

= PMT ⋅ ⎢1 

+ 

⎣ i 

1− 

j 

1− 

j 

Uma outra forma de calcular o PV para séries antecipadas é considerá-las, a principio, como 

uma série postecipada. Vejamos graficamente a conseqüência desta suposição: 

Note que quando executado os calculamos do valor presente de uma série antecipada, 

considerando-a postecipada, o PV é remetido ao período t-1, entretanto, como não é esta a data 

desejada, capitaliza-se o PV em um período, trazendo-o para t0. Então: 

PV 

A 

PV 

1 − 

= PMT ⋅ 

( 1+ 

i) 

i 

− j 

⋅ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 


t-1 t0 t1 t2 tj 

(1+ i) 

( 1+ 

i) 

Valor Presente de Série Postecipada 





Exemplo: Utilizando os mesmos dados do exemplo anterior, onde, o comprador deveria decidir 

por pagar o imóvel à vista ou em doze parcelas, refaça os cálculos sendo que, agora, a primeira 

parcela será paga no ato da comercialização: 

PV A 

PV A 

PV A 

PV A 

= 

= 

6. 

000 

6. 

000 

+ 

+ 

11 

∑ 

n= 

1 

6. 

000 

( 1+ 

0, 

03) 

6. 

000 

n 

6. 

000 

+ 

1+ 

0, 

03 

6. 

000 

+ 

1+ 

0, 

03 

6. 

000 

+ ⋅⋅ 

⋅ + 

1+ 

0, 

03 

( ) ( ) ( ) ( ) 11 

3 

2 

1+ 

0, 

03 

6. 

000 6. 

000 6. 

000 

= 6 . 000 + + + + ⋅⋅ 

⋅ + 

6. 

000 

( 1, 

03) 

( 1, 

061) 

( 1, 

093) 

( 1, 

384) 

= 6 . 000 + 5. 

825, 

243 + 5. 

655, 

042 + 5. 

489, 

478 + ... + 

PV A = 61. 

515, 

75 

4. 

335, 

260 

De maneira alternativa, utilizando a relação acima desenvolvida que caracteriza o calculo do 

Valor Presente para este tipo de série: 

PV 

A 

PV A 

PV A 

PV A 

( 1 i) 

⎡ 1 − + 

= PMT ⋅ ⎢1 

+ 

⎣ i 

1− 

j 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

( 1 0, 

03) 

⎡ 1 − + 

= 6. 

000 ⋅ ⎢1 

+ 

⎣ 0, 

03 

⎡ 1− 

0, 

722 

= 6. 

000⋅ 

⎢1 

+ 

⎣ 0, 

03 

= 

6. 000 ⋅10, 

253 

PV A = 61. 

515, 

75 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

1−12 

Um Caso a Parte das Séries Antecipadas 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

As Séries Periódicas Constantes Antecipadas é caracterizada por apresentar, além de outros, 

valores iguais das parcelas. Entretanto, existe uma particularidade muito interessante e de 

grande utilização, principalmente no comercio varejista, que é a exigência de uma entrada 

diferente dos valores subseqüentes, ou seja, PMT PMT . 

0 ≠ i 

i≠0 





Para resolver esse tipo de problema, faz-se uma pequena modificação nas relações 

desenvolvidas anteriormente: adiciona-se na fórmula o valor da entrada, representado pela letra 

(E): 

PV 

E 

Exemplo: Um eletrodoméstico é vendido por $590,00 à vista ou uma entrada mais 4 parcelas de 

$80,00. Caso o individuo escolha comprar o equipamento a prazo, qual será o valor da entrada 

que ele deverá desembolsar? 

( 1 0, 

05) 

⎡ 1 − + 

590 = E + ⎢100 

⋅ 

⎣ 0, 

05 

590 = E + ⋅ 

E = 590 − ⋅ 

E = 235, 

40 

[ 100 3, 

546] 

[ 100 3, 

546] 

( 1 i) 

⎡ 1 − + 

= E + ⎢PMT 

⋅ 

⎣ i 

PV E = 590 

E = ? 

−n 

−4 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

= E + 

[ PMT ⋅ FPV ( i, 

n) 

] 


PV E 

100 100 100 100 

t0 t1 t2 t3 t4 

PV de Série Antecipada

4.1.3) PV G - Série Perpétua 




Existe uma particularidade que muito nós interessa estudar e de freqüente aplicação no 

mercado títulos de renda variável, previdenciário, imobiliário e etc.: são as séries perpetuas ou 

simplesmente perpetuidades. Para melhor compreensão deste conceito, haja vista que o mesmo 

não é tão trivial quanto os outros apresentados até agora, a sua demonstração será feita através 

de uma situação prática: 

Imagine que um proprietário de um imóvel recebeu de seu inquilino uma proposta de compra 

da sala comercial que ocupa. Se o valor do aluguel recebido é de $600,00 por mês, a uma taxa 

de oportunidade de 2% ao mês, qual deverá ser o preço mínimo que o locador deve aceitar pelo 

imóvel? (Lembre-se que taxa de oportunidade é o rendimento mínimo que um investidor exige 

para aplicar suas economias. Então, neste caso, o valor de 2% ao mês é o rendimento mínimo 

que o proprietário do imóvel teria caso vendesse a sala e aplicasse o dinheiro). 

Note que na essência da operação o proprietário está trocando rendimentos futuros, em forma 

de aluguel, por um único valor recebido no ato da venda do imóvel. Sendo assim, a situação 

atual se difere das demais estudadas até agora por não apresentar um número conhecido de 

aluguéis a receber, ou seja, das PMT’s que devem ser descapitalizadas. Mas, por princípio, 

acredita-se que o número de alugueis a receber é indeterminado, perpétuo. Reportando-se a 

representação gráfica: 

PV G 

Verifique no diagrama que o número de parcelas, PMT´s, é indeterminado e tende ao infinito. 

Aplicando o conceito de limite na fórmula do PV: 

PMT PMT PMT PMT PMT 

Série Perpetua Postecipada 


. . . 

t1 t2 t3 t4 t8

PV 

G 

PV G 

Fazendo ( + i ) = X 




( 1 i) 

⎡ 1 − + 

= PMT ⋅ ⎢lim 

n→∞ 

⎣ 

i 

( 1 i) 

⎡ 1 − + 

= PMT ⋅ ⎢ 

⎣ i 

1 ... 

PV G 

PV G 

⎡1− X 

= PMT ⋅ ⎢ 

⎣ i 

−∞ 

⎡1− 1 

= PMT ⋅ ⎢ X 

⎢ i 

⎣ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

∞ 

−∞ 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

−n 

Como para qualquer valor de X (maior que um) a expressão 1 

∞ tenderá a zero... 

X 

PV G 

1 

= PMT ⋅ 

i 

PMT 

PVG = 

i 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

Aplicando a fórmula que acabamos de definir no nosso exemplo, o preço mínimo que o 

proprietário deve aceitar é: 

PV G 

PV G 

600 

= 

0, 

02 

= 30. 

000, 

00 

OBSERVAÇÃO: Se estivermos trabalhando com séries perpétuas antecipadas, basta somar o 

valor da primeira parcela: 

PV G 

= PMT + 

PMT 

i 





4.1.3.1) Valor Presente de Perpetuidades com Taxas Crescentes 

A aplicação do cálculo do PV para séries perpétuas com taxas de crescimento é de extrema 

importância na análise de investimentos e precificação de ações. Não iremos discutir aqui, a 

teoria da análise de investimentos, entretanto, queremos mostrar a aplicação da matemática 

financeira como ferramenta de apóio para a tomada de decisão para estes tipos de 

investimentos, haja vista que mais à frente apresentaremos o assunto. 

As séries perpétuas com taxa de crescimento podem ser reproduzidas graficamente da seguinte 

maneira: 

Observe que para este tipo de séries, os valores das prestações crescem a uma taxa (c) de forma 

exponencial, tal como descrito abaixo: 

PMT = R$ 

1 

( c) 

PMT = R$ 

⋅ 1+ 

2 

3 

( ) 2 

1 

PMT = R$ 

⋅ + c 

4 

( ) 3 

1 

PMT = R$ 

⋅ + c 

5 

( ) 4 

1 

PMT = R$ 

⋅ + c 

. 

. 

. 

PV GC 

PMT 

∞ 

PMT 1 

∞−1 

( 1 + ) 

= R$ 

⋅ c 

PMT 2 

PMT 3 

t1 t2 t3 t4 t5 t8 


PMT 4 

PMT 5 

PMT 8 

Série Perpétua com Taxa de Crescimento

Então: 

PV GC 

= 

PMT PMT 

+ 

( 1+ 

i) 




⋅ ( 1+ 

c) 

2 ( 1+ 

i) 

PMT 

+ 

⋅ ( 1+ 

c) 

3 ( 1 + i) 

+ ⋅⋅ 

⋅ + 

PMT 

( ) 

( ) ∞ 

⋅ 1+ 

c 

1 + i 

Observe que a expressão equipara-se a soma dos termos de uma Progressão Geométrica 

infinita, sendo o primeiro termo a1 e a razão q. Aplicando a soma de uma PG infinita: 

• ( ) 1 − 

a = PMT ⋅ 1 + i 

• 

a1 

Sn = PVGC 

= 

1 − q 

1 

q = 

1 

( 1+ 

c) 

( + i) 

Substituindo os valores na expressão: 

PV GC 

PV GC 

PV GC 

PV GC 

PV GC 

PMT 

= 

1 − 

PMT 

= 

1 − 

= 

⋅ ( 1 + i) 

( 1 + c) 

( 1 + i) 

⋅ ( 1 + i) 

( 1 + c) 

( 1 + i) 

−1 

−1 

0 

PMT ⋅ ( 1+ 

i) 

( 1+ 

i) 

− ( 1+ 

c) 

PMT ⋅1 

= 

i − c 

PMT 

= 

i − c 

⋅ 

( 1 + i) 

( 1 + i) 

Onde c é a taxa de crescimento. 


2 

∞−1




Exemplo: Um investidor deseja adquirir um determinado lote de ações de uma empresa que 

anunciou pagar dividendos de $35,00 para os próximos três anos, e depois um acréscimo de 

3% ao ano sobre o valor do dividendo inicial. A uma taxa de oportunidade é 20% ao ano, qual 

o valor máximo que o lote de ações deve ser adquirido? 

Observe que neste caso, em uma mesma série, temos dois comportamentos diferentes dos 

influxos dos dividendos: um finito postecipado de três parcelas de $35,00, e outro perpétuo, 

com taxa de crescimento de 3% ao período. Para facilitar a solução desmembraremos a série 

em duas: 

1º) Fluxo finito postecipado: 

PV 

P 

PV P 

PV P 

PV P 

PV 

PV P 

( 1 i) 

⎡ 1− 

+ 

= PMT ⋅ ⎢ 

⎣ i 

( 1, 

20) 

⎡1− = 35 ⋅ ⎢ 

⎣ 0, 

20 

= 35 ⋅2, 

1065 

= 73, 

75 

35 35 35 

−3 

−n 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

35 

36,05 

35 35 

t1 t2 t3 

FPV (20%, 3) 

Série Uniforme Postecipada Finita 


37,15 

38,25 

35 (1+ c) n 


2º) Fluxo Perpétuo crescente: 




A descapitalização da série perpetua será feita em dois momentos: primeiro trazendo os valores 

à t3; depois a t0. 

• 1º Momento: Descapitalizar os influxos da série perpétua até t3. 

PV 

PV 

PV 

PV 

3 

3 

3 

3 

= 

3 = PV 

PMT 

4 

i − c 

PMT3 

⋅ 

= 

i − c 

( 1 + c) 

( 1+ 

0, 

03) 

35 ⋅ 

= 

0, 

20 − 0, 

03 

( 1, 

03) 

35⋅ 

= 

0, 

17 

36, 

05 

0, 

17 

3 212, 

06 = PV 

• 2º Momento: Descapitalizar em três períodos o valor presente da etapa anterior. 

PV GC 

PV GC 

PV GC 

= 

= 

212, 

06 

( ) 3 

1, 

20 

212, 

06 

1, 

7280 

PV GC = 122, 

72 


36,05 

37,15 

t1 t2 t3 t4 t5 t8 

2º Momento 

1º Momento 

35 (1+i) 8 


Sendo assim, o valor do lote de ações será: 

PV = PV + PV 

lote 

PV = 

P 

GC 

73 , 75 + 122, 

72 

PV = 196, 

47 




4.1.4) PV - Outros Modelos de Séries de Pagamentos 

Neste tópico desenvolveremos o PV para outros modelos de séries de pagamentos menos 

aplicadas no mercado. Com exceção das diferidas, que veremos a seguir, todas as outras séries 

referenciadas neste subtítulo não contemplam uma relação padrão, por isso esses modelos são 

tratados separadamente. A manipulação dessas séries é muito trabalhosa, residindo ai o fato de 

serem pouco empregadas. 

4.1.4.1) PV D - Séries Diferidas 

O diferimento pode ser entendido como um prazo de carência que se concede para que a 

primeira prestação seja efetivada. É importante não confundir o prazo do diferimento com o 

prazo das séries postecipadas, que é de um período. Diferente desta última, o prazo de carência 

não contempla nenhum valor padrão, ele depende do que será acordado entre as partes 

interessadas. Nós portando ao modelo gráfico: 

PVD 

t1 t2 t3 t4 t5 t6 tj 

Prazo de 

Carência = 3 

PMT 1 PMT 2 PMT 3 PMT n 

Série Diferida 





Em geral, a comparação da série diferida é feita com a postecipada, conseqüentemente, neste 

exemplo, o prazo de carência para iniciar o pagamento das parcelas é de três períodos. Sendo 

assim, o prazo de carência será sempre um período a menos em relação aquele entre a data t0 e 

a data da primeira prestação: 

1 1 − = Cr t PMT 

Cr - prazo de carência 

tPMT1 - período do pagamento da primeira parcela 

O PVD será dado pelas prestações descapitalizadas como se a série fosse postecipada, 

atualizada pelo prazo de carência. Cabe ressaltar que n e j, neste caso, representam 

respectivamente o número de prestações e o número de períodos. Então: 

PV 

D 

= 

j 

∑ 

n= 

PMT 

( ) 

( ) Cr 

1 1+ 

i 

1+ 

i 

⎡ PMT 

= ⎢ 

⎣ 

n 

PMT 

PMT 

PMT 

PVD + + + ⋅⋅ 

⋅+ 

j 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 

3 

2 

1 

1+ i 1+ 

i 1+ 

i 1+ 

i 1+ 

i 

Como a expressão entre colchetes equipara-se a soma dos termos de uma Progressão 

Geométrica (PG), e pode ser simplificada utilizando o mesmo artifício aplicado às séries de 

Valor Presente Postecipadas desenvolvidas no item 4.1.1: 

PV 

D 

n - número de prestações 

cr - Prazo de carência 

( 1 i) 

⎡ 1 

− + 

= PMT ⋅ ⎢ 

⎣ i 

−n 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⋅ 

1 

( ) cr 

1 + i 


⎤ 

⎥ ⋅ 

⎦ 

1




Exemplo: Admitindo prestações no valor de $200,00 e taxa de juro de 3,50%, calcule o PVD da 

série acima. Obs: t = 13. 

PMT 

• Número de prestações: 

n = t 

PMT − 

n = 13 − 3 

n = 10 

• Valor Presente: 

PV D 

PV D 

PV D 

PV D 

j 

Cr 

j 

( 1 0, 

035) 

⎡ 1 − + 

= 200 ⋅ ⎢ 

⎣ 0, 

035 

−10 

⎤ 

⎥ ⋅ 

⎦ 

⎡1− 0, 

7089⎤ 

1 

= 200 ⋅ ⎢ ⋅ 

0, 

035 

⎥ 

⎣ ⎦ 1, 

1087 

= 200 ⋅8, 

317 ⋅ 

= 1. 

500, 

20 

0, 

902 

4.1.4.2) PV - Séries Variáveis 

1 

( ) 3 

1 + 0, 

035 

Séries Variáveis de Pagamentos são aquelas que não apresentam nenhuma conformidade em 

relação aos valores das parcelas, todavia, os intervalos entre eles são constantes (Periódicos). 

Para esse tipo de comportamentos dos fluxos não teremos como desenvolver uma fórmula 

padrão, o cálculo do PV deverá ser feito descapitalizando parcela por parcela. Reportando-se a 

um exemplo gráfico: 


PV = 

PV = 

6 

∑ 

n= 

1 1 

PMT 

n 

n 

( + i) 

PMT 

1 

+ 

PMT 

2 




+ 

PMT 

3 

− 

PMT 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 

1 

2 

3 

4 

5 

1+ i 1+ 

i 1+ 

i 1 + i 1+ 

i 1+ 

i 


4 

+ 

PMT 

5 

+ 

PMT 

Supondo os seguintes valores abaixo para a série acima, e taxa de 4% ao mês, calcule o PV: 

PMT 1 = 1. 

200, 

00 

PMT 

2 

= PMT 

3 

= 

PMT 4 = 1. 

900, 

00 

5 1. 

850, 

00 = PMT 

6 3. 

000, 

00 = PMT 

• 

PV = 

PV = 

PV = ? 

1. 

200 

2. 

200, 

00 

2. 

200 

+ 

1, 

04 

2. 

200 1. 

900 1. 

850 3. 

000 

+ + + + 

1, 

04 1, 

04 1, 

04 1, 

04 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 

5 

4 

3 

2 

1, 

04 

1. 

200 

1, 

04 

+ 

2. 

200 

1, 

082 

+ 

2. 

200 

1, 

125 

+ 

1. 

900 

1, 

170 

+ 

1. 

850 

1, 

217 

+ 

3. 

000 

1, 

265 

PV = 1 . 153, 

85 + 2. 

033, 

30 + 1. 

955, 

56 + 1. 

623, 

95 + 1. 

520, 

15 + 

PV = 10. 

658, 

36 

PMT 1 

PMT 2 

PMT 3 

PMT 4 

PMT 5 

6 

PMT 6 

t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 

Séries Variáveis 

2. 

371, 

55

4.1.4.3) PV - Séries não Periódicas 




Séries não periódicas de pagamentos são aquelas que não apresentam nenhuma conformidade 

em relação aos prazos, todavia, os valores das parcelas são constantes (iguais). O procedimento 

para calcular o PV é o mesmo do item anterior, ou seja, descapitaliza-se as parcelas 

individualmente uma a uma. Graficamente podemos representar essas séries da seguinte forma: 

PV 

PV = 

= ∑ 

= 

10 

n 1 1 

PMT 

n 

n 

( + i) 

PMT 

+ 

PMT 

+ 

PMT 

PMT 

( ) ( ) ( ) ( ) 10 

6 

5 

2 

1+ i 1+ 

i 1+ 

i 1+ 

i 

+ 

Admitindo uma prestação de $350,00 e juros de 3% ao período, calcule o valor presente da 

série acima: 

PV = 

PV = 

PV = ? 

350 

+ 

350 

+ 

350 

( ) ( ) ( ) ( ) 10 

6 

5 

2 

1+ 

0, 

03 1 + 0, 

03 1+ 

0, 

03 1+ 

0, 

03 

350 

1, 

061 

+ 

350 

1, 

159 

+ 

350 

1, 

194 

+ 

350 

1, 

344 

PV = 329 , 90 + 302, 

00 + 293, 

15 + 

PV = 1. 

185, 

50 


t0 t2 t5 t6 t10 

260, 

42 


+ 

350 

Séries não Periódicas





1) Um determinado bem é vendido em sete parcelas mensais e iguais de $4.000,00. Se o 

comprador aplicar o seu dinheiro à taxa de 2,60% ao mês, até que preço é viável adquirir o 

aparelho à vista? 

PV 

P 

PVP 

PVP 

PV P 

PV P 

( 1 i) 

⎡ 1 − + 

= PMT ⋅ ⎢ 

⎣ i 

−n 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

( ) 

- 7 

⎡ ⎤ 

1−1 ,0260 

= 4.000⋅⎢ 

⎥ 

⎢⎣ 0,026 ⎥⎦ 

⎡0,16446⎤ = 4.000⋅⎢ 

0,0260 

⎥ 

⎣ ⎦ 

= 

PV P =? 

4. 000 ⋅6, 

3253 

= 25. 

301, 

17 


4.000 

PVP 

4.000 (CHS) (PMT) Valor das prestações (sinal negativo) 

7 (n) Número de prestações 

2,60 (i) Taxa de juros da operação 

(PV)... Comando para o calculo do PV 


Resposta: Se maior que 25.301,174 => compra a prazo ! 

Se maior for igual é indiferente ! 

t1 t2 t7 

Se o valor encontrado for menor, a compra é a vista.! 

4.000 4.000 

FPV (2,60%, 7) 

⎡1−0,83554⎤ = 4.000⋅⎢ 

0,026 

⎥ 

⎣ ⎦ 

Série Uniforme Postecipada 





2) Uma maquina industrial está sendo vendida por $4.000,00 de entrada mais 6 pagamentos 

mensais, iguais e consecutivos de $3.000,00. Se a taxa de juros nominal praticada pelo 

mercado é de 66% ao ano, capitalizada mensalmente, determine o preço máximo exigido para 

comprá-la à vista. 

PV 

E 

PV E 

PV E 

PV E 

PV E 

PV E 

⎡ ⎛ 0, 

66 ⎞ 

⎢ 1 − ⎜1 

+ ⎟ 

⎢ ⎝ 12 ⎠ 

= E + PMT ⋅ 

⎢ 

0, 

66 

⎢ 

⎢ 

12 

⎣ 

−n 

( 1,055) 

⎡ 1 − 

= 4. 

000 + ⎢3. 

000 ⋅ 

⎣ 0, 

055 

= 

= 

= 

-6 

⎡ 1− 

0, 

7252⎤ 

4. 

000 + ⎢3. 

000⋅ 

⎥ 

⎣ 0, 

055 ⎦ 

4. 000 + ⋅ 

[ 3. 

000 4, 

9955] 

4 . 000 + 14. 

986, 

60 

= 18. 

986, 

60 


Entrada t1 t2 t6 

PV E = ? 

4.000 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥⎦ 

4.000 (g) (CF 0 ) Valor da entrada 

3.000 (g) (CF j ) Valor das prestações Subsequentes 

6 (g) (Nj) Repete o comando anterior seis vezes 

5,50 (i) Taxa de juros 

(f) (NPV)... Comanco de calculo do PV 


3.000 3.000 3.000 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

FPV (5,50%, 6) 

Série Antecip ada com Entrada 





3) Uma pessoa recebeu $7.500,00 pelo seu carro usado na compra de um novo, cujo valor à 

vista é de $18.500,00. O saldo devedor será pago por meio de uma entrada mais 18 prestações 

mensais de $350,00. Sabendo que a financeira cobra juro nominal de 72% ao ano, capitalizado 

mensalmente, calcule o valor da entrada. 

Perceba que a forma mais fácil de resolver este problema é trazer todos os valores para o 

período inicial e subtrair de $18.500,00, a diferença será o valor da entrada: 

• PV = Entrada + Valor do carro usado + PVPMT 

18 . 500 

= Entrada + 7. 

500 + 

Entrada = 18 . 500 − 7. 

500 − 

Atualizando os valores das parcelas: 

PV PMT 

PV PMT 

PV PMT 

PV PMT 

Entrada = ? t1 t2 t18 

PV = 18.500 

⎡ ⎛ 0, 

72 ⎞ 

⎢1 

− ⎜1 

+ ⎟ 

⎢ ⎝ 12 ⎠ 

= 350 ⋅ 

⎢ 0, 

72 

⎢ 

⎢ 12 

⎣ 

( 1,06) 

⎡1 − 

= 350 ⋅ ⎢ 

⎣ 0, 

06 

= 350⋅10. 

8276 

= 3. 

789, 

66 

-18 

350 350 350 

PVPMT 

PVPMT 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

−18 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥⎦ 


Então... 

Entrada = 18. 500 − 7. 

500 − 3. 

789, 

65 

Entrada = 


7. 

210, 

34 




72 (Emter) Valor da taxa de juros nominal 

12 ( / ) Calcula taxa de juros proporcional 

(i) Insere taxa de juros na memória financeira 

350 (CHS) (PMT) Valor da prestação (sinal negativo) 


(PV)... Comando de calculo do PV 

3.789,66 Resposta (PV das prestações) 

7.500 (+) (CHS) Valor do carro usado 

18.500 (+) Valor do carro novo 

7.210,35 Valor da entrada 

4) A juros de 36% ao ano, capitalizado mensalmente, determine o tempo necessário para 

liquidar um financiamento de $842,36 por meio de prestações mensais de $120,00. 

PV 

P 

842. 

36 

( 1 i) 

⎡ 1 − + 

= PMT ⋅ ⎢ 

⎣ i 

( 1, 

03) 

⎡1 − 

= 120 ⋅ ⎢ 

⎣ 0, 

03 

( 1, 

03) 

842. 

36 1− 

= 

120 0, 

03 

7, 

0197 

7 , 0197 

0 , 2106 

842,36 

( 1, 

03) 

1− 

= 

0, 

03 

−n 

−n 

−n 

−n 

( ) n − 

1, 

⋅ 0, 

03 = 1 − 03 

( ) n − 

1, 

−1 = − 03 

t1 t2 t3 tn 

120 120 120 120 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 


( ) n − 

0 , 7894 = − 1, 

÷ ( −1) 

− 03 

Ln 

− 

− 

0 , 7894 




( ) n − 

1, 

= Ln 03 

0, 2365 = −n 

Ln 

( 1, 

03) 

0, 2365 = −n0, 

0296 

0, 

2365 

n = 

0, 

0296 

n = 8 

5 a) Uma Mercadoria é vendida a prazo em 5 pagamentos mensais de $ 700,00. Sendo de 

3,50% a.m. a taxa de juros, determine o seu preço à vista admitindo que: 

a) O primeiro pagamento é efetuado ao final do 1º período. 

( i) 

1− 1+ 

PV = PMTi 

i 

−n 

1−0,84197 PV = 700i 

0,035 

HP: 

[700] [CHS] [PMT] 

[3,5] [i] 

[5] [N] 

[PV] 

( ) 5 − 

1− 1+ 0,035 

PV = 700i 

0,035 

( ) 5 − 

1−1,035 PV = 700i 

0,035 

0,15803 

PV = 700i PV = 700i 4,51514 PV = 3.160,53 

0,035 

5) Uma Mercadoria é vendida a prazo em 5 pagamentos mensais de $ 700,00. Sendo de 3,50% 

a.m. a taxa de juros, determine o seu preço à vista admitindo que: 

b) O primeiro pagamento é efetuado no ato da compra; 

c) O primeiro pagamento é efetuado ao final do primeiro mês; 

d) O primeiro pagamento é efetuado ao final do segundo mês. 


a) Série Antecipada: 

PV 

A 

PV A 

PV A 

PV A 

PVA 

PV A 




( 1 i) 

⎡ 1 − + 

= PMT ⋅ ⎢1 

+ 

⎣ i 

1−n 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

( 1 0, 

035) 

⎡ 1 − + 

= 700 ⋅ ⎢1 

+ 

⎣ 0, 

035 

( 1, 

035) 

⎡ 1 − 

= 700 ⋅ ⎢1 

+ 

⎣ 0, 

035 

⎡ 1− 

0, 

87 

= 700 ⋅ ⎢1 

+ 

⎣ 0, 

035 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎡ 0,12856⎤ 

= 700⋅ ⎢1+ 0,035 

⎥ 

⎣ ⎦ 

= 700 ⋅ + 

PV A = 700 ⋅ 4, 

67 

PV A = 3. 

271, 

16 

[ 1 3, 

67] 

HP: 

[1] [+] [0,035] [Enter] 

[1] [Enter] [5] [-] 

x 

[ Y ] [CHS] [1] [+] 

[0,035] [÷ ] 

[1] [+] [700] [X] 

Entrada = 700 t1 t2 t4 

PV = ? 

700 700 700 

−4 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

1−5 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

FPV (3,50%, 5) x FAC (3,50%, 1) 


HP: 

[G] [BEG] 

[700] [CHS] [PMT] 

[3,5] [i] [5] [N] [PV] 

b) Série Postecipada: 

PV 

P 

PV P 

PV P 

PV P 

PV P 

PV P 

PV = ? 

( 1 i) 

⎡ 1 − + 

= PMT ⋅ ⎢ 

⎣ i 




−n 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

( 1 0, 

035) 

⎡ 1 − + 

= 700 ⋅ ⎢ 

⎣ 0, 

035 

( 1, 

035) 

⎡1 − 

= 700 ⋅ ⎢ 

⎣ 0, 

035 

⎡1 − 0, 

84 

= 700 ⋅ ⎢ 

⎣ 0, 

035 

= 700⋅ 4, 

5151 

= 3. 

160, 

54 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

−5 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

t1 t2 t5 

700 700 700 

−5 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

FPV (3,50%, 5) 


c) Série Diferida: 

Prazo de carência: 1 mês. 

PV 

D 

PV D 

PV D 

PV D 

PV D 

PV D 

PV D 

PV = ? 




( 1 i) 

⎡ 1 − + 

= PMT ⋅ ⎢ 

⎣ i 

−n 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

( 1 0, 

035) 

⎡ 1 − + 

= 700 ⋅ ⎢ 

⎣ 0, 

035 

⎡1 − 0, 

8420⎤ 

= 700 ⋅ ⎢ ⋅ 

0, 

035 

⎥ 

⎣ ⎦ 

⎡0, 

1580⎤ 

= 700 ⋅ ⎢ ⋅ 

0, 

035 

⎥ 

⎣ ⎦ 

= 700 ⋅ 4, 

5151⋅ 

= 700 ⋅4, 

3624 

= 3. 

053, 

6586 

t2 t3 t6 

700 700 700 

⋅ 

−5 

1 

( ) cr 

1 + i 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⋅ 

1 

1, 

035 

0, 

9662 

0, 

9662 

( ) 1 

1 + 0, 

035 


1

Exercícios Proposto: 




1) Um veículo, cujo preço a vista é de $ 30.000,00, está sendo vendido nas seguintes 

condições: 

i. Entrada igual a 30%; 

ii. Saldo em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira daqui a dois 

meses; 

Determinar o valor de cada prestação, admitindo uma taxa de juros de 2% ao mês. 

OBS: PMT São pagamentos parcelados 

PVA É o valor restante 

Entrada 30% 30.000,00 – 9.000,00 (entrada) = 21.000,00 

i = 2%a.m. T=6 meses CR=1 

..... 

CR 

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 

−T 

1 − (1 + i) 

1 

PV = PMTi 

i 

i (1 + i) 

D CR 

........................ 

 

PMT 

−6 

−6 

1 − (1+ 0,02) 1 

1 − (1,02) 1 

21.000,00 = PMTi 

i 21.000,00 

= PMTi 

i 

1 

0,02 (1+ 0,02) 

0,02 (1,02) 

21.000,00= PMT i5,6014i0,9804 21.000,00 = PMTi5,4916 

21.000,00 = 5,4916PMT 

21.000,00 

PMT = PMT = 3.824,02 

5,4916 


1




2) Determinado produto está sendo vendido por $ 1.800,00 a vista, ou em 3 pagamentos 

mensais e iguais de $ 650,00. Estando atualmente em 3,30% ao mês as taxas de juros de 

mercado, pede-se avaliar a melhor alternativa de compra. 

A vista: 1.800,00 = PVA 

A prazo: 3X 650,00 = PMT 

i = 3,30% = 0,0330 

T=3 Meses 

1 (1 ) T − 

−3 

−3 

− + i 

1 − (1+ 0,033) 

1 −(1,033) 

PVP = PMTi 

PVP = 650i 

PVP = 650i 

 

i 

0,033 

0,033 

PVP = 650i2,81 PVP = 1.828,04 

3) Determinada mercadoria é vendida por $ 2.500,00 a vista ou por 20% de entrada mais 

prestações mensais de 309,00. Sendo de 2% ao mês a taxa corrente de juros, determinar o 

número de prestações. 

Valor Venda :2.500,00 

20% Entrada: 500,00 

PMT=309,00 

i = 2% 

t1 t2 t3 t4 t5 

........... 

PMT 





1 (1 ) t − 

−t 

−t 

− + i 

1 − (1+ 0,02) 2000 1 −(1,02) 

PVP= PMTi 

2000= 

309i 

= 

i 

0,02 309 0,02 

6,4725 

1 − (1,02) 

0,02 

−t 

= 6,4725 0,02 1 (1,02) t − 

= − 

0,1294 1 (1,02) t − 

− =− 0,8706 (1,02) t − 

− =− (X-1) 

− t 

− t 

1,02 = 0,8706 

LN1,02 = LN0,8706 

 

i 0,1294 1 (1,02) t − 

= − 

LN 0,8706 

tLN i 1,02= LN 0,8706 t 

= 

LN1,02 

0,14 

t = t = 6,9977 t = 7meses 

0,02 

HP: 

[2000] [CHS] [PV] 

[309] [PMT] 

[2] [i] 

[N] [7] 

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 tn 

4) Um eletrodoméstico é vendido a vista por $ 8.000,00, ou em 4 pagamentos mensais de $ 

2.085,79, ocorrendo o primeiro pagamento 3 meses após a compra. Qual deve ser o valor da 

entrada admitindo uma taxa de juros de 4% ao mês. 


i= 4% am . . 

PV = 

FV 

8000 

PV = Ε 

( 1 + i) 

n 

1 − (1 + i) 

PV =Ε+ PMTi 

i 

n 

(1 + i) 




=> fórmula para descapitalizar ! 

−T 

8000=Ε+ 2.085,79i 

−4 

1 − (1+ 0,04) 

0,04 

2 

(1+ 0,04) 

−4 

⎡ 1 − (1+ 0,04) 

−2⎤ 

8000=Ε+ 

⎢2.085,79 i i (1+ 0,04) 

0,04 

⎥ 

⎣ ⎦ 

−4 

⎡ 1 − (1+ 0,04) 

−2⎤ 

8000=Ε+ ⎢2.085,79 i i (1+ 0,04) 

0,04 

⎥ 

⎣ ⎦ 

−4 

⎡ 1 −(1,04) 

−2⎤ 

8000=Ε+⎢2.085,79 i i(1,04) 0,04 

⎥8000=Ε+ 

7000 Ε= 8000−7000 Ε= 1000 

⎣ ⎦ 

5)Um financiamento no valor de $ 35.000,00 é concedido para pagamento em 12 prestações 

mensais, iguais, com 3 meses de carência. Para uma taxa de juros de 3,50% ao mês, determinar 

o valor das prestações. 

35000 

t1 t2 t3 t4 t5 t6 

2.085,79 

 

2.085,79 

t1 t2 t3 t4 t5 …… t14 

........................ 

 

PMT = ? 


Dados: 

i= 3,5% am . . 12X3meses CR 

−T 

1 − (1 + i) 

PV = PMTi i (1 + i) 

 

i 

1 

2 

1 − (1+ 0,035) 

35.000 = PMT 

(1+ 0,035) 

0,035 




−12 

i i 

−3 

 

−12 

1 − (1,035) 

35.000 = PMTi 

i (1,035) 

0,035 

1 0,6617 

35.000 PMT 0,9019 

0,035 

− 

= i i 35.000= PMT i9,6657i0,9019 35.000= PMT i 8,7175 

35.000 

PMT = PMT = 4.014,91 

8,7175 

6) Um empréstimos no valor de $ 12.500,00 deve ser pago em 4 parcelas trimestrais de valores 

linearmente crescentes na razão de 12%. A primeira parcela vence de hoje a 3 meses, e as 

demais sequencialmente. A taxa de juros contratada para a operação é de 27% ao ano (efetiva). 

Determinar o valor de cada pagamento do empréstimo. 

Dados: 

−CR 

....................... 

Valor Empréstimo: 12.500,00 

4 X Trimestres 

1º 12% 2º 24% 3º 26% 4º 48% 27% a.a.(Efetivo) 

(1 ) (1 ) n 

+ i> = + i< 

(1 

0,27) (1 i ) 

1 

4 

+ = + < 

1 

4 

⎡ 

1 

4⎤4 1 

(1+ 0,27) = ⎢(1 + i < ) ⎥ 

⎣ ⎦ 

4 

0,25 

(1+ 

0,27) = 1+ i




PMT PMT(1,12) PMT(1,12) PMT(1,12) 

PV = + + + 

(1+ 0,0615) (1+ 0,0615) (1+ 0,0615) (1+ 0,0615) 

1 2 3 

1 2 3 4 

1 2 3 

PMT PMT(1,12) PMT(1,12) PMT(1,12) 

PV = + + + 

1 2 3 4 

(1,0615) (1,0615) (1,0615) (1,0615) 

PMT PMTi1,12 PMTi1,2544 PMTi1,1404928 

PV = + + + 

 

1 

(1,0615) 1,1269 1,1963 1,27 

PV = PMT0,9420+ PMT0,9938+ PMT1,0485+ PMT1,1062 

 

12.500= 4,096PMT 12.500 

= PMT PMT = 3.055,78 

4,096 

7) Um financiamento de $ 20.000,00 será pago em 8 prestações mensais postecipadas. Se a 

taxa de juros efetiva cobrada pela financeira for de 8% ao mês, calcular o valor de uma 

comissão de abertura de crédito, cobrada do cliente, que permita à financeira auferir uma 

rentabilidade de 10% ao mês na operação. 

8) Em quantos meses uma pessoa consegue liquidar um empréstimo de $ 1.895,395 pagando 

prestações mensais de $ 500,00 a juros efetivos de 10% ao mês. 

9) Uma indústria financia suas vendas a prazo cobrando uma taxa de juros efetiva de 10% ao 

mês. Determinar o valor das prestações para uma operação no valor de 250.000,00, sabendo-se 

que há duas alternativas de pagamento: 

a) Pagamento em 12 prestações mensais antecipada; 

250.000 

Pmt1 Pmt2 Pmt3 Pmt4 Pmt12 


i = 10% a.m.(Efetiva) 




HP: 

[g] [7] Para informar que a série é antecipada. [g] [7] Finaliza [g] [7] 

[250.000] [CHS] [PV] 

[10] [i] 

[12] [n] 

[PMTA] [=] 33.355,30 

[PMTP] [=] 36.690,00 

b) Pagamento em 4 prestações trimestrais postecipadas. 

(1 ) (1 ) n 

+ i> = + i< 

 

(1 ) (1 0,1) 

3 

+ i > = + 

i >= 1,3310−1i >= 0,3310 ou 33,10%a.t. 

HP: 

[33,10] [i] 

[250.000] [CHS] [PV] 

[4] [N] 

[PMT] [?] 

[PMT] = 121.446,64 

(1 i ) (1,1) 

3 

+ > = (1 i ) 1,3310 

+ > = 

10) Um financiamento de $ 40.000,00 será pago em 8 prestações mensais de $ 6.413,44. o 

início do pagamento das prestações será ao término de um determinado período de carência. 

Considerando juros efetivos de 3% ao mês, determinar o período de carência. 

11) Um financiamento será pago em 18 prestações mensais de $ 100.000,00. Se o valor do 

financiamento for de $ 875.563,00, calcular a taxa de juros efetiva cobrada. 





12) Um equipamento é vendido à prazo por meio de uma entrada de 20%, mais 9 prestações 

mensais de $ 17.337,75. Se o valor à vista for de $ 120.000,00, calcular a taxa de juros efetiva 

cobrada. 

Dados: 

Entrada: 20% PMT=17.337,75 

9 X 17.337,75 

PV=120.000,00 – 20% PV=120.000,00 – 24.000,00PV=96.000,00 

HP: 

[96.000] [CHS] [PV] 

[17.337,75] [PMT] 

[9] [N] 

[i] 11% 

[PMT] = 121.446,64 

13) A empresa TV Cabo Telecomunicações S.A. enviou a seus assinantes uma proposta com 

três opções de pagamento: pagamento mensal, pagamento semestral ou pagamento anual. Se o 

assinante escolher a primeira opção, pagará mensalmente parcelas fixas de $ 49,00, se optar 

pela segunda, fará dois pagamentos semestrais de $ 275,00, e se optar pela terceira, fará um 

único pagamento de $ 539,00 à vista. Nas duas primeiras opções, a primeira parcela á paga 

antecipadamente. A empresa alega que, além de evitar idas e vindas ao banco, o assinante que 

optar pelos planos semestral ou anual estará sendo beneficiado por um desconto promocional 

no valor da mensalidade. Considerando que as aplicações financeiras rendem em média 1,80% 

ao mês, qual será a melhor opção de pagamento? 

14) Um financiarmento de $ 4.000,00 será pago em 3 parcelas mensais consecutivas de $ 

1.200,00, $ 2.300,00 e $ 1000,00, respectivamente. Calcular o custo efetivo do financiamento. 

15) Uma compra cujo valor à vista é de $ 4.000,00 pode ser paga com uma entrada de 20% 

mais trens parcelas mensais de $ 1.000,00, $ 2.200,00 e 1.000,00, respectivamente. 

Considerando que existe um período de carência de 3 meses para início do pagamento das 

parcelas, calcular o custo efetivo do financiamento. 





16) Um apartamento foi colocado à venda por $ 107.800,00. A prazo pode ser pago com uma 

entrada de $ 8.000,00 mais 5 prestações mensais consecutivas. As duas primeiras de $ 

18.000,00, e as três últimas de $ 23.000,00. Se o comprador tem a opção de aplicar seu capital 

em um fundo de renda fixa a juros efetivos de 1,40% ao mês, qual será a melhor alternativa do 

ponto de vista financeiro considerando-se que a pessoa tenha recursos para comprá-lo até 

mesmo à vista? 


4.2) Valor Futuro (FV) 




O conceito e a metodologia de cálculo do Valor Futuro (FV) para séries de pagamentos é 

análoga a do Valor Presente. O FV pode ser entendido como a somatória das prestações de 

uma série de pagamentos, capitalizadas a taxa (i) em única data, igual ou posterior ao último 

período do fluxo de caixa. De forma simplista, é a substituição de várias parcelas por uma 

única, em data igual ou posterior ao vencimento da última prestação. 

Desenvolveremos o calculo do FV para os seguintes formatos de séries: 

• Série Periódica Constante Postecipada; 

• Série Periódica Constante Antecipada; 

• Séries Aleatórias de Pagamentos. 

4.2.1) FV P - Série Periódica Constante Postecipada 

O valor futuro de uma série periódica constante postecipada é dado pela somatória das 

parcelas, capitalizadas a taxa (i) em data igual a da última parcela. Ou seja, o FV é calculado na 

data do vencimento da última prestação. É importante observar que, a última PMT não 

contempla a incidência da taxa de juros, pois, a somatória das demais é feita nesta data. 

Graficamente tem-se a seguinte representação: 


t0 t1 t2 t3 tn-1 tn 


FV P 

FV - Série Periódica Constante Postecipada

n 

P = ∑ 

n 

−1 

= 0 

( ) n 

1 i 

FV PMT ⋅ + 

FV 

P 

= PMT ⋅ 




( ) ( ) ( ) ( ) 1 

2 

1 

0 

n− 

1 + i + PMT ⋅ 1 + i + PMT ⋅ 1 + i + ⋅ ⋅ ⋅ + PMT ⋅ 1 + i 

Pode-se desenvolver a fórmula geral para o cálculo do FVP de duas maneiras: 

1º) Tal com foi feito na demonstração do PV, isola-se o PMT, a expressão entre colchetes, 

também conhecida como Fator de Valor Futuro (FFV), equipara-se a uma soma de 

Progressão Geométrica de n termos, sendo a1 o primeiro termo, an o último e q a razão de 

crescimento da série: 

FV 

P 

• a 1 = 1 

= PMT ⋅ 

• ( ) 1 n− 

a 

n 

= 1+ 

i 

• q = ( 1 + i) 

2 

3 

n−1 

[ 1+ 

( 1+ 

i) 

+ ( 1+ 

i) 

+ ( 1+ 

i) 

+ ⋅⋅ 

⋅ + ( 1+ 

i) 

] 

Dado os termos da Soma da Progressão Geométrica... 

S 

S 

S 

S 

S 

n 

n 

n 

n 

n 

a1 

− an 

⋅ q 

= FFV = 

1− 

q 

1 − 

= FFV = 

n−1 

( 1+ 

i) 

⋅ ( 1+ 

i) 

1− 

( 1 + i) 

( 1+ 

i) 

n−1 

1 − 

= FFV = 

1− 

1− 

i 

1 − 

= FFV = − 

( + i) 

( 1 + i) 

1 − 1 

= FFV = 

i 

n 

i 

n 

+ 1 

FFV (i, n) 


Substituindo o FFV pela expressão entre colchetes... 

Onde, 

( + ) 

i n 




ou 

1 − 1 

é denominado Fator de Valor Futuro: FFV(i, n). 

i 

2º) A outra maneira é inserir na fórmula do PVP (de série postecipada) o fator de capitalização 

( ) n 

+ i 

1 : 

P 

P 

( ) n 

i 

FV = PV ⋅ 1 + 

( 1 i) 

−n 

⎡ 1 − + ⎤ 

FV P = ⎢PMT 

⋅ ⎥ ⋅ + 

⎣ i ⎦ 

( ) n 

1 i 

−n 

( 1 i) 

⎤ 

n 

⎡ PMT − PMT ⋅ + 

FV P = ⎢ 

⎥ ⋅ ( 1 + i) 

⎣ i ⎦ 

( 1 i) 

−n 

⎡ PMT PMT ⋅ + ⎤ 

FV P = ⎢ − 

⎥ ⋅ + 

⎣ i i ⎦ 

PMT ⋅ 

FV = 

i 

FV 

FV 

FV 

P 

P 

FV 

P 

PMT ⋅ 

= 

i 

( 1 + i) 

n ⎡ − 1⎤ 

= PMT ⋅ ⎢ ⎥ 

⎣ i ⎦ 

( ) n 

1 i 

n 

−n 

( 1 + i) 

PMT ⋅ ( 1 + i) 

⋅ ( 1 + i) 

− 

n ( 1 + i) 

PMT ⋅ ( 1 + i) 

( + i) 

PMT ⋅ 1 PMT ⋅1 

= 

− 

i 

i 

P 

n 

− 

( 1 + i) 

n ⎡ − 1⎤ 

= PMT ⋅ ⎢ ⎥ 

⎣ i ⎦ 

i 

i 

0 


FV P 

n 

= 

PMT ⋅ FFV 

( i, 

n)




Perceba que esse artifício só é possível graças ao conceito de equivalência de capitais, que 

iremos discutir logo mais. A principio, o que é preciso saber para compreender a demonstração 

acima é que, se podemos converter vários valores ao longo do tempo em único, na data zero, 

t0, também podemos converter este valor, em t0, em um único em data futura. Para isto basta 

capitalizar o PV ao período desejado. Os leitores mais atentos já perceberam que o FV também 

pode ser calculado com o auxilio do FPV (Fator de Valor Presente) e do FAC (Fator de 

Atualização de Capital): 

FV P 

Exemplo: No último semestre você depositou $500,00 por mês em um fundo de renda fixa, à 

taxa de 1,50% ao mês, a título de juros e correção. Se hoje foi o seu sexto e último depósito, 

qual o valor total acumulado na aplicação. 

n 

P = ∑ 

n 

−1 

= 0 

( ) n 

1 i 

FV PMT ⋅ + 

FV P 

FV P 

FV P 

FV P 

= PMT ⋅ FPV 

( ) ( ) ( ) 5 

2 

1+ 

0, 

015 + 500⋅ 

1+ 

0, 

015 + ⋅⋅ 

⋅ + 500⋅ 

1 0, 

015 

= 500 + 500⋅ 

+ 

= 500 + 500 ⋅1, 

015 + 500⋅1, 

0302 + ⋅⋅ 

⋅ + 500⋅1, 

0773 

= 500 + 507, 

50 + 515, 

1125+ 

... + 

= 3. 

114, 

7755 

( i, 

n) 

⋅ FAC( 

i, 

n) 

500 500 500 

t0 t1 t2 t5 t6 

538, 

6420 

Ou então, utilizando a fórmula geral desenvolvida anteriormente: 

FVP - Série Periódica Constante Postecipada 


FV P

FV 

P 

FVP 

( 1 + i) 

n ⎡ − 1⎤ 

= PMT ⋅ ⎢ ⎥ 

⎣ i ⎦ 

( ) 6 

⎡ 1+ 0,015 −1⎤ 

= 500⋅⎢ 

⎥ 

⎢⎣ 0,015 ⎥⎦ 

( 1, 

015) 

6 ⎡ − 1⎤ 

FVP = 500 ⋅ ⎢ ⎥ FV 

⎣ 0, 

015 ⎦ 

FV = 500⋅ 6, 

2296 FV = 3. 

114, 

7755 

P 


Calculo do Valor Futuro (FV) 

500 (CHS) (PMT) Valor das prestações (negativo) 


1,5 (i) Taxa de juros 

(FV)... Comando de calculo do valor futuro 





P 

⎡1,09344−1⎤ = 500⋅⎢ 

0,015 

⎥ 

⎣ ⎦ FV 

4.2.2) FV A - Série Periódica Constante Antecipada 

P 

⎡0,09344 ⎤ 

= 500⋅⎢ 

0,015 

⎥ 

⎣ ⎦ 

O Valor Futuro de uma série periódica constante antecipada é dado pela somatória das 

prestações, capitalizadas a taxa (i) um período após a ocorrência da última parcela. Além disso, 

a primeira parcela é efetivada em t0. Perceba que a diferença entre as séries antecipadas e as 

postecipadas é que, na antecipada realiza-se a primeira prestação no ato da operação financeira 

e calcula-se o FV após a capitalização da última, diferentemente da postecipada, onde, a 

primeira prestação só é efetivada em t1 e o FV é calculado junto com a última parcela. 


t0 t1 t2 tn 

FV - Série Periódica Constante Antecipada 


P 

FV A

FV 

A 

A 

= 

n 

∑ 

n= 

1 

PMT ⋅ 

( 1 + i) 

n 




( ) ( ) ( ) n 

2 

1 + i + PMT ⋅ 1 + i + ⋅ ⋅ ⋅ + PMT ⋅ i 

FV = PMT ⋅ 

1 + 

A 

2 

n 

[ ( 1 + i) 

+ ( 1 + i) 

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ( i) 

] 

FV = PMT ⋅ 

1 + 

Perceba que, como nas séries postecipadas, a expressão entre colchetes também equipara-se a 

uma progressão geométrica, onde: 

• a = ( 1+ 

i) 

1 

a = 1 + i 

• ( ) n 

n 

• q = ( 1 + i) 

Aplicando a fórmula da soma de uma progressão geométrica: 

a1 

− an 

⋅ q 

Sn = 

1− 

q 

Sn = 

n 

( 1+ 

i) 

− ( 1+ 

i) 

⋅ ( 1+ 

i) 

1 − ( 1+ 

i) 

Multiplicando por ( ) 1 − 

1 

Sn = 

Sn = 

Sn 

Sn 

+ i ... 

n 

( 1 + i) 

− ( 1 + i) 

⋅ ( 1+ 

i) 

1− 

( 1+ 

i) 

1 

⋅ 

( ) 

( ) 1 

−1 

1 + i 

− 

1+ 

i 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 

( ) ( ) ( ) 1 

1 

−1 

n 

1 

1 + i ⋅ 1+ 

i − 1+ 

i ⋅ 1+ 

i ⋅ 1 + i 

− 

− 

1⋅ 

1+ 

i − 1 + i ⋅ 1+ 

i 

( ) ( ) ( ) 

( ) ( ) 0 

1 

0 

n 

1+ 

i − 1+ 

i ⋅ 1+ 

i 

1+ 

i − 1+ 

i 

= − 

n 

1 − ( 1+ 

i) 

1 ( 1+ 

i) 

−1 

= − 

0 


−1

Substituindo o Sn pela expressão entre colchetes... 




Onde: FFV é o Fator de Valor Futuro (ver item 4.2.1) 

FAC é o Fator de Acumulação de Capital (ver item 3.2.1) 

Exemplo: Você pretende viajar para o exterior daqui a 8 meses e, para tanto, resolve depositar 

em um fundo de renda fixa $1.800,00 por mês. Admitindo que o primeiro depósito seja 

efetuado hoje e que o pagamento da viajem acontecerá após a capitalização da última 

prestação, qual o valor acumulado durante este tempo. A taxa de juros do fundo é de 1,80% ao 

mês. 

FV 

FV 

A 

FV A 

FV A 

FV A 

FV A 

n ⎡1 

− ( 1 + i) 

⎤ 

A = PMT ⋅ ⎢ −1 

⎥ 

FVA = PMT ⋅ FFV ( i, 

n) 

⋅ FAC( 

i, 

1) 

( 1 + i) 

− 1 

= 

8 

∑ 

n= 

1 

PMT ⋅ 

( 1 + i) 

n 

( ) ( ) ( ) 8 

2 

1+ 

0, 

018 + 1. 

800 ⋅ 1+ 

0, 

018 + ⋅⋅⋅ 

+ 1. 

800⋅ 

1 0, 

018 

= 1 . 800⋅ 

+ 

( ) ( ) ( ) 

= 1. 800 ⋅ 1, 

018 + 1. 

800 ⋅ 1, 

036 + ⋅ ⋅ ⋅ + 1. 

800 ⋅ 1, 

153 

= 1 . 832, 

40 + 1. 

865, 

383+ 

⋅⋅⋅ 

+ 2. 

076, 

131 

= 15. 

616, 

75 

Utilizando a fórmula geral... 

⎣ 

⎦ 

1.800 1.800 1.800 1.800 

t 0 t 1 t 2 t 8 

FV A =? 

FV - Série Periódica Constante Antecipada 


( ) 

( ) 1 

1 1 i 

i − 

− + 

+ − 

n ⎡ ⎤ 

FVA= PMT ⋅⎢ ⎥ 

⎢⎣ 1 1⎥⎦ 

⎡ 

PMT ⋅ ⎢ 

⎣ 

1 − ( 1 + 0, 

018) 

1 

( 1 + 0, 

018) 

− 

FVA = − 

FV A 

⎡1 

−1, 

1534 ⎤ 

= PMT ⋅ ⎢ ⎥ 

⎣0, 

9823 −1⎦ 

FV A = 15. 

616, 

75 

HP: 

[G] [7] 

[1800] [CHS] [PMT] 

[1,8] [i] 

[8] [N] [FV] [?] 




8 

⎤ 

⎡1−1,018 ⎤ 

⎥ FVA= PMT ⋅⎢ −1 

⎥ 

1⎦ 

⎢⎣( 1,018) −1⎥⎦ 

8 

− 0, 

1534 

= PMT ⋅ 

− 0, 

0177 

4.2.3) FV para Séries Aleatórias de Pagamentos 

( ) 

FVA A = 1. 800 ⋅8, 

6760 

FV 

O leitor já deve ter percebido que os cálculos do valor futuro executados até agora derivavam 

de séries com certas características padrão. Entretanto, nem sempre as séries se apresentam 

como aquelas vistas até agora. Existem séries que não possuem conformidade alguma, nem em 

relação aos valores, nem quanto aos períodos entre as prestações. Assim como no calculo do 

valor presente, quando os fluxos forem desconformes, não teremos como desenvolver uma 

fórmula geral e o cálculo do FV deverá ser feito capitalizando parcela por parcela. Reportando- 

se a um exemplo gráfico: 

t0 

PMT X 

PMT Y 

t2 t3 t6 t9 

FFV (1,80%, 8) x FAC (1,80%, 1) 

PMT Z PMT W 

FV = ? 

t13 t17 

FV - Série de Pagamento Qualquer 


∑ 

FV = PMT ⋅ 1 

n 

( + i) 

n 




( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 

8 

11 

14 

15 

FV = PMTX 

⋅ 1+ i + PMTX 

⋅ 1+ 

i + PMTY 

⋅ 1+ 

i − PMTZ 

⋅ 1+ 

i + PMTW 

⋅ 1 + i 

Dado os valores das parcelas abaixo e, sendo a taxa de juros igual a 4% ao mês, calcule o FV 

do fluxo acima. 

PMT = 900, 

00; 

x 

PMT = 2. 

200, 

00 ; 

y 

PMT = 1. 

850, 

00 ; 

z 

PMT = 1. 

800, 

00. 

w 

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 

8 

11 

14 

15 

FV = 900⋅ 1, 

04 + 900⋅ 

1, 

04 + 2. 

200⋅ 

1, 

04 + 1. 

850⋅ 

1, 

04 + 1. 

800⋅ 

1, 

04 

FV = 

( 900⋅1, 801) 

+ ( 900⋅1, 

732) 

+ ( 2. 

200⋅1, 

539) 

− ( 1. 

850⋅1, 

369) 

+ ( 1. 

800⋅1, 

170) 

FV = 1 . 620, 

45+ 

1. 

558, 

51+ 

3. 

386, 

80 + 2. 

531, 

85 + 2. 

105, 

75 

FV = 11. 

203, 

75 

Perceba que, devido a falta de um comportamento, tanto dos valores das parcelas quanto dos 

intervalos entre elas, não foi possível desenvolver uma relação que contemplasse uma fórmula 

geral para calcular o valor futuro. 


1) A partir do próximo mês serão feitos 12 depósitos em um fundo de investimento no valor de 

$1.500,00 cada. Sabendo que este fundo rende taxa efetiva de 3% ao mês, qual o valor 

acumulado (FV) no final de um ano? 


FV P 

FV P 

FV P 

( 1, 

03) 

12 ⎡ −1⎤ 

= 1. 

500 ⋅ ⎢ ⎥ 

⎣ 0, 

03 ⎦ 

= 1. 500 ⋅14, 

192 

= 

21. 

288, 

04 


1.500 (CHS) (PMT) Valor das prestações (negativo) 

3 (i) Taxa de juros 







2) Uma indústria decidiu seguir os conselhos de seu contador e aplicar, a partir do próximo 

mês, todas as despesas geradas pela depreciação de suas maquinas. Se esse valor é de 

$2.930,00 por mês, e o valor contábil se esgota em 10 anos, qual o FV no final do período? A 

taxa de juro nominal para investimentos de longo prazo é de 18% ao ano, capitalizada 

mensalmente. 

1.500 1.500 1.500 1.500 

t0 t1 t2 t3 t11 t12 

FFV (3%, 12) 


FV P 

FV - Série Periódica Constante Postecipada 

2.930 2.930 2.930 2.930 

t 0 t 1 t 2 t 3 t 119 t 120 

FV P 

FV - Série Periódica Constante Postecipada

FV P 

FV P 

FV P 

FV P 

= 

⎡ 

⎢⎜⎛ 

1 + 

0, 

18 

⎟⎞ 

⎝ 12⎠ 

2. 

930 ⋅ ⎢ 

⎢ 0, 

18 

⎢ 12 

⎣ 

⎡4, 

9693⎤ 

= 2. 

930 ⋅ ⎢ ⎥ 

⎣ 0, 

015 ⎦ 

= 

2. 930 ⋅331, 

2882 

= 970. 

674, 

40 





120 

⎤ 

−1⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥⎦ 

2.930 (CHS) (PMT) Valor das prestações (negativo) 

1,5 (i) Taxa de juros proporcional (mensal) 

120 (n) Númeor de prestações 



3) Um amigo está planejando fazer uma viagem de férias que lhe custará $22.000,00. Para 

tanto, ele deseja fazer 12 depósitos mensais em um fundo de investimentos que lhe renderá à 

taxa de juros efetivos de 34,50% ao ano. Determine o valor das parcelas para que seu amigo 

consiga, ao final do período, o montante necessário para fazer a viagem. 

1º) Calculo da taxa efetiva mensal: 

( ) ( ) n 

1 + = 1 + i 

i > 

< 

( ) ( ) 12 

+ 0, 

3450 = 1 + i 

1 < 

[ ] 12 

1 

12 

1 

( , 3450) 

12 = ( 1+ 

i ) 

1 < 

1 , 02501= 

1+ 

i 

i = 2, 

50% 

ao mês. 

< 

< 

2º) Calculo do valor das parcelas para atingir o custo da viagem ($22.000,00): 

FV 

P 

( 1 + i) 

n ⎡ − 1⎤ 

= PMT ⋅ ⎢ ⎥ 

⎣ i ⎦ 

FFV (1,5%, 120) 


FV 

P 

PMT = n 

PMT = 

PMT = 

( + i) 

1 −1 

i 

22. 

000 

( 1+ 

0, 

025) 

0, 

025 

22. 

000 

13, 

7956 

PMT = 1. 

594, 

72. 


12 − 

1 




1º) calculo da Taxa Efetiva Mensal 

1,3450 (Enter) Fator de capitalização anual 

12 (1/x) (y x ) Corrige o fator de capitalização para mensal 

1 (-) 100 (x)... Transforma o fator em taxa 

2,50% Taxa de juros mensal 

2º) Calculo da PMT 

(i) Isere taxa de juros 

12 (n) Insere número de prestações 

22.000 (FV) Entra com o Valor Futuro 

(PMT)... Comando de calculo do valor das Prestações 


4) Fazendo depósitos de $800,00 cada, a uma taxa de juros nominal de 25,20% ao ano, quanto 

tempo é necessário para acumular um montante de $5.965,40? 

800 800 800 800 

t0 t1 t2 t3 tn-1 tn 

5.965,40 

FV - Série Periódica Constante Postecipada 


FV 

P 

5. 

965, 

40 

( 1 + i) 

n ⎡ − 1⎤ 

= PMT ⋅ ⎢ ⎥ 

⎣ i ⎦ 

( 1, 

021) 

n ⎡ −1⎤ 

= 800 ⋅ ⎢ ⎥ 

⎣ 0, 

021 ⎦ 

( 1, 

021) 

n 

5. 965, 

40 −1 

= 

800 0, 

021 

n ( 1, 

021) 

1 

7, 46 ⋅ 0, 

021 = − 

n ( 1 , 021) 

= 1, 

16 

Ln 

n ( 1, 021) 

= Ln 1, 

16 

n ⋅ Ln 1, 021= 

Ln 

n = 

n 

= 7 

Ln 

Ln 

1, 

16 

1, 

021 

1, 

16 









1) Calcular o montante acumulado ao final do 7º mês de uma seqüência de 7 depósitos mensais 

e sucessivos, no valor de $ 800,00 cada, numa conta de poupança que remunera a uma taxa de 

juros de 2,10% ao mês. 

Dados: 

N=7 Meses 

PMT=800 

i = 2,10% a.m. 

( ) 

( ) 1 

1 1 i 

i − 

− + 

+ − 

n ⎡ ⎤ 

FVA= PMTi 

⎢ ⎥ 

⎢⎣ 1 1⎥⎦ 

1− ( 1+ 0,021) 

( + 

1 

) − 

7 

⎡ ⎤ 

FVA = 800i⎢ 

− ⎥FV 

⎢⎣ 1 0,021 1⎥⎦ 

FV A = 

6.090,64 

A 

⎡0,1566⎤ = 800i⎢ 0,0206 

⎥FV 

A = 800⋅7,6154 

⎣ ⎦ 

2) Uma pessoa irá necessitar de $ 7.000,00 daqui a 10 meses. Quanto deverá depositar 

mensalmente, começando hoje, num fundo de poupança que rende 1,70% ao mês de juros, para 

ter o valor desejado no final do período? 

Dados: 

N=10 Meses 

PMT=? 

i = 1,70% a.m. 

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 

............................. 

 

PMT 


FV

1− ( 1+ 0,017) 

1 

( ) 

10 

⎡ ⎤ 




7000 

7000 = PMTi⎢ − ⎥7000 

= PMTi 

10,98 PMT = PMT = 637,27 

⎢⎣ 1+ 0,017 −1⎥⎦ 

10,98 

3) Uma pessoa possui hoje $ 50.000,00 em dinheiro e uma capacidade de poupança de $ 

3.000,00 mensais no próximo semestre e $ 4.000,00 mensais nos 4 meses seguintes ao 

semestre. Se esse fluxo de poupança for depositado mensalmente num fundo que rende 2,50% 

ao mês, determinar quanto essa pessoa terá acumulado ao final de: 

a) 10 meses; 

Resolvendo as PMTs de 3.000: 

( i) 

−n 

⎡1− 1+ 

⎤ 

PVP= PMTi 

⎢ ⎥PV 

⎢⎣ i ⎥⎦ 

PV 

PV= 50.000 

P 

⎡1−0,86229687 ⎤ 

= 3000i⎢ 

0,025 

⎥PV 

⎣ ⎦ 

PV P = 16.524,37608 

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 

.......................................... 

 

PMT = 3000 

P 

PMT 

( ) 6 − 

⎡1− 1+ 0,025 ⎤ 

= 3000i⎢ 

⎥PV 

⎢⎣ 0,025 ⎥⎦ 

P 

PMT = 4000 

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 

( ) 6 − 

⎡1−1,025 ⎤ 

= 3000i⎢ 

⎥ 

⎢⎣ 0,025 ⎥⎦ 


FV=? 

P 

⎡0,13770313⎤ = 3000i⎢ 

0,025 

⎥PV 

P = 3000i5,50812536 

⎣ ⎦ 

FV

Resolvendo as PMTs de 4.000: 

OBS: As PMTs de 4.000 sofrem carência de 6 mêses ! 

É como se deixa-se de existir as PMTs de 3.000 ! 

( i) 

−n 

⎡1− 1+ ⎤ 1 

PVP= PMTi⎢ 

⎥i 

PV 

CR 

⎢⎣ i ⎥⎦ 

(1 + i) 

PV 

P 

PV 

PV= 50.000 

P 

( ) 4 − 

⎡1−1,025 ⎤ 1 

= 4000i⎢ 

⎥i 

PV 

6 

⎢⎣ 0,025 ⎥⎦ 

(1,025) 




P 

( ) 4 − 

⎡1− 1+ 0,025 ⎤ 1 

= 4000i⎢ 

⎥i 

6 

⎢⎣ 0,025 ⎥⎦ 

(1+ 0,025) 

P 

⎡1−0,90949470⎤ 1 

= 4000i⎢ 

0,025 

⎥i 

 

⎣ ⎦ 1,15969342 

⎡0,09050530⎤ = 4000i⎢ 0,86229687 

0,025 

⎥i 

PV P = 4000i( 3,620211930,86229687 

i ) 

⎣ ⎦ 

PV P = 4000i3,12169741 PV P = 12.486,7896 

Somando os PVs: 

PV P = 16.524,37608 + PV P = 12.486,7896= 

PV P = 29.011,16574 

PVPTOTAL ( ) = 29.011,16574 + ( ENTRADA) 

 

PV PTOTAL ( ) = 79.011,1657 

PTOTAL ( ) 29.011,16574 (50.000,00) 

Achando o FV em 10 mêses: 

PV = + 

(1 ) n 

10 

10 

FV = PVi+ i FV = 79.011,1657 i(1+ 0,025) FV = 79.011,1657 i(1,025) 

FV = 79.011,1657i1,28008 FV = 101.140,9721 

b) 15 meses; 

CARÊNCIA 

PMT = 4000 

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 

(1 ) n 

15 

15 

FV = PVi+ i FV = 79.011,1657 i(1+ 0,025) FV = 79.011,1657 i(1,025) 

FV = 79.011,16571,44829817 

i FV = 114.431,7264 


FV=?

c) 22 meses. 




(1 ) n 

22 

22 

FV = PVi+ i FV = 79.011,1657 i(1+ 0,025) FV = 79.011,1657 i(1,025) 

FV = 79.011,1657i1,72157140 FV = 136.023,3630 

4) Uma pessoa deseja acumular $ 14.703,17 ao final de um semestre. Para tanto, deposita 

mensalmente num fundo a importância de $ 1.500,00, sendo corrigida à taxa de 4,50% ao mês. 

Quantos depósitos deveram ser feitos para obter o valor desejado? 

Dados: 

FV=14.703,17 

N=? 

PMT=1.500,00 

i = 4,5% a.m. 

( ) 

( ) 1 

1 1 i 

i − 

− + 

+ − 

n ⎡ ⎤ 

FVA= PMTi 

⎢ ⎥ 

⎢⎣ 1 1⎥⎦ 

( ) 

( ) 1 

1− 1+ 0,045 

+ 

− 

− 

( ) 

n 

⎡ ⎤ 

14.703,17 = 1.500,00i⎢ 

⎥ 

⎢⎣ 1 0,045 1⎥⎦ 

( ) 1 

n 

14.703,17 ⎡1−1,045 ⎤ 

= ⎢ − ⎥ 

1.500,00 ⎢⎣ 1,045 −1⎥⎦ 

( ) 

980 1−1,045 = 

1 −0,0431 

( ) 

n 

0,4221 1 ( 1,045) n 

− = − ( ) 

n 

n 

1,045 = 1,4221 

LN(1,045) = LN1,4221 

1,045 = 1+ 0,4221 

LN1,4221 

nLN i 1,045= LN1,4221 

n = 

LN1,045 

0,3521 

n = n = 8 

0,0440 

5) Quanto uma pessoa acumularia no fim de 15 meses se depositasse todo final de mês $ 

350,00 em uma aplicação que paga juros efetivos de 2,50% ao mês. No final do último período 

não há deposito. 

Dados: 

N=15 meses 

PMT=350,00 

i = 2,5% a.m. 


n

( ) 

( ) 1 

1 1 i 

i − 

− + 

+ − 

n ⎡ ⎤ 

FVA= PMTi 

⎢ ⎥ 

⎢⎣ 1 1⎥⎦ 

1− ( 1 + 0,025) 

1 

( ) 




( ) 

14 

14 

⎡ ⎤ 

⎡1−1,025 ⎤ 

FVA = 350i⎢ 

− ⎥FVA 

= 350i⎢ 

−1 

⎥FV 

A = 35016,9319 i 

⎢⎣ 1+ 0,025 −1⎥⎦ 

⎢⎣( 1,025) −1⎥⎦ 

FV = 5.926,17 

A 

6) Em quanto tempo uma pessoa acumularia um capital de $ 12.000,00 depositando $ 549,44 

todo mês, começando na data zero, em uma aplicação financeira que rende juros efetivos de 

2% ao mês.? 

Dados: 

FVA=12.000,00 

PMT=549,44 

i = 2% a.m. 

( ) 

( ) 1 

1 1 i 

i − 

− + 

+ − 

n ⎡ ⎤ 

FVA= PMTi 

⎢ ⎥ 

⎢⎣ 1 1⎥⎦ 

( ) 

( ) 1 

1− 1+ 0,02 

+ 

− 

− 

( ) 

n 

⎡ ⎤ 

12.000= 549,44i⎢ 

⎥ 

⎢⎣ 1 0,02 1⎥⎦ 

( ) 1 

n 

12.000 ⎡1 1,02 ⎤ 

n 

− 

⎡1−1,02 ⎤ 

= ⎢ − ⎥21,84 

= ⎢ 

549,44 ⎢⎣ 1,02 −1⎥⎦ 

−0,0196 

⎥ 

⎣ ⎦ 

0,4282 1 1,02 n 

− = − 0,4282 1 1,02 n 

− − =− 1,4282 1,02 n 

= LN1,4282 = NLN i 1,02 

LN1,4282 

N = 

LN1,02 

0,35641 

N = N = 18Meses 

0,01980 

7) Uma pessoa deposita hoje $ 12.000,00 e trimestralmente uma quantia igual. No final do 

quinto trimestre quanto ela terá para gastar, caso decida sacar o dinheiro da aplicação. A taxa 

de juros é de 18% ao ano, capitalizada trimestralmente. 

Dados: PMT=12.000,00 N=5 i = 18% a.a. 


( ) 

( ) 1 

1 1 i 

i − 

− + 

+ − 

n ⎡ ⎤ 

FVA= PMTi 

⎢ ⎥ 

⎢⎣ 1 1⎥⎦ 

1− ( 1+ 0,18) 

( + 

1 

) − 




( ) 

5 

⎡ ⎤ 

FVA = 12000i⎢ 

− ⎥ 

⎢⎣ 1 0,18 1⎥⎦ 

( ) 1 

⎡1−2,28776 ⎤ 

FVA = 12000i⎢ 

− ⎥FV 

A = 120008,442 i 

⎢⎣ 1,18 −1 

⎥⎦ 

FV = 101.303,61 

A 

8) De quanto deverá ser a taxa de juros de uma aplicação, para que um investidor disponha de 

$ 100.000,00, depositando parcelas de $ 8.000,00 mensais durante 10 meses, nas seguintes 

condições abaixo: 

i. A primeira parcela é depositada no início do período; 

HP: 

[100.000] [FV] 

[8.000] [CHS] [PMT] 

[10] [N] 

[i] [?] = 4,8668% 

HP: 

ii. A primeira parcela é depositada no final do período. 

[G] [7] 

[100.000] [FV] 

[8.000] [CHS] [PMT] 

[10] [N] 

[i] [?] = 4,0195% 

9) Depositando mensalmente $ 4.000,00 durante 18 meses acumula-se um capital de 

$94.136,00. Calcular a taxa efetiva de juros ao mês ganha. Sabe-se que a primeira parcela é 

depositada no final do período. 

HP: 

[94.136] [FV] 

[4.000] [CHS] [PMT] 

[18] [N] [i] [?] = 3,05643% 


4.3) Equivalência Financeira de Capitais 




Este conceito tem ampla aplicação no sistema financeiro brasileiro. Ele é empregado na seleção 

de planos de financiamentos, avaliação de investimentos, antecipação ou postecipação de 

pagamentos e etc. 

Como vimos no início deste trabalho, não podemos comparar e nem executar operações 

algébricas com valores monetários em datas diferentes. Então, para efetuar qualquer tipo de 

intervenção ou julgamento, antes, é preciso disponibilizar os valores em datas iguais. Só assim 

pode-se tomar qualquer tipo de decisão em relação a duas ou mais situações que envolvem 

valores monetários. A nossa tarefa, visto isso, resume-se em definir o período que será feito a 

equivalência, capitalizando ou descapitalizando os valores a taxa (i) de acordo com o período 

desejado. 

O fundamental na Equivalência Financeira é que dois ou mais valores podem representar, 

monetariamente, a mesma quantia financeira em momentos diferentes (data focal). De forma 

simplista, dois ou mais capitais serão equivalentes quando resultarem no mesmo PV ou FV, em 

determinadas condições de prazo e taxa. Vejamos alguns exemplos: 

a) Substituição de três recebimentos por apenas um intercalado: 

PMT PMT 

S4 = ? 

t0 t1 t3 t4 t5 

PMT 

Equivalência de Capitais em t 4 





b) Substituição de quatro pagamentos por dois posteriores e subseqüentes: 

t0 t1 t2 t3 t4 t5 

PMT0 PMT1 PMT2 PMT3 

c) Substituição de seis pagamentos por dois posteriores com carência: 

Perceba que temos infinitas possibilidades de equivalências de capitais, com prazos, números 

de parcelas e valores totalmente distintos. Sendo assim, pelo mesmo motivo, não é possível 

desenvolver expressões padrão para o cálculo da equivalência de capitais. Aplicaremos, então, 

os conhecimentos adquiridos para calcular o Valor Presente e o Valor Futuro, adequando o 

algebrismo na forma que for necessário. Em se tratando de equivalência financeira, a 

calculadora HP-12c só servirá como ferramenta de auxilio, pois, a sua programação não é 

suficiente para resolver integralmente os problemas. Discutiremos pormenorizada a 

equivalência de capitais na secção dos exercícios resolvidos. 

S4 S5 

Equivalência de Capitais em t4 e t5 

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t10 t15 

PMT 1 - 6 S 10 

Equivalência de Capitais em t 10 e t 15 


S 15





1) A Sonho Bom Ltda. foi solicitada por um de seus clientes para substituir uma dívida de três 

parcelas de $1.300,00, vencíveis nas datas t1, t3 e t5 por apenas uma, na data t4. Sabendo que a 

taxa de juro nominal praticada pela empresa é de 30% ao ano, qual deverá ser o valor recebido 

em t4? (O diagrama do fluxo de caixa que ilustra esta situação é a letra a do item 5.3). 

1º) Taxa de juro proporcional mensal: 

0, 

30 

i p = ⋅1 

= 2, 

50 % ao mês. 

12 

2º) Calculo da Equivalência: 

S 

S 

S 

4 

4 

4 

= PMT ⋅ 

1 

3 

( 1+ 

i) 

+ PMT ⋅ ( 1+ 

i) 

3 ( 1, 

025) 

+ 1. 

300⋅ 

( 1, 

025) 

= 1 . 300⋅ 

+ 

= 1. 

399, 

96 + 1. 

332, 

50 + 1. 

268, 

30 

S 4 = 4. 

000, 

75 

3 

1 

1 

+ 

PMT 

( ) 1 

1+ 

i 


5 

1. 

300 

( ) 1 

1, 

025 

2) A Durma Bem Ltda. tem uma dívida com o Banco Futuro de seis parcelas mensais e iguais 

de $3.000,00, sendo o primeiro vencimento daqui a mês. Prevendo dificuldades financeiras 

para o próximo semestre, a empresa pretende substituir esses vencimentos por dois outros; 40% 

do valor a ser pago em t10 e 60% em t15. Sabendo que o Banco trabalha com taxa efetiva de 

42,576% ao ano, qual deverá ser o valor das parcelas? (O diagrama do fluxo de caixa que 

ilustra esta situação é a letra c do item 5.3). 

1º) Calculo da taxa efetiva mensal: 

( ) ( ) n 

1 + = 1 + i 

i > 

< 

( ) ( ) 12 

, 42576 = 1 + i 

1

[ ] 12 

1 

12 

1 

( , 42576) 

12 = ( 1 + i ) 

1 < 

1 , 03 

= 1+ 

i 

i = 3% 

ao mês. 

< 

< 




2º) A equivalência será calculada em duas etapas: 

PV das parcelas: 

PV = 

6 

∑ 

n= 

1 1 

PMT 

( + i) 

n 

( 1, 

03) 

⎛1 − 

PV = 3. 

000 ⋅ ⎜ 

⎝ 0, 

03 

PV = 

3. 000 ⋅ 5, 

4172 

PV = 16. 

251, 

58 

Capitalizar 40% do PV para t10 e 60% para t15: 

10 

−6 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

( ) ( ) 10 

0, 40 ⋅ PV ⋅ 1 i 

PMT = 

+ 

PMT 

PMT 

10 

10 

= 

= 

( ) ( ) 10 

0, 40⋅16. 

251, 

58 ⋅ 1, 

03 

6. 

500, 

63 

10 8. 

736, 

30 = PMT 

15 

⋅ 

1, 

344 

( ) ( ) 15 

0, 60 ⋅ PV ⋅ 1 i 

PMT = 

+ 

PMT 

PMT 

15 

15 

= 

( ) ( ) 15 

0, 60 ⋅16. 

251, 

58 ⋅ 1, 

03 

= 9. 

750, 

95⋅ 

15 15. 

191, 

66 = PMT 

( 1, 

558) 

FPV (3%, 6) 


3) Verifique se o conjunto de capitais é equivalente. 

OU: 

Para ser equivalente: 




Conjunto A Conjunto B 

Capital Prazo Capital Prazo 

R$ 2.000,00 1 R$ 2.100,00 1 

R$ 2.200,00 2 R$ 2.000,00 2 

R$ 2.420,00 3 R$ 2.300,00 3 

R$ 2.662,00 4 R$ 2.902,00 4 

10% a. p. ----- 10% a. p. ----- 

PV A = PVB 

(ou A FVB 

2. 

000 

FV = ) 

2. 

200 2. 

420 2. 

662 2. 

100 2. 

000 2. 

300 2. 

902 

+ + + = + + + 

1, 

10 1, 

10 1, 

10 

1, 

10 1, 

10 1, 

10 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 

3 

2 

4 

3 

2 

1, 

10 

1, 

10 

1 . 818, 

18 + 1. 

818, 

18 + 1. 

818, 

18 + 1. 

818, 

18 = 1. 

909, 

10 + 1. 

652, 

90 + 1. 

728, 

025 + 1. 

982, 

10 

7.272,72 = 7.272,72 

Portanto, as duas séries de pagamentos são equivalentes. 

Colocar todos na data t4: 

3 2 1 

A 2.000 i(1+ 0,10) + 2.200 i(1+ 0,10) + 2.420 i(1+ 0,10) + 2.662 

2.662,00+ 2.662,00+ 2.662,00+ 2.662,00= 10.648,00 

3 2 1 

B 2.100 i(1+ 0,10) + 2.000 i(1+ 0,10) + 2.300 i(1+ 0,10) + 2.902 

2.795,10+ 2.420,00+ 2530,00+ 2.902,00= 10.647,10 


1) Uma empresa contraiu um empréstimo a ser pago em 6 parcelas mensais uniformes de R$ 

16.284,90 cada. No entanto, antes de pagar a 2ª prestação, a empresa, passando por 

dificuldades financeiras, solicitou ao banco um refinanciamento da dívida em 12 prestações 

mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira a partir de 30 dias dessa data. A taxa de 

juro cobrada pelo banco é de 3,50% ao mês. (R$ 7.875,19) 





Dicas: calcular o valor presente das parcelas restantes em t2 e depois calcular o valor das 

novas parcelas. 

( ) 1 

i 

−n 

⎡ 1− 1+ 

⎤ 

PVA= PMT ⋅ ⎢1+ ⎥ 

⎢⎣ i ⎥⎦ 

PVA 

( ) 

1−5 ⎡ ⎤ 

1− 1 + 0,035 

= 16.284,90⋅ ⎢1+ ⎥PV 

⎢⎣ 0,035 ⎥⎦ 

PV A = 16.284,90⋅4,67 PV A = 76.100,63 

( i) 

−t 

⎡1− 1+ 

⎤ 

76.100,63 = PMT ⋅⎢ ⎥ 

⎢⎣ i ⎥⎦ 

( ) 12 − 

A 

( ) 4 − 

⎡ 1−1,035 ⎤ 

= 16.284,90⋅ ⎢1+ ⎥ 

⎢⎣ 0,035 ⎥⎦ 

( ) 12 

− 

⎡1− 1+ 0,035 ⎤ 

⎡1−1,035 ⎤ 

76.100,63 = PMT⋅⎢ 

⎥76.100,63 

= PMT ⋅⎢ ⎥ 

⎢⎣ 0,035 ⎥⎦ 

⎢⎣ 0,035 ⎥⎦ 

76.100,63= PMT ⋅9,66 

HP: 

[G] [7] 

[16.284,90] [CHS] [PMT] 

[3,5] [i] 

[5] [N] 

[PV] [?] = 76.100,62 

[G] [8] 

[76.100,62] [CHS] [PV] 

[3,5] [i] 

[12] [N] 

[PMT]=? 7.875,19 

76.100,63 

9,66 

PMT = PMT = 7.875,19 

2) Um fluxo de caixa está definido em 12 prestações mensais de R$ 1.200,00. Calcular o fluxo 

de caixa equivalente para 5 prestações trimestrais iguais. Considere uma taxa de 1,50% ao 

mês. (R$ 2.987,20) 


( i) 

−n 

⎡1− 1+ 

⎤ 

PVP= PMT ⋅⎢ ⎥ 

⎢⎣ i ⎥⎦ 

PVP 

13.089,00 

( ) 12 − 

⎡1− 1+ 0,015 ⎤ 

= 1200⋅⎢ 

⎥PV 

⎢⎣ 0,015 ⎥⎦ 

PV P = 13.089,00 

(1 ) (1 ) n 

+ i> = + i< 

(1 i ) (1 0,015) 

3 

+ > = + 




2.987,20 2.987,20 2.987,20 2.987,20 2.987,20 

t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 t13 t14 t15 

3 

+ i >= 

P 

1 (1,015) 

Substituindo o valor de i> na fórmula: 

( i) 

−n 

⎡1− 1+ 

⎤ 

PVP= PMT ⋅⎢ ⎥ 

⎢⎣ i ⎥⎦ 

( ) 5 − 

⎡1− 1+ 0,0457 ⎤ 

13.089,00 = PMT⋅⎢ 

⎥ 

⎢⎣ 0,0457 ⎥⎦ 

( ) 12 − 

⎡1−1,015 ⎤ 

= 1200⋅⎢ 

⎥ 

⎢⎣ 0,015 ⎥⎦ 

PV P = 1200⋅ 10,91 

3 

i >= (1,015) −1i>= 0,0457 at .. 4,57 at .. 

13.089,00 = PMT⋅4,38 

13.089,00 

= PMT PMT = 2.987,20 

4,38 

 

( ) 5 − 

⎡1−1,0457 ⎤ 

13.089,00 = PMT⋅⎢ 

⎥ 

⎢⎣ 0,0457 ⎥⎦ 

3) Uma televisão está sendo negociada em uma entrada mais 6 pagamentos mensais e iguais 

de R$ 72,00 cada um. Qual deve ser a entrada, de forma que o financiamento seja 

equivalente ao preço a vista de 650,00. A taxa de juros é de 3,90% ao mês. (R$ 271,33) 


650,00 

E 

( i) 

−n 

⎡1− 1+ 

⎤ 

PVE= E+ PMTi 

⎢ ⎥ 

⎢⎣ i ⎥⎦ 

( ) 6 − 




( ) 6 

− 

⎡1− 1 + 0,039 ⎤ 

⎡1−1,039 ⎤ 

650 = E + 72i⎢ 

⎥650 

= E + 72i⎢ 

⎥650 

= E + 72i 5,26 

⎢⎣ 0,039 ⎥⎦ 

⎢⎣ 0,039 ⎥⎦ 

650 = E + 378,67 E = 650−378,67 E = 271,33 

Entrada (E) mais as prestações somam total de (650,00). 

4) Uma pessoa deve atualmente 18 prestações de R$ 2.200,00 cada. O primeiro pagamento só 

acontece daqui a 30 dias. Com o intuído de adequar esses desembolsos mensais com suas 

disponibilidades de caixa, está propondo ao credor a transformação deste fluxo numa série 

de 3 pagamentos semestrais, sendo o primeiro 20% do valor da dívida, o segundo 30% e o 

último 50%. Sendo a taxa de juro 2,50% ao mês, calcule o valor das prestações. (Primeiro 

pagamento: R$ 7.324,02; Segundo pagamento: R$ 12.740,43; Terceiro pagamento: R$ 

24.624,98). 

t1 t2 t3 t4 t5 t6 

PV=? (31.577,40) 

PMT = 72,00 

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t18 

PMT = 2.200,00 


HP: 

[2.200] [CHS] [PMT] 

[18] [N] [2,5] [i] 

[PV?] 31.577,40 

1ª Prestação: 

FV 0,20 PV (1 0,025) 

6 

= + 


FV PV 

12 

= 0,30 (1+ 0,025) 


FV PV 

18 

= 0,50 (1+ 0,025) 




FV = 0,20 31.577,40 (1+ 0,025) 

6 

i i FV = 7.324,02 

FV = 0,30 31.577,40 (1+ 0,025) 

12 

i i FV = 12.740,43 

FV = 0,50 31.577,40 (1+ 0,025) 

18 

i i FV = 44.690,03 

5) Uma empresa tem a seguinte dívida junto a um banco: R$ 12.000,00, R$ 16.000,00, R$ 

21.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00, vencíveis sucessivamente ao final dos próximos 5 

bimestres. Esta dívida foi contraída pagando uma taxa de juro efetiva de 3,50% ao 

bimestre. A empresa está negociando o refinanciamento desta dívida em 10 prestações 

bimestrais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira em dois meses. Qual será o valor das 

parcelas. (R$ 13.673,02) 

1 

2 

0 

0 

0 

1 

6 

0 

0 

0 

t0 t2 t4 t6 t8 t10 t12 t14 t16 t18 t20 

12.000 16.000 21.000 30.000 50.000 

PV = + + + + 

(1+ 0,0350) (1+ 0,0350) (1+ 0,0350) (1+ 0,0350) (1+ 0,0350) 

1 2 3 4 5 

12.000 16.000 21.000 30.000 50.000 

PV = + + + + 

1 2 3 4 5 

(1,0350) (1,0350) (1,0350) (1,0350) (1,0350) 

PV = 113.713,10 

2 

1 

0 

0 

0 

3 

0 

0 

0 

0 

5 

0 

0 

0 

0 


OU 

HP: 

[0] [G] [CF0] 

[12000] [G] [CFJ] 

[16000] [G] [CFJ] 

[21000] [G] [CFJ] 

[30000] [G] [CFJ] 

[50000] [G] [CFJ] 

[3,5] [i] [F] [NPV] 

[PV]=113.713,09 

Transformando em 10 prestações bimestrais : 

HP: 

[113.713,09] [CHS] [PV] 

[10] [N] 

[3,5] [i] 

[PMT]=? 13.673,02 

OU PELA FÓRMULA: 

( i) 




( ) 10 

−n 

− 

⎡1− 1+ 

⎤ 

⎡1− 1+ 0,035 ⎤ 

PVP= PMT ⋅⎢ ⎥113.713,09 

= PMT ⋅⎢ ⎥ 

⎢⎣ i ⎥⎦ 

⎢⎣ 0,035 ⎥⎦ 

PMT = 13.673,02 

6) Um financiamento de $ 4.000,00 será pago em 3 parcelas mensais consecutivas de $ 

1.200,00, $ 2.300,00 e $ 1000,00, respectivamente. Calcular o custo efetivo do 

financiamento. 

4.000 

1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 

t1 t2 t3 

1 

2 

0 

0 

2 

3 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

1 (1 ) n − 

⎡ − + i ⎤ 

PV = PMTi 

⎢ 

i 

⎥ 

⎣ ⎦ 

A fórmula acima não pode 

ser empregada, pois as 

parcelas não são de mesmo 

valor ! 


J PMT 

PV =∑ 

n−1(1 

+ i) 

n 

1.200 2.300 1.000 

4000= 

+ + i = ? 

1 2 3 

(1 + i) (1 + i) (1 + i) 




O único modo de acharmos o valor de “i”, seria por interpolação (tentativa e erro) ! 

HP: 

[4000] [G] [CFo] 

[1200] [CHS] [G] [CFj] 

[2300] [CHS] [G] [CFj] 

[1000] [CHS] [G] [CFj] 

[F] [IRR] => porque não se pode apertar a tecla “i” para series ou fluxos não padrões ! 

i=6,25673 

OUTRAS CONSIDERAÇÕES ! 

Digamos que o mesmo problema acima, apresenta-se um período T2 de valor nulo ou zero (0). 

4.000 

1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 4ºPer. 

t1 t2 t3 t4 

1 

2 

0 

0 

Teríamos então que também entrar com este dado na calculadora da seguinte forma : 

HP: 

[4000] [G] [CFo] 

[1200] [CHS] [G] [CFj] 

[0] [G] [CFj] 

[2300] [CHS] [G] [CFj] 

[1000] [CHS] [G] [CFj] 

[F] [IRR] 

i=4,52347 

Observe que o valor do “i” mudou ! 

0 

2 

3 

0 

0 


1 

0 

0 

0




7) Uma compra cujo valor à vista é de $ 13.000,00 pode ser paga com uma entrada de 20% 

mais trens parcelas mensais de $ 5.000,00, $ 5.000,00 e 3.000,00, respectivamente. 

Considerando que existe um período de carência de 3 meses para início do pagamento das 

parcelas, calcular o custo efetivo do financiamento. 

PV=10.400 

PRAZO DE CARÊNCIA PRAZO DE PAGAMENTO 

1ºPer. 2ºPe r. 3ºPer. 4ºPer. 5ºPer. 6ºPer. 

E 

2 

6 

0 

0 

t1 t2 t3 t4 t5 t6 

PV=13.000 – Entrada 20% (2.600) PV=10.400 

5.000 5.000 3.000 

10.400= 2.600 + + + 

(1 ) (1 ) (1 ) 

4 5 6 

+ i + i + i 

 

HP: 

[10.400] [G] [CFo] 

[0] [G] [CFj] 

[3] [G] [Nj] 

[5.000] [CHS] [G] [CFj] [2] [G] [Nj] 

[3000] [CHS] [G] [CFj] 

[F] [IRR] 

i=4,72 

8) Um apartamento foi colocado à venda por $ 107.800,00. A prazo pode ser pago com uma 

entrada de $ 8.000,00 mais 5 prestações mensais consecutivas. As duas primeiras de $ 

18.000,00, e as três últimas de $ 23.000,00. Se o comprador tem a opção de aplicar seu 

capital em um fundo de renda fixa a juros efetivos de 1,40% ao mês, qual será a melhor 

alternativa do ponto de vista financeiro? 


5 

0 

0 

0 

5 

0 

0 

0 

3 

0 

0 

0




Efetuar a compra nos critérios escritos, pois a aplicação renderá a uma taxa menor do que a do 

financiamento. 

107.800 

E 

8 

0 

0 

0 

1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 4ºPer. 5ºPer. 

PV = 107.800− 8.000=> PV = 99.800 

HP: 

[99.800] [G] [CFo] 

[18.000] [CHS] [G] [CFj] 

[2] [G] [Nj] 

[23.000] [CHS] [G] [CFj] 

[3] [G] [Nj] 

[F] [IRR] 

i=1,63 

t1 t2 t3 t4 t5 

1 

8 

0 

0 

0 

1 

8 

0 

0 

0 

2 

3 

0 

0 

0 

Portanto, vale a pena comprar a vista, pois a taxa de juros aplicada de 1,63 a mês e que resultou 

nas parcelas acima, é maior que a taxa de investimento (aplicação) de 1,4% ao mês ! 


2 

3 

0 

0 

0 

2 

3 

0 

0 

0




Exercício Propostos 

1. Determinado produto é vendido por R$ 1.000,00 a vista ou em 2 pagamentos mensais, 

iguais e sucessivos de R$ 520,00 cada, vencendo o primeiro de hoje a 30 dias. Determinar 

o custo mensal da compra a prazo. (i = 2,66% a.m.) 

1.000 

J PMT 

PV =∑ 

n−1(1 

+ i) 

n 

520 520 

1000 = + 

(1+ 0,0266) (1+ 0,0266) 

HP: 

[1000] [CHS] [PV] 

[520] [PMT] 

[2] [N] 

[i] ? 

i=2,66 

t1 t2 

5 

2 

0 

5 

2 

0 

1 2 

1000= 1000 

i= 2,66% am . . Por tentativa e erro ! 

2. Uma mercadoria é vendida a prazo em 5 pagamentos mensais de R$700,00. Sendo de 

3,5% a.m. a taxa de juros, determinar o seú preço a vista admitindo que: 

i. O primeiro pagamento é efetuado no ato da compra; (R$3.271,16) 

ii. O primeiro pagamento é efetuado ao final do primeiro mês; (3.160,54) 

iii. O primeiro pagamento é efetuado ao fmal do segundo mês. (3.053,66) 


Resolvendo: 




i. O primeiro pagamento é efetuado no ato da compra; (R$3.271,16) 

1 (1 ) n − 

⎡ − + i ⎤ 

PVA= E + PMT ⎢ 

i 

⎥ 

⎣ ⎦ PV 

PVA 

PVA 

−4 

⎡1 −(1,035) 

⎤ 

= 700+ 700i⎢ 

0,035 

⎥PV 

⎣ ⎦ 

A 

−4 

⎡1 − (1+ 0,035) ⎤ 

= 700+ 700⎢ 

0,035 

⎥ 

⎣ ⎦ 

A 

⎡1−0,87144223⎤ = 700+ 700i⎢ 

0,035 

⎥ 

⎣ ⎦ 

⎡0,12855777⎤ = 700+ 700i⎢ 

0,035 

⎥PV 

A = 700+ 700 i(3,67) PV A = 700+ 2.571,16 

⎣ ⎦ 

PV = 3.271,16 

A 

OU pela Fórmula: 

1−n 

⎡ 1 − (1 + i) 

⎤ 

PVA= PMTi⎢1+ 

i 

⎥PV 

⎣ ⎦ 

PVA 

PVA 

−4 

⎡ 1 −(1,035) 

⎤ 

= 700i⎢1+ 0,035 

⎥PV 

⎣ ⎦ 

A 

A 

1−5 ⎡ 1 − (1+ 0,035) ⎤ 

= 700i⎢1+ 0,035 

⎥ 

⎣ ⎦ 

⎡ 1−0,87144223⎤ = 700i⎢1+ 0,035 

⎥ 

⎣ ⎦ 

⎡ 0,12855777⎤ 

= 700i⎢1+ 0,035 

⎥ 

PV A = 700[ 1+ 3,67307921] 

⎣ ⎦ 

PV = 3.271,16 

A 

PVa= ? 

E 

7 

0 

0 

1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 4ºPer. 

t1 t2 t3 t4 

7 

0 

0 

7 

0 

0 

7 

0 

0 

i 700[ 4,67307921] 

PV = i 

HP: 

[G] [BEG] => Informa que ocorreu uma entrada (Série Antecipada PVa). Obs: G8 sai do G7 

[700] [CHS] [PMT] 

[5] [N] 

[3,5] [i] 

[PV]=? (3.271,16) 


7 

0 

0 

A




ii. O primeiro pagamento é efetuado ao final do primeiro mês; (3.160,54) 

1 (1 ) n − 

⎡ − + i ⎤ 

PVP= PMT ⎢ 

i 

⎥ 

⎣ ⎦ PV 

 

PVp=? 

PVP 

⎡1−0,84197317 ⎤ 

= 700⎢ 

0,035 

⎥ 

⎣ ⎦ 

PV = 700 i(4,52) PV = 3.160,54 

P 

P 

P 

−5 

⎡1 − (1+ 0,035) ⎤ 

= 700⎢ 

0,035 

⎥ 

⎣ ⎦ PV 

PVP 

⎡0,15802683⎤ = 700⎢ 

0,035 

⎥ 

⎣ ⎦ 

HP: 

[G] [END] => Desfaz o G7 ou [G] [BEG] usado no exercício anterior 

[700] [CHS] [PMT] 

[5] [N] 

[3,5] [i] 

[PV]=? (3.160,536) 

PVp=? 


t1 t2 t3 t4 t5 

7 

0 

0 

7 

0 

0 

7 

0 

0 

−5 

⎡1 −(1,035) 

⎤ 

= 700⎢ 

0,035 

⎥ 

⎣ ⎦ 


P 

700[ 4,51505237] 

PV = 

iii. O primeiro pagamento é efetuado ao fmal do segundo mês. (3.053,66) 

1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 4ºPer. 5ºPer. 6ºPer. 

t1 t2 t3 t4 t5 t6 

0 

7 

0 

0 

7 

0 

0 

7 

0 

0 

7 

0 

0 

7 

0 

0 

7 

0 

0 

P 

7 

0 

0

−n 

⎡1 − (1 + i) 

⎤ −CR 

PVP= PMT ⎢ (1 + i) 

i 

⎥iPV 

⎣ ⎦ 

PV 

P 

PV 

P 

−5 

⎡1 −(1,035) 

⎤ 

−1 

i 

= 700 ⎢ (1,035) 

0,035 

⎥ 

⎣ ⎦ 

⎡0,15802683⎤ = 700 ⎢ (1,035) 

0,035 

⎥ 

⎣ ⎦ 




P 

PV 

−5 

⎡1 − (1+ 0,035) ⎤ 

= 700 ⎢ (1+ 0,035) 

0,035 

⎥ 

⎣ ⎦ i 

P 

⎡1−0,84197317 ⎤ 

= 700 ⎢ (1,035) 

0,035 

⎥ 

⎣ ⎦ 


−1 

−1 

i 

−1 

−1 

i PVP 

= 700[ 4,51505237 ] i(1,035) 

PV P = 700 i(4,51505237)(0,96618357) i PV P = 700 i(4,36) PV P = 3.053,66 

OU: 

−n 

⎡1 − (1 + i) 

⎤ 1 

PVD= PMTi⎢ 

−CR 

i 

⎥i 

PV 

⎣ ⎦ (1 + i) 

PV 

OU: 

D 

−5 

⎡1 −(1,035) 

⎤ 1 

= 700i⎢ 

1 

0,035 

⎥i 

PV P = 3.053,66 

⎣ ⎦ (1,035) 

D 

−5 

⎡1 − (1+ 0,035) ⎤ 1 

= 700i⎢ 

0,035 

⎥i 

⎣ ⎦ (1+ 0,035) 

HP: 

[0] [G] [CF0] => Indica que não ocorreu pagamento no 1ºperíodo 

[0] [G] [CFJ] 

[700] [CHS] [G] [CFJ] 

[5] [G] [NJ] 

[3,5] [i] 

[5] [N] 

[F] [NPV] =? (3.053,658) 

3. Uma pessoa irá necessitar de R$7.000,00 daqui a 10 meses. Quanto deverá ela depositar 

mensalmente num fundo de poupança que rende 1,7% a.m. de juros? (R$648, 10) 

n 

⎡(1 + i ) −1⎤ 

PVP= PMT ⎢ 

i 

⎥ 

⎣ ⎦ 

10 

⎡(1+ 0,017) −1⎤ 

7.000 = PMT ⎢ 

0,017 

⎥ 

⎣ ⎦ 

10 

⎡(1,017) 1⎤ 

7.000 PMT 

0,017 

− 

= ⎢ ⎥ 

⎣ ⎦ 

⎡1,18361246−1⎤ 7.000 = PMT ⎢ 

0,017 

⎥ 

⎣ ⎦ 

⎡0,18361246⎤ 7.000 = PMT ⎢ 

0,017 

⎥ 

⎣ ⎦ 

7.000 

PMT = PMT = 

648,10 

10,80 

7.000 [ 10,80] 

PMT 

1 

=

HP: 

[7.000] [FV] 

[10] [N] 

[1,7] [i] 

[PMT]=? (610,48) 




4. Uma pessoa possui hoje R$50.000,00 em dinheiro e uma capacidade de poupança de 

R$3.000,00 mensais no próximo semestre e R.$4.000,00 mensais nos 4 meses seguintes ao 

semestre. Se esse fluxo de poupança for depositado mensalmente num fundo que rende 

2,5% a.m., determinar quanto essa pessoa terá acumulado ao final de: 

i. 10 meses; 

PV=50.000 

3 

0 

0 

0 

n 

n ⎡(1 + i) 

−1⎤ 

FV = PV ( 1+ 

i) + PMT ⎢ 

i 

⎥ 

⎣ ⎦ 

6 

6 ⎡(1,025) −1⎤ 

= 50.000 1,025 + 3.000⎢ 

0,025 

⎥ 

⎣ ⎦ 

FV ( ) 

6 

6 ⎡(1+ 0,025) −1⎤ 

= 50.000 1+ 0,025 + 3.000⎢ 

0,025 

⎥ 

⎣ ⎦ 

FV ( ) 

6 ⎡1,15969342−1⎤ FV = 50.000i( 1,025) + 3.000⎢ 

0,025 

⎥ 

⎣ ⎦ 

6 ⎡0,15969342⎤ FV = 50.000 1,025 + 3.000 ⎢ 

0,025 

⎥ 

⎣ ⎦ 

3 

0 

0 

0 

( ) 6 

A B 

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 

6 

i( ) FV = 50.000 ( 1,025) + 3.000[ 6,38773672] 

i 

FV = 50.000i1,025 + 19.163,21016 

FV = 50.000 i(1,15969342) + 19.163,21016 

FV = 57.984,671+ 19.163,21016 FV = 77.147,88 

3 

0 

0 

0 

3 

0 

0 

0 

1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 4ºPer. 5ºPer. 6ºPer. 7ºPer. 8ºPer. 9ºPer. 10ºPer. 

3 

0 

0 

0 


3 

0 

0 

0 

4 

0 

0 

0 

4 

0 

0 

0 

4 

0 

0 

0 

4 

0 

0 

0

HP: de (A) 

[50.000] [CHS] [PV] 

[3.000] [CHS] [PMT] 

[2,5] [i] 

[6] [N] 

[FV]=? (77.147,38) 

n 

n ⎡(1 + i) 

−1⎤ 

FV = PV ( 1+ 

i) + PMT ⎢ 

i 

⎥ 

⎣ ⎦ 

FV 

( ) 




4 

4 ⎡(1+ 0,025) −1⎤ 

= 77.147,88 1+ 0,025 + 4.000⎢ 

0,025 

⎥ 

⎣ ⎦ 

FV 

( ) 

4 

4 ⎡(1,025) −1⎤ 

= 77.147,88 1,025 + 4.000⎢ 

0,025 

⎥ 

⎣ ⎦ 

⎡1,10381289−1⎤ FV = 77.147,88i( 1,10381289) + 4.000 ⎢ 

0,025 

⎥ 

⎣ ⎦ 

⎡0,10381289⎤ FV = 77.147,88i( 1,10381289) + 4.000 ⎢ 

0,025 

⎥ 

⎣ ⎦ 

( ) [ ] 

FV = 77.147,88i 1,10381289 + 4.000i 4,15251564 FV = 85.156,82+ 16.610,06 

FV = 101.766,89 

HP: de (B) 

[77.147,88] [CHS] [PV] 

[4.000] [CHS] [PMT] 

[2,5] [i] 

[4] [N] 

[FV]=? (101.766,88) 

PV=77.147,88 

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 

1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 4ºPer. 5ºPer. 6ºPer. 7ºPer. 8ºPer. 9ºPer. 10ºPer. 


4 

0 

0 

0 

B 

4 

0 

0 

0 

4 

0 

0 

0 

4 

0 

0 

0

ii. 15 meses; 

( 1 ) 

n 

= ⋅ + ( ) 5 

101.766,88 1 0,025 

FV PV i 




FV = + ( ) 5 

FV = 101.766,88 1,025 

FV = 101.766,881,13141 i FV = 115.139,88 

HP: de (B) 

t10 t11 t12 t13 t14 t15 

PV=101.766,88 

[101.766,88] [CHS] [PV] 

[5] [N] 

[2,5] [i] 

[FV]=? (115.139,88) 

5. Um veículo, cujo preço a vista é de R$30.000,00, está sendo vendido nas seguintes 

condiçôes: 

í. 30% de entrada; 

ii. Saldo em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira daqui a 

dois meses. 

Determinar o valor de cada prestação, admitindo uma taxa de juros de 2% a.m. (R$ 3.824,02) 

−n 

⎡1 − (1 + i) 

⎤ 

PVP= PMT ⋅ ⎢ + i 

i 

⎥ 

⎣ ⎦ 

−6 

⎡1 −(1,02) 

⎤ 

21.000 PMT 

( 1,02) 

FV=? 


−6 

⎡1 − (1+ 0,02) ⎤ 

( ) 1 − 

i 1 21.000= PMT ⋅ ( 1+ 0,02) 


−1 

⎢ 

0,02 

⎥i 

⎣ ⎦ 

−1 

⎡1−0,88797138⎤ = ⋅⎢ 

0,02 

⎥i21.000 

= PMT ⋅⎢ 0,98039216 

⎣ ⎦ 0,02 

⎥i 

⎣ ⎦ 

⎡0,11202862⎤ 21.000= 

PMT ⋅⎢ 0,98039216 

0,02 

⎥i 

21.000 [ 5,601431] 0,98039216 

⎣ ⎦ PMT = i i

21.000 = PMT ⋅5,49 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL 



21.000 

5,49 

PMT = PMT = 3.824,02 

6. Calcular o valor presente dos fluxos abaixo: 

i. 48 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$4.000,00. Taxa de juros 1,2% 

a.m.; (R$ 145.309,00) 

1 (1 ) n − 

⎡ − + i ⎤ 

PVP= PMT⋅⎢ 

i 

⎥ 

⎣ ⎦ 

PV 

P 

PVP 

⎡1−0,56407311⎤ = 4.000i⎢ 

0,012 

⎥PV 

⎣ ⎦ 

PV P = 145.309,00 

−48 

⎡1 − (1+ 0,012) ⎤ 

= 4.000i⎢ 

0,012 

⎥ 

⎣ ⎦ 

P 

−48 

⎡1 −(1,012) 

⎤ 

= 4.000i⎢ 

0,012 

⎥ 

⎣ ⎦ 


PVP 

⎡0,43592689 ⎤ 

= 4.000i⎢ 

0,012 

⎥ 

PV P = 4.000i 36,32725 

⎣ ⎦ 

ii. 5 prestações mensais e sucessivas crescentes na razão de R$2.000,00. O valor da 

primeira prestação é de R$10.000,00. Taxa de juros de 2,6% a.m. (R$64.379,30) 

t0 t1 t2 t3 t4 t5 

PV= 

? 


1 

0 

0 

0 

0 

PMT1 PMT2 PMT3 PMT4 PMT5 

PV = + + + + 

1 2 3 4 5 

(1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) 

10.000 12.000 14.000 16.000 18.000 

(1+ 0,026) (1+ 0,026) (1+ 0,026) (1+ 0,026) (1+ 0,026) 

PV = + + + + 

1 2 3 4 5 

10.000 12.000 14.000 16.000 18.000 

PV = + + + + 

(1,026) (1,026) (1,026) (1,026) (1,026) 

1 2 3 4 5 

10.000 12.000 14.000 16.000 18.000 

PV = + + + + 

1,026 1,052676 1,08004558 1,10812676 1,13693806 

PV = 9.746,59+ 11.399,52+ 12.962,42+ 14.438,78+ 15.832,00 

PV = 64.379,30 

1 

2 

0 

0 

0 

1 

4 

0 

0 

0 

1 

6 

0 

0 

0 

1 

8 

0 

0 

0

HP: 

[0] [G] [CF0] 

[10.000] [CHS] [G] [CFJ] 

[12.000] [CHS] [G] [CFJ] 

[14.000] [CHS] [G] [CFJ] 

[16.000] [CHS] [G] [CFJ] 

[18.000] [CHS] [G] [CFJ] 

[2,6] [i] 

[5] [N] 

[F] [NPV]=? (64.379,302) 




7. Um fluxo de caixa está definido em 12 prestações mensais de R$ 1.200,00. Calcular o 

fluxo de caixa equivalente para 5 prestações trimestrais iguais. Considere uma taxa de juros 

de 1,5% a.m. (R$2.987,40) 

Transformando em Fluxo de 5 Prestações Trimestrais: 

1 (1 ) n − 

⎡ − + i ⎤ 

PVP= PMT⋅⎢ 

i 

⎥ 

⎣ ⎦ PV 

PVP 

PV=13.089,01 

PV=13.089,01 

1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 4ºPer. // 11ºPer. 12ºPer. 

t1 t2 t3 t4 t11 t12 

1 

2 

0 

0 

−12 

⎡1 −(1,015) 

⎤ 

= 1200i⎢ 

0,015 

⎥PV 

⎣ ⎦ 

PV P = 120010,91 i PV P = 13.089,01 

1 

2 

0 

0 


P 

−12 

⎡1 − (1+ 0,015) ⎤ 

= 1200i⎢ 

0,015 

⎥ 

⎣ ⎦ 

P 

1 

2 

0 

0 

t3 t6 t9 t12 t15 

2987,40 2987,40 2987,40 2987,40 2987,40 

⎡1−0,83638742 ⎤ 

= 1200i⎢ 

0,015 

⎥PV 

⎣ ⎦ 

⎡0,16361258⎤ = 1200i⎢ 

0,015 

⎥ 

⎣ ⎦ 


1 

2 

0 

0 

1 

2 

0 

0 

P 

1 

2 

0 

0

HP: 

[1200] [CHS] [PMT] 

[12] [N] 

[1,5] [i] 

[PV]=? (13.089,01) 

Equilibrando o tempo e a taxa temos: 

(1 ) (1 ) n 

+ i> = + i< 

1 

i (1 0,015) 

i >= 0,045678 ou 4,60% a.t. 




3 

+ >= + 

3 

i >= (1,015) −1i >= 1,04567838−1 1 (1 ) n − 

−5 

⎡ − + i ⎤ 

⎡1 − (1+ 0,046) ⎤ 

PVP= PMTi⎢ 

i 

⎥13.089,01 

= PMTi 

⎢ 

⎣ ⎦ 

0,046 

⎥ 

⎣ ⎦ 

−5 

⎡1 −(1,046) 

⎤ 

⎡1−0,79862257 ⎤ 

13.089,01= 

PMTi⎢ 

0,046 

⎥13.089,01 

= PMTi⎢ 

⎣ ⎦ 

0,046 

⎥ 

⎣ ⎦ 

⎡0,20137743 ⎤ 

13.089,01 

= PMTi ⎢ 

0,046 

⎥ 

13.089,01= PMTi 

[ 4,37777022] 

⎣ ⎦ 

13.089,01= PMT i4,37777022 PMT = 2.989,88 

HP: 

[13.089,01] [CHS] [PV] 

[5] [N] 

[4,6] [i] 

[PMT]=? (2.987,40) 

PMT = 

13.089,01 

4,37777022 





8. Urna pessoa deve a outra 15 pagamentos mensais de R$2.400,00. até o final do 6º mês não 

havia efetuado nenhum pagamento. Nesta data o devedor procura o credor e decide liquidar 

toda a sua dívida, vencida e vincenda. Para uma taxa de juro de 3,7% a.m., determinar 

quanto foi pago. (R$33.890,84) 

1 (1 ) n − 

⎡ − + i ⎤ 

PV = PMT ⋅⎢ 

i 

⎥ 

⎣ ⎦ 

6 

6 

⎡1 − (1+ 0,037) ⎤ 

⎡1 −(1,037) 

⎤ 

PV = 2.400i⎢ 

0,037 

⎥PV 

= 2.400i⎢ 

⎣ ⎦ 

0,037 

⎥ 

⎣ ⎦ 

⎡1−1,24357659⎤ ⎡0,24357659 ⎤ 

PV = 2.400i⎢ 

0,037 

⎥PV 

= 2.400i⎢ 

⎣ ⎦ 

0,037 

⎥PV 

= 2.400i 6,58 

⎣ ⎦ 

PV = 15.799,56 

1 (1 ) n − 

⎡ − + i ⎤ 

PV = PMT ⋅⎢ 

i 

⎥ 

⎣ ⎦ 

−9 

−9 

⎡1 − (1+ 0,037) ⎤ 

⎡1 − (1,037) ⎤ 

PV = 2.400i⎢ 

0,037 

⎥PV 

= 2.400i⎢ 

⎣ ⎦ 

0,037 

⎥ 

⎣ ⎦ 

⎡1−0,72109286⎤ ⎡0,27890714 ⎤ 

PV = 2.400i⎢ 

0,037 

⎥PV 

= 2.400i⎢ 

⎣ ⎦ 

0,037 

⎥PV 

= 2.400i 7,54 

⎣ ⎦ 

PV = 18.091,27 + 15.799,56 

PV = 33.890,84 

OU pela fórmula: 

n 

1 (1 i) 

FVAPMT 1 

(1 i) 1 

− 

5 

5 

⎡ − + ⎤ 

⎡1 − (1+ 0,037) ⎤ 

⎡1 −(1,037) 

⎤ 

= i⎢ + − 

⎥FVA 

= 2.400 i⎢ −1 

⎣ ⎦ 

(1+ 0,037) −1 

⎥FVA 

= 2.400 i⎢ −1 

⎣ ⎦ 

(1,037) −1 

⎥ 

⎣ ⎦ 

FV 

PV=13.089,01 

A 

⎡1−1,19920597 ⎤ 

= 2.400i⎢ 0,96432015−1 ⎥FV 

⎣ ⎦ 

[ ] 

FV = 2.400i5,58315043 FV = 13.399,561 

A 

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t13 t14 t15 

2 

4 

0 

0 

CAPITAL. ATÉ T6 DESCAPITAL. ATÉ T6 

2 

4 

0 

0 

2 

4 

0 

0 

2 

4 

0 

0 

2 

4 

0 

0 

A 

2 

4 

0 

0 

A 

2 

4 

0 

0 

⎡0,19920597⎤ = 2.400i⎢ 0,03567985 

⎥ 

⎣ ⎦ 


2 

4 

0 

0 

2 

4 

0 

0 

2 

4 

0 

0 

2 

4 

0 

0

HP: 

[G] [7] 

[2400] [CHS] [PMT] 

[5] [N] 

[3,7] [i] 

[FVA]=? (13.399,56) 

1 (1 ) n − 

⎡ − + i ⎤ 

PVP= PMTi⎢ 

i 

⎥PV 

⎣ ⎦ 

PV 

P 

⎡1−0,72109286⎤ = 2.400i⎢ 

0,037 

⎥PV 

⎣ ⎦ 

[ ] 

PV = 2.400i7,53803094 PV = 18.091,274 

P 

HP: 

[2400] [CHS] [PMT] 

[9] [N] 

[3,7] [i] 

[PV]=? (18.091,27) 




P 

P 

−9 

⎡1 − (1+ 0,037) ⎤ 

= 2.400i⎢ 

0,037 

⎥PV 

⎣ ⎦ 

P 

⎡0,27890714 ⎤ 

= 2.400i⎢ 

0,037 

⎥ 

⎣ ⎦ 

A DÍVIDA SERÁ : 13.399,56+ 18.091,27+ 2.400 => 33.890,84 

−9 

⎡1 −(1,037) 

⎤ 

= 2.400i⎢ 

0,037 

⎥ 

⎣ ⎦ 

9. Um empréstimo no valor de R$24.300,00 prevê a sua liquidação em 4 parcelas iguais e 

vencíveis, respectivamente, de hoje a 17 dias, 39 dias, 66 dias e 90 dias. Para uma taxa 

efetiva de juro de 3,10% a.m., pede-se calcular o valor de cada parcela de pagamento. 

(R$6.409,14) *** NÃO TEM COMO SER FEITO NA HP ***** 

PV=24.300 

J 

PV = Σ 

PMT 

N = 17 1 

17 39 66 90 

PMT 

( + i) 

n 

PMT 

PMT 


P 

PMT

PV = 

PMT 

+ 

PMT 

+ 

PMT 

+ 

PMT 

1+ i 1+ i 1+ i 1+ 

i 

( ) ( ) ( ) ( ) 




17 39 66 90 

30 30 30 30 

PV = 

PMT 

+ 

PMT 

+ 

PMT 

+ 

PMT 

1+ 0,0310 1+ 0,0310 1+ 0,0310 1+ 0,0310 

17 39 66 90 

30 30 30 30 

( ) ( ) ( ) ( ) 

PV = 

PMT 

+ 

PMT 

+ 

PMT 

+ 

PMT 

1,0310 1,0310 1,0310 1,0310 

17 39 66 90 

30 30 30 30 

( ) ( ) ( ) ( ) 

⎡ ⎤ 

1 1 1 1 

24.300 

= PMT i ⎢ + + + ⎥ 

17 39 66 90 

⎢ ⎥ 

( 1,0310) 30 ( 1,0310) 30 ( 1,0310) 30 ( 1,0310) 

30 

⎢⎣ ⎥⎦ 

⎡ 1 1 1 1 ⎤ 

24.300 

= PMTi ⎢ + + + 

0,56666 1,3 2,2 3⎥ 

⎢⎣( 1,0310) ( 1,0310) ( 1,0310) ( 1,0310) 

⎥⎦ 

⎡ 1 1 1 1 ⎤ 

24.300 = PMTi ⎢ + + + 

1,01745019 1,04048606 1,06947113 1,09591279 

⎥ 

⎣ ⎦ 

24.300= PMT [ 0,983+ 0,96+ 0,93+ 0,91] 

PMT = 6.428,14 

i 24.300 = PMT i3,78 PMT = 

24.300 

3,78 

10. Uma pessoa deseja acumular R$14.000,00 ao fimal de um semestre. Para tanto, deposita 

mensalmente num fundo a importância de R$1.500,00, sendo corrigida à taxa de 4,5% a.m. 

Qual deve ser o valor do depósito inicial (momento zero) de forma que possa obter o 

montante desejado ao final do período? (R$3.013,73) 

PV= ? 

E=? 

? 

1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 4ºPer. 5ºPer. 6ºPer. 

t1 t2 t3 t4 t5 t6 

1 

5 

0 

0 

1 

5 

0 

0 

1 

5 

0 

0 


1 

5 

0 

0 

1 

5 

0 

0 

1 

5 

0 

0 

FV SERÁ: 

14.000+FVE+FV_PMT

n 

⎡(1 + i) 

−1⎤ 

FVPMT = PMTi⎢ 

i 

⎥FV 

⎣ ⎦ 

FV 

P 

⎡1,3022613−1⎤ = 1500i⎢ 

0,045 

⎥FV 

⎣ ⎦ 

FV PMT = 10.075,33750 

COMO: 




P 

6 

⎡(1+ 0,045) −1⎤ 

= 1500i⎢ 

0,045 

⎥FV 

⎣ ⎦ 

P 

6 

⎡(1,045) −1⎤ 

= 1500i⎢ 

0,045 

⎥ 

⎣ ⎦ 

⎡0,3022613 ⎤ 

= 1500i⎢ 

0,045 

⎥ 

FV P = 1500i[ 6,71689167] 

 

⎣ ⎦ 

FV = FVE + FVPMT 

FVE = FV −FVPMT FV E = 14.000−10.075,33750 FV = 3.924,6625 (Valor Futuro da entrada sem descap. !) 

E 

DESCAPITAL.: 

( 1 ) 

n 

E = Ei+ 

( ) 6 

3.924,6625 = PVE 

i 1+ 0,045 ( ) 6 

3.924,6625 PVE 

1,045 

FV PV i 

3.924,6625 3.924,6625 

PV E = PV E = PV E = 3.012,942256 

1,045 

1,302226013 

( ) 6 

HP: 

[1500] [PMT] 

[6] [N] 

[4,5] [i] 

[FV]=? (10.075,3374) 

14.000 - 10.075,3374 = 3.924,6625 

[3.924,6625] [FV] 

[6] [N] 

[4,5] [i] 

[PV]=? (3.013,7316) Valor da entrada descap. ! 

OU 

HP: 

[14.000] [CHS] [FV] 

[1500] [PMT] 

[6] [N] 

[4,5] [i] 

[PV]=? (3.013,73) 


P 

= i




11. Um veículo é vendido por R$18.000,00 a vista ou a prazo com R$4.000,00 de entrada e 4 

prestações mensais de R$3.845,05 cada. Determinar o custo efetivo mensal do 

fmanciamento. (3,87% ao mês) 

3.845,05 3.845,05 3.845,05 3.845,05 

18.000= 4.000 + + + + 

1 2 3 4 

(1,0387) (1,0387) (1,0387) (1,0387) 

18.000= 18.000 

i= 3,87% am . . 

HP: 

[14.000] [G] [CFo] 

[3.845,05] [CHS] [G] [CFj] 

[4] [G] [Nj] 

[F] [IRR] 

i=? (3,869) 

12. Uma loja apresenta duas propostas de venda de um produto eletrônico: 

Sendo de 3,5% a.m. a taxa corrente de juros, indicar a alternativa mais atraente para o 

comprador. 

i. Entrada de R$400,00 mais 8 prestações mensais de R$720,00 cada; (PVa = R$5.349,25) 

ii. Entrada de R$650,00 mais 15 prestações mensais de R$600,00 cada. (PVb = R$7.560,45) 

i.) 

1 (1 ) n − 

⎡ − + i ⎤ 

PVA= E + PMT ⋅⎢ 

i 

⎥ 

⎣ ⎦ PV 

PV 

PV 

A 

A 

−8 

⎡1 −(1,035) 

⎤ 

= 400+ 720i⎢ 

0,035 

⎥PV 

⎣ ⎦ 

A 

−8 

⎡1 − (1+ 0,035) ⎤ 

= 400+ 720i⎢ 

0,035 

⎥ 

⎣ ⎦ 

A 

⎡1−0,75941156 ⎤ 

= 400+ 720i⎢ 

0,035 

⎥ 

⎣ ⎦ 

⎡0,24058844⎤ = 400+ 720i⎢ 

0,035 

⎥ 

PV A = 400+ 720i( 6,87) 

PV A = 400+ 4.949,25 

⎣ ⎦ 

PV = 

5.349,25 

A 


ii) 

1 (1 ) n − 

⎡ − + i ⎤ 


i 

⎥ 

⎣ ⎦ PV 

PV 

PV 

A 

A 

PV A = 

−15 

⎡1 −(1,035) 

⎤ 

= 650+ 600i⎢ 

0,035 

⎥PV 

⎣ ⎦ 




A 

−15 

⎡1 − (1+ 0,035) ⎤ 

= 650+ 600i⎢ 

0,035 

⎥ 

⎣ ⎦ 

A 

⎡1−0,59689062 ⎤ 

= 650+ 600i⎢ 

0,035 

⎥ 

⎣ ⎦ 

⎡0,40310938 ⎤ 

= 650+ 600i⎢ 

0,035 

⎥ 

PV A = 650+ 600i( 11,52) 

PV A = 650+ 6.910,45 

⎣ ⎦ 

7.560,45 

13. Calcular o valor presente de um fluxo de 15 pagamentos mensais de R$2. 100,00 cada, 

sendo que o primeiro desembolso ocorre de hoje a 15 dias. Admita uma taxa de juro de 

2,2% a.m. (R$26.874,90) 

PV= ? 

15 DIAS 

1 

5 

PMT1 PMT 2 a 15 

t1 t2 t3 t4 t5 

−n 

⎡1 − (1 + i) 

⎤ 1 

PV = PMT1+ PMT2a15 

⎢ 15 

i 

⎥i 

⎣ ⎦ 30 (1 + i) 

4 

5 

−14 

⎡1 − (1+ 0,022) ⎤ 1 

PV = 2100+ 2100i⎢ 

0,5 

0,022 

⎥i 

 

⎣ ⎦ (1+ 0,022) 

−14 

⎡1 − (1,022) ⎤ 1 

PV = 2100+ 2100i⎢ 

0,5 

0,022 

⎥i 

 

⎣ ⎦ (1,022) 

⎡1−0,73737339⎤ 1 

PV = 2100+ 2100i⎢ 

0,022 

⎥i 

 

⎣ ⎦ 1,01094016 

7 

5 

N=15 


1 

0 

5 

N=14 

1 

3 

5 

t15 

4 

2 

0 

DIAS

⎡0,26262661⎤ 1 

PV = 2100+ 2100i⎢ 

0,022 

⎥i 

⎣ ⎦ 1,01094016 




PV = 2100+ 2100i( 11,9377) i( 0,98918) 

PV = 26.874,90 

HP: 

[1.022] [ENTER] 

[14] [CHS] [ x 

Y ] [CHS] [1] [+] [0,022] [÷] 

[2.100] [i ] [2.100] [+] [1] [ENTER] 

[1.022] [ENTER] [0,5] [ x 

Y ] [÷][ i ] = 26.874,88857 

OUTRO MODO DE FAZER : 

(IMAGINANDO COMO QUIZENAL COM ENTRADAS ZERADAS CONFORME 

ABAIXO:( ) 

PV= ? 

15 DIAS 

1 

5 

PMT1 PMT 2 a 15 

t1 t2 t3 t4 t5 

4 

5 

7 

5 

N=15 

HP: 

[0] [G] [CF0] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] 

[2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] 

[CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] 

[CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] 

[G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] 

[G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] 

[2100] [G] [CFJ] [PV] [?] 


1 

0 

5 

N=14 

1 

3 

5 

t15 

4 

2 

0 

DIAS




14. Determinado produto é vendido numa loja por R$l.120,00 a vista ou em 5 prestações 

mensais de R$245,00 cada. Calcular o custo efetivo mensal admitindo que: 

i. A primeira prestação vence ao final do 10 mês; (3,06% a.m.) 

(1 ) n 

PMT 

PV = 

+ i 

245 

1.120 = 5 

(1 + i) 

1.120 1.120 = i 3,06% am . . 

= 

ii. A primeira prestação é paga como entrada; (4,69% a.m.) 

PV = 1.120 −EPV = 1.120−245 PV = 875,00 

(1 ) n 

PMT 

PV = 

+ i 

245 

875 = 4 

(1 + i) 

875 875 = i 4,69% am . . 

= 

iii. A primeira prestação vence ao final do segundo mês. (2,28% a.m.) 

(1 ) n 

PMT 

PV = 

+ i 

245 

1.120= 0 + 1.120= 1.120 

i= 2,28% am . . 

7 

(1 + i) 

15. Um depósito de R$8.000,00 é efetuado num fundo de poupança que rende juros de 2,1% 

a.m. Após 5 meses o depositante decide retirar sua poupança em 12 parcelas mensais, 

iguais e sucessivas, vencendo a primeira 30 dias após. Admitindo a manutenção da mesma 

taxa de juros para todo o período, determinar o valor das parcelas que serão sacadas. 

(R$844,44) 

(1 ) n 

FV = PV + i 

5 

FV = 8.000(1+ 0,021) 8.000 1,11 

FV = i FV = 8.876,03 

1 (1 ) n − 

−12 

⎡ − + i ⎤ 

⎡1 − (1+ 0,021) ⎤ 

PV = PMTi⎢ 

i 

⎥8.876,03 

= PMTi⎢ 

⎣ ⎦ 

0,021 

⎥ 

⎣ ⎦ 

−12 

⎡1 −(1,021) 

⎤ 

⎡1−0,77927563⎤ 8.876,03 = PMTi⎢ 

0,021 

⎥8.876,03 

= PMTi⎢ 

⎣ ⎦ 

0,021 

⎥ 

⎣ ⎦ 

⎡0,22072437 ⎤ 

8.876,03 

= PMTi ⎢ 

0,021 

⎥8.876,03= 

PMT i 10,51 

⎣ ⎦ 

8.876,03 

PMT = PMT = 

844,48 

10,51 





16. Um financiamento no valor de R$6.800,00 é concedido para pagamento em 10 prestações 

mensais e iguais com 2 meses de carência. Sendo de 3,6% a.m. a taxa de juros, calcular o 

valor de cada pagamento mensal. (R$882,00) 

−n 

⎡1 − (1 + i) 

⎤ 

PVP= PMT ⎢ + i 

i 

⎥ 

⎣ ⎦ 

−10 

⎡1 − (1+ 0,036) ⎤ 

−CR 

i i( 1 ) 6.800= PMTi 

i ( 1+ 0,036) 

−10 

⎡1 −(1,036) 

⎤ 

6.800 PMT 

( 1,036) 

⎢ 

0,036 

⎥ 

⎣ ⎦ 

−2 

⎡1−0,70210561⎤ = i⎢ 0,036 

⎥i 

6.800 

= PMTi⎢ 

0,93170943 

⎣ ⎦ 

0,036 

⎥i 

 

⎣ ⎦ 

⎡0,29789439⎤ ⎡0,29789439 ⎤ 

6.800 

= PMTi⎢ 0,93170943 

0,036 

⎥i 

6.800 

= PMTi⎢ 0,93170943 

⎣ ⎦ 

0,036 

⎥i 

 

⎣ ⎦ 

PMT [ ] 

6.800= i 8,27484417 i0,93170943 6.800= PMTi( 

7,71) 

PMT = 

PMT = 882,00 


−2 

6.800 

7,71 

17. A capacidade de pagamento mensal de um consumidor é de R$350,00. desejando adquirir a 

prazo um aparelho eletrônico no valor de R$2.700,00, pede-se determinar o número de 

prestações que o financiamento deve apresentar nas seguintes hipóteses. 

Admita uma taxa de juros de 2,3% a.m. 

i. A primeira parcela é paga de hoje a 30 dias; 

PV=2.700 

PMT 

T1 T2 T3 T4 TN 

PMT 

1 (1 ) n − 

−n 

−n 

⎡ − + i ⎤ 

⎡1 − (1+ 0,023) ⎤ 2700 ⎡1 −(1,023) 

⎤ 

FVP= PMTi⎢ 

i 

⎥2700= 

350i⎢ 

⎣ ⎦ 

0,023 

⎥= 

⎣ ⎦ 350 

⎢ 

0,023 

⎥ 

⎣ ⎦ 

−n 

⎡1 −(1,023) 

⎤ 

n 

7,71= 

⎢ 

0,023 

⎥7,710,023 

1 (1,023) 

⎣ ⎦ − 

i = − 0,18 1 (1,023) n − 

= − 

− n 

− n 

− n 

(1,023) = 1−0,18 (1,023) = 0,82 LN(1,023) = LN0,82 

− nLN i 1,023= LN 0,82 

−0,195 

− ni0,023=−0,195 

n 

= 

−0,023 

PMT 

350 

n = 8,58 

PMT 

PMT

PV=2.350 

E=350 




ii. A primeira prestação é paga no ato como entrada. 

PMT 

1 (1 ) n − 

⎡ − + i ⎤ 


i 

⎥ 

⎣ ⎦ 

−n 

⎡1 − (1+ 0,023) ⎤ 

2.350= 350i⎢ 

0,023 

⎥ 

⎣ ⎦ 

−n 

−n 

⎡1 −(1,023) 

⎤ 2.350 ⎡1 −(1,023) 

⎤ 

2.350= 350i⎢ 

0,023 

⎥= 

⎣ ⎦ 350 

⎢ 

0,023 

⎥ 

⎣ ⎦ 

−n 

⎡1 − (1,023) ⎤ 

n 

6,71428571= 

⎢ 

0,023 

⎥6,714285710,023 

1 (1,023) 

⎣ ⎦ − 

i = − 0,15442890 1 (1,023) n − 

= − 

− n 

− n 

LN0,845571 

(1,023) = 1−0,15442890(1,023) = 0,8455711 n 

= 

LN1,023 

0,16774302 

n = 

0,02273949 

n = 7,376728 

T1 T2 T3 T4 TN 

PMT 

PMT 

350 


PMT 

PMT




18. Um fundo de poupança inicia-se, em determinado mês, com um saldo de R$7.750,00. Ao 

final de cada um dos meses seguintes é depositado R$9.000,00 no fundo. A cada trimestre 

ainda é sacado R$13.000,00. Para uma taxa de juros de 2,5% a.m., determinar o montante 

acumulado pelo fundo de poupança ao final de 3 e de 8 anos. 

HP: 

[0] [G] [CF0] 

[9000] [G] [CFJ] 

[9000] [G] [CFJ] 

[4000] [CHS] [G] [CFJ] 

[9000] [G] [CFJ] 

[9000] [G] [CFJ] 

[4000] [CHS] [G] [CFJ] 

[9000] [G] [CFJ] 

[9000] [G] [CFJ] 

[4000] [CHS] [G] [CFJ] 

[9000] [G] [CFJ] 

[9000] [G] [CFJ] 

[4000] [CHS] [G] [CFJ] 

[PV] ? = 48.962,53 (Encontrado o PV no 1º Ano) 

[F] [8] 

[48.962,53] [CHS] [FV] 

[2,5] [i] 

[24] [N] 

[PV]? = 27.070,18 (Encontrado o PV no 2º Ano) 





[F] [8] 

[48.962,53] [CHS] [FV] 

[2,5] [i] 

[12] [N] 

[PV]? = 36.406,38 (Encontrado o PV no 3º Ano) 

COMO: 

[PV] = 48.962,53 (Encontrado o PV no 1º Ano) 



[7.750,00] = (Valor da entrada) 

[TOTAL PV] = (120.189,09 – NO MOMENTO “0” ZERO) 

ENTÃO: 

[120.189,09] [CHS] [PV] 

[2,5] [i] 

[36] [N] 

[FV]? = 292.364,206

Matemática financeira - PORTAL DO ADMINISTRADOR

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