O Infinito - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

O Infinitésimos e a Análise Não-Standard Capítulo 5
Euler, os Bernoulli, Lagrange, d’Alembert, Bolzano e Cauchy, por exemplo, não só
obtiveram excelentes resultados usando números infinitos e infinitesimais, como ainda
se empenharam, sem contudo o conseguir, na sua fundamentação lógica.
Apesar dos sucessos obtidos, a noção de infinitésimo nunca foi devidamente
clarificada e o seu uso imoderado conduziu o desenvolvimento do Cálculo a sérias
inconsistências e dificuldades que não puderam então ser ultrapassadas.
No século XIX, Karl Weierstrass conseguiu finalmente obter uma formulação
completa e rigorosa para os fundamentos do Cálculo, removendo qualquer referência a
quantidades não finitas, redefinindo os conceitos base em termos da noção de limite. É
o retorno a Aristóteles. Davis e Hersh (1990) comparam o método dos limites com o
método de exaustão – ambos processos de tornear a utilização do infinito na
argumentação matemática.
Desde então, todos os elementos estranhos ao conjunto foram banidos da
generalidade dos textos de Análise Matemática, embora a referência a infinitésimos
tenha persistido até aos dias de hoje em textos de outras disciplinas científicas que
fazem largo apelo ao Cálculo, como é o caso da Física.
Já na segunda metade do século XX, por volta de 1961, o matemático Abraham
Robinson descobriu a Análise Não-Sandard (ANS), com origem na Lógica, que veio
repor a possibilidade de tratamento formal dos infinitésimos. O seu aparecimento pode
talvez situar-se, oficialmente, na data de publicação do artigo
Nonstandard Analysis,
Proc. Roy. Acad, Sci., Amesterdam (A), 64 (1961), pp437-440
onde A. Robinson, usou pela primeira vez um modelo Não-Standard da recta numérica
para elaborar um desenvolvimento do Cálculo Infinitesimal, que segue muito de perto o
estilo dos seus criadores no século XVII, particularmente o de Leibniz. Posteriormente,
no livro
Nonstandard Analysis,
North Holand, 1966
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