O Infinito - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

O Infinitésimos e a Análise Não-Standard Capítulo 5
5. Os Infinitésimos e a Análise Não-Standard
“It is that objects to − 1 as involving any contradiction, nor, since Cantor, are
infinitely great quantities objected to, but still the antique prejudice against infinitely
small quantities remains.”
C. S. Peirce in “The New Elements of Mathematics”
O uso de números infinitos e infinitesimais em Matemática tem uma longa história: a
ideia de infinitésimo é conhecida há pelo menos 23 séculos.
Banidos pela tradição Aristotélica, estes números acabaram por ser reintroduzidos no
séc. XVII, nos primórdios da Análise, e os raciocínios baseados neles foram sempre, até
ao aparecimento da Análise Não-Standard, fonte de controvérsia e desconfiança. Este
facto levou a que os infinitésimos tenham tido uma existência quase sempre polémica,
embora o seu uso nunca tenha deixado de constituir uma ferramenta utilizada na prática,
por exemplo, por físicos e engenheiros.
No início do séc. XX foi encontrado o tratado “ O Método”, cuja existência era
desconhecida até então, no qual Arquimedes afirmava que também usava os
infinitésimos nos seus trabalhos, “não para demonstrar resultados, mas sim para
descobri-los”. Este livro permite-nos compreender a forma como Arquimedes obtinha
as suas ideias. Como a maior parte dos matemáticos, ele começava por obter resultados
através de métodos nada rigorosos e depois polia-os até encontrar uma demonstração
decente.
Arquimedes cortava sólidos numa infinidade de pedaços de espessura infinitesimal e
pendurava-os numa balança abstracta, onde comparava a sua soma com um objecto
conhecido. Descobriu, usando este método, o volume da esfera.
Outros matemáticos fizeram um uso semelhante de argumentos infinitesimais, por
exemplo, Nicolau de Cusa descobriu a área do círculo cortando-o como uma tarte.
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