Módulo 1 - deetc

José Amaral
jda@isel.pt
Programa:
► Noções topológicas em ℜ.
Complementos de funções reais
de variável real.
► Cálculo diferencial em ℜ .
► Cálculo integral em ℜ .
n
► Cálculo diferencial em .
Bibliografia:
► AM I e M I. Acetatos das Aulas. Eng.Manuel Messias.
n
► Cálculo diferencial em . Eng.Manuel Messias.
ℜ
ℜ
p078-p081 : Conceito de
► Majorante.
► Minorante.
► Supremo.
► Ínfimo.
► Máximo.
► Mínimo.
de um conjunto.
► Dominar os conceitos.
► Fazer exercícios se for importante para o
domínio dos conceitos.
1
3
p001-p063 : Lógica matemática.
Teoria dos conjuntos.
Relações binárias e relações de equivalência.
p064-p077 : Valor absoluto de um número real; propriedades.
► Ver.
► Resolver 1 ou 2 exercícios.
Exemplo : Determine o conjunto de verdade da condição:
x 3 − x
<
1 − 2x
2x
+ 7
Majorante de um conjunto U ⊂ ℜ
a ∈ ℜ é majorante da U se ∀ x ∈ U : x ≤ a
Minorante de um conjunto U ⊂ ℜ
a ∈ ℜ é minorante da U se ∀ x ∈ U : a ≤ x
Supremo e Máximo de um conjunto U ⊂ ℜ
Ao menor dos majorantes de um conjunto U ⊂ ℜ dá-se o nome de
supremo do conjunto.
Se o supremo pertencer ao conjunto toma o nome de máximo do conjunto.
Ínfimo e Mínimo de um conjunto U ⊂ ℜ
Ao maior dos minorantes de um conjunto U ⊂ ℜ dá-se o nome de
ínfimo do conjunto.
Se o ínfimo pertencer ao conjunto toma o nome de mínimo do conjunto.
2
4
1

ℜ
p082-p102 : Noções Topológicas em .
Conceito de
► Distância.
► Vizinhança.
► Interior.
► Exterior.
► Fronteira.
► Aderência ou Fecho.
► Derivado.
de um conjunto.
► Ler com atenção.
► Dominar os conceitos.
► Fazer exercícios.
Ponto
► Interior.
Conjunto
► Aberto.
► Exterior.
► Fechado.
► Fronteiro.
► Limitado.
► Aderente.
► Compacto.
► de Acumulação. ► Conexo.
► Isolado.
► Desconexo.
Vizinhança
+
Sendo a ∈ ℜ e ε ∈ ℜ , chama-se vizinhança ε de a , ou vizinhança
de centro a e raio ε , e representa-se por Vε (a)
, ou V ( a,
ε)
, o
conjunto de números reais cuja distância a a é inferior a ε .
{ x ∈ ℜ : d(
x,
a)
< ε}
= { x ∈ ℜ x − a < ε}
V ε(
a)
=
:
Uma vizinhança é um intervalo aberto
V ε(
a)
= ] a − ε,
a + ε[
e todo o intervalo aberto é uma vizinhança.
Dado o intervalo aberto ] [
tem-se que
] x [ = V ( a)
x1 2 ε
1 2 ,x
x2
+ x1
x2 − x1
x , sendo a = e ε = ,
2
2
5
7
Distância
Seja E um conjunto de elementos quaisquer . Chama-se distância, ou
2
métrica, sobre E , a qualquer aplicação d : E → ℜ que goze das
propriedades:
1) ∀x , y ∈ E,
d(
x,
y)
= 0 sse x = y ;
2) ∀ x , y ∈ E,
d(
x,
y)
= d(
y,
x)
3) ∀ x , y,
z ∈ E,
d(
x,
z)
≤ d(
x,
y)
+ d(
y,
z)
O conjunto E com distância d diz-se um espaço métrico.
A distância que usualmente interessa considerar em ℜ é a função
2
d : ℜ → ℜ,
d(
x,
y)
= x − y
Ponto interior
Um ponto a ∈ ℜ é ponto interior do conjunto A ∈ ℜ se existe pelo
menos uma vizinhança de a contida em A :
∃ ε > 0 : Vε ( a)
⊂ A
Exemplo: A = ] 0, 3 ]
0 1 2 a 3
[ ]
Interior de um conjunto
O interior de um conjunto A é o conjunto dos seus pontos interiores
e representa-se por Int ( A)
.
no exemplo: int(A) = ] 0, 3 [
6
8
2

Ponto exterior
Um ponto a ∈ ℜ é ponto exterior do conjunto A ∈ ℜ se existe pelo
menos uma vizinhança de a disjunta de A :
∃ ε > 0 : V ε( a)
∩ A = ∅
Exemplo: A = ] 0, 3 ]
0 1 2 3 a
Exterior de um conjunto
O exterior de um conjunto A é o conjunto dos seus pontos exteriores
e representa-se por Ext ( A)
.
no exemplo: Ext(
A)
= ] − ∞,
0[
U ] 3,
+ ∞[
Ponto Aderente
Um ponto a ∈ ℜ é ponto aderente do conjunto A ∈ ℜ se a é ponto
interior ou ponto fronteiro de A .
Aderência, ou Fecho, de um conjunto
A aderência, ou fecho, de um conjunto A é o conjunto dos seus pontos
aderentes e representa-se por A .
A = Int(
A)
∪ Front(
A)
Conjunto fechado
Um conjunto A diz-se fechado se for idêntico ao seu fecho
A = A = Int(
A)
∪ Front(
A)
Conjunto aberto
Um conjunto A diz-se aberto se for idêntico ao seu interior
A = Int(A)
]
[
9
11
Ponto fronteiro
Um ponto a ∈ ℜ é ponto fronteiro do conjunto A ∈ ℜ se a não é
ponto interior de A nem ponto exterior de A , isto é, em qualquer
vizinhança de a existe pelo menos um ponto de A e pelo menos
um ponto do complementar de A
∀ ε > 0 : V ε(
a)
∩ A ≠ ∅ ∧ Vε
( a)
∩ A
Exemplo: A = ] 0, 3 ]
]
0
1 2 3
Fronteira de um conjunto
A fronteira de um conjunto A é o conjunto dos seus pontos fronteiros
e representa-se por Front ( A)
.
no exemplo: Front(
A)
= { 0,
3 }
Conjunto Limitado
Conjunto Compacto
[
≠ ∅
A ⊂ ℜ é um conjunto limitado se for majorado e minorado, isto é,
se tiver pelo menos um majorante e um minorante
∃ a, b ∈ ℜ : ∀x
∈ A a ≤ x ≤ b
(ou)
A ⊂ ℜ é um conjunto limitado se existir uma vizinhança
que o contenha, i.e. se existir um conjunto aberto que o contenha.
A ⊂ ℜ é um conjunto compacto se for limitado e fechado.
]
[
10
12
3

Conjuntos Separados
A ⊂ ℜ e B ⊂ ℜ dizem-se conjuntos separados se cada um
deles está contido no exterior do outro.
Conjunto Desconexo
A ⊂ ℜ é um conjunto desconexo se é a união de dois
conjuntos separados.
Conjunto Conexo
A ⊂ ℜ é um conjunto conexo se não é desconexo
Exemplo
Considere o conjunto
{ x ∈ ℜ : 0 < 2x
− 1 < 5 ∨ − 4 ≤ 0 }
A = x
Represente graficamente o conjunto
⎤ 1 ⎡ ⎤ 1 ⎡
A = ⎥ − 2, ∪ , 3 ∪
2 ⎢ ⎥ 2 ⎢
⎦ ⎣ ⎦ ⎣
Determine
O interior
A fronteira
O exterior
{} 4
Int(A)
Front(A)
Ext(A)
-2 1/2
3 4
⎤ 1 ⎡ ⎤ 1 ⎡
= ⎥ − 2,
⎢ ∪ ⎥ , 3 ⎢
⎦ 2 ⎣ ⎦ 2 ⎣
⎧ 1 ⎫
= ⎨−
2,
, 3,
4 ⎬
⎩ 2 ⎭
] − ∞,
−2
[ ∪ ] 3,
4 [ ∪ ] 4 +∞ [
= ,
13
15
Ponto de Acumulação
Um ponto a ∈ ℜ é ponto de acumulação do conjunto A ∈ ℜ se em
qualquer vizinhança de a existe pelo menos um ponto de A distinto
de a .
∀ ε > 0 : { Vε ( a)
\ a}
∩ A ≠ ∅
Derivado de um conjunto
O derivado de um conjunto A é o conjunto dos seus pontos
de acumulação e representa-se por A′ .
Ponto Isolado
Um ponto a ∈ ℜ é ponto isolado do conjunto A ∈ ℜ se a ∈ A
e não é ponto de acumulação de A .
Determine
Majorantes
Supremo e Máximo
Minorantes
Ínfimo e Mínimo
Fecho
Derivado
[ 4,
+∞[
-2 1/2
3 4
Sup(
A)
= Max(
A)
=
] −
∞,−
2]
Inf(
A)
= −2
{ 4 }
[ − 2,
3 ] { 4 }
A = Int(
A)
∪ FrontA)
= ∪
A′
=
[ − 2,
3 ]
14
16
4

É Aberto ou Fechado ?
É Limitado ?
O conjunto A não é aberto porque A ≠ int(A)
O conjunto A não é fechado porque A ≠ A
O conjunto A é limitado porque é majorado e minorado
É Compacto ?
É Conexo ?
-2 1/2
3 4
O conjunto A é limitado mas não é fechado, logo, não é
compacto
⎤ 1 ⎡ ⎤ 1 ⎡
O conjunto A = ⎥ − 2, ∪ , 3 ∪ {} 4
2 ⎢ ⎥ 2 ⎢ não é conexo
⎦ ⎣ ⎦ ⎣
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5