NOTAS SOBRE TOPOLOGIA EM R - deetc

NOTAS SOBRE
TOPOLOGIA
EM R
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Algumas noções topológicas em ℜ
Noção de Distância em ℜ
A distância que usualmente interessa considerar em ℜ é a função:
( x , y )
2
( x , y ) = x y
d : ℜ → ℜ , d
−
d designa-se por distância de x a y.
Espaço de Vizinhanças
O conjunto E constitui um espaço de vizinhanças quando, para cada ponto
p ∈ E , se fixa uma família de conjuntos { V p } que verifica as seguintes condições:
i) p ∈ V p
ii) p E ⊂ V .
de p.
Cada p
V é uma vizinhança de p e a família V } é a família das vizinhanças
Vizinhança de um ponto em ℜ
+
{ p
Seja a ∈ ℜ e ε ∈ ℜ . Vizinhança de centro em a e raio ε ou vizinhança ε de a é o
conjunto dos números reais cuja distância a a é inferior a ε, ou seja:
ε
( a ) x ∈ ℜ : d ( x , a )
{ < ε}
= { x ∈ ℜ : x − < ε}
V = a .
Em ℜ, uma vizinhança é um intervalo aberto:
Exemplo: V ( 2)
= x ∈ ℜ : d ( x 2 , )
0 5 .
V
ε
( a ) = ] a − ε , a + ε[
{ < 0 5 . } = { x ∈ ℜ : x − 2 < 0 5 . } = ] 1 5 . 2 , 5 . [
Reciprocamente, todo o intervalo real aberto é uma vizinhança.
Exemplo:
5 + 9
] 5, 9[
é intervalo aberto pelo que é vizinhança com a = = 7 e
2
9 − 5
ε = = 2 .
2
9 7 V = , .
Assim ] [ ( )
5 2
2

Exemplos
1 Seja E ≡ Q ; para cada racional r, fixa-se a família de conjuntos { V r } , tal que:
V ε ( r ) = { s ∈Q
: r − 1 < s < r + n , n = 1 2 , ,... } . { V r } constitui um espaço de
vizinhanças, pois verifica i) e ii) .
2 Se
V
para cada a ∈ ℜ se fixar a
a = { a ∈ ℜ : ] a − ε , a + ε[
, ∀ε
∈ ℜ,
ε > 0}
,
família
obtém-se
de
o
conjuntos:
espaço de
vizinhanças habituais de ℜ (são intervalos abertos).
3 Se para cada a ∈ ℜ
⎪⎧
⎨
⎪⎩
n
a) { V ( a ) } : x ∈ ℜ : ( x − a )
ε
n
= ∑
i = 1
se fixarem as famílias de conjuntos:
n
i
2
i
⎪⎫
< ε , ∀ε
> 0⎬
⎪⎭
n
b) { V ' ( a ) } : = { x ∈ R : max x − a < ε,
∀ε
> 0}
c) { V ' ' ( a )
ε i i
ε
} :
⎧
⎨x
∈ R
⎩
n
n
= : ∑
i = 1
obtemos espaços de vizinhanças.
⎫
x i − ai
< ε , ∀ε
> 0⎬
⎭
Passa-se à apresentação de algumas definições, no conjunto dos reais, que se
devem ter sempre presentes.
No que se segue, considere-se um conjunto A de números reais.
Def. 1 Ponto interior de X ⊂ ℜ
Um ponto x de ℜ é ponto interior do conjunto A ⊂ ℜ sse existe uma
vizinhança de x totalmente contida em A , i.e. , sse ∃ V : V ∩ A = V
x x x .
Def. 2 Interior de um conjunto A ⊂ ℜ
O interior de um conjunto A é o conjunto dos seus pontos interiores e
representa-se por Int (A).
3

Def. 3 Ponto exterior a um conjunto A ⊂ ℜ
Um ponto x de ℜ diz-se ponto exterior do conjunto A ⊂ ℜ sse existe uma
V V ∩ = .
vizinhança de x , disjunta de A , i.e. , sse ∃ A { }
Def. 4 Exterior de um conjunto
x : x
O exterior de um conjunto A é o conjunto dos seus pontos exteriores, e
representa-se por Ext (A).
Def. 5 Ponto fronteiro de um conjunto
Um ponto x de ℜ diz-se ponto fronteiro do conjunto A ⊂ ℜ sse qualquer
vizinhança de x contém pontos de A e pontos do complementar de A.
Def. 6 Fronteira de um conjunto
A fronteira de um conjunto A é o conjunto dos seus pontos fronteiros, e
representa-se por Fr (A) ou δ(A).
Def. 7 Ponto aderente de um conjunto
Um ponto x de ℜ diz-se ponto aderente do conjunto A ⊂ ℜ se é ponto
interior de A ou ponto fronteiro de A, ou seja ∀ V ( ) : V ( x ) ∩ A ≠ { } .
Def. 8 Fecho ou Aderência de um conjunto
ε x ε
O fecho ou aderência do conjunto A ⊂ ℜ é o conjunto A = int ( A)
∪ δ ( A)
.
Def. 9 Conjunto fechado
Um conjunto A ⊂ ℜ diz-se fechado se for igual à sua aderência , i.e. se
A = A .
Def. 10 Conjunto aberto
Um conjunto diz-se aberto se for igual ao seu interior i.e. se A = int A .
Def. 11 Conjunto limitado
Um conjunto diz-se limitado se existir uma vizinhança que o contenha.
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Def. 12 Majorante de um conjunto
∀ .
a é majorante de um conjunto A sse x ∈ A , a ≥ x
Def. 13 Minorante de um conjunto
∀ .
a é minorante de um conjunto A sse x ∈ A , a ≤ x
Def. 14 Supremo e máximo de um conjunto
Ao menor dos majorantes de um conjunto A dá-se o nome de supremo. Se o
supremo pertencer ao conjunto toma o nome de máximo.
Axioma do supremo: Qualquer subconjunto de ℜ não vazio que seja majorado
tem supremo.
Def. 15 Ínfimo e mínimo de um conjunto
Ao maior dos minorantes de um conjunto A dá-se o nome de ínfimo. Se o ínfimo
pertencer ao conjunto toma o nome de mínimo.
Teorema do ínfimo: Qualquer subconjunto de ℜ não vazio que seja minorado tem
ínfimo.
Exemplo:
Seja = { x ∈ ℜ : 0 < 2x
− 1 < 5 ∨ x − 4 ≤ 0}
A .
⎤ 1 ⎡ ⎤1
⎡
Resolvendo as inequações obtém-se: A = ⎥−
2, ∪ 3 ∪ {} 4
2
⎢ ⎥ ,
2
⎢ .
⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎤ 1 ⎡ ⎤1
⎡
IntA = ⎥−
2 , ⎢ ∪ ⎥ 3 , ⎢
⎦ 2⎣
⎦2
⎣
⎧ 1 ⎫
FrA = ⎨−
2 , 3 , , 4⎬
⎩ 2 ⎭
A = IntA ∪ FrA = ,
[ − 2 3]
∪ {} 4
O conjunto A não é aberto pois A ≠ IntA .
O conjunto A não é fechado porque A ≠ A .
O conjunto A é limitado porque tem majorantes, como por exemplo 4 que é
supremo e máximo de A, e minorantes como por exemplo –2 que é apenas ínfimo. O
conjunto A não tem mínimo.
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Def. 16 Ponto de acumulação de um conjunto
Consideremos o conjunto A ⊂ ℜ .
Um ponto a ∈ ℜ diz-se ponto de acumulação de A sse em qualquer das
V de a existe pelo menos um ponto de A distinto de a, ou seja,
∈ ℜ
V : V − a ∩ ≠ .
vizinhanças a
a diz-se ponto de acumulação de A sse ∀ ( { } ) A { }
Nota: Não confundir com ponto aderente!
Def. 17 Derivado de um conjunto
O conjunto de todos os pontos de acumulação de um conjunto A designa-se
por derivado de A e representa-se por A'.
Def. 18 Ponto isolado
Um ponto do conjunto A diz-se isolado se não for ponto de acumulação do
conjunto.
Def. 19 Conjunto compacto
Em ℜ um conjunto limitado e fechado diz-se um conjunto compacto.
Def. 20 Conjuntos separados
Dois conjuntos dizem-se separados se cada um deles está contido no exterior
do outro.
Def. 21 Conjunto desconexo
Um conjunto diz-se desconexo se é a união de conjuntos separados.
Def. 22 Conjunto conexo
Um conjunto diz-se conexo se não é desconexo.
Teorema de Bolzano-Weierstrass
Se A ⊂ ℜ é um conjunto limitado e infinito, ele admite pelo menos um ponto
de acumulação.
Teorema
Se o conjunto A ⊂ ℜ tem supremo (ínfimo), então esse supremo (ínfimo) de
A ou é elemento do conjunto e nesse caso é o máximo (mínimo) ou é ponto de
acumulação do conjunto.
a
a
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