O Infinito - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

que designou por
O paraíso que Cantor criou Capítulo 4
||, |P()|, |P(P())|, …
ℵ ℵ , ℵ , …
0 , 1 2
Assim, segundo Guillen (1983), os números transfinitos ( ℵ ℵ , ℵ , …) aparecem a
0 , 1 2
Cantor e a outros como sendo tão sem limites como o cosmos descrito por Emmanuel
Kant:
“É natural olhar [as nebulosas de] estrelas como sendo […] sistemas de muitas
estrelas. [Elas] são exactamente universos. Pode-se, além disso, conjecturar que [todas
juntas] […] constituem, por sua vez, um sistema ainda mais imenso […] o qual, talvez,
e tal como o primeiro, nada mais é do que um membro numa nova combinação de
membros! Nós [na Terra] vemos [só] os primeiros membros de uma relação
progressiva de mundos e sistemas, e a primeira parte desta infinita progressão habilita-
nos a reconhecer o que se deve conjecturar sobre o todo. Não há qualquer fim…”
Cantor supôs que álefe-um seria o cardinal de , mas deixou a seguinte questão por
resolver: há alguma coisa entre || e ||? Este problema tornou-se conhecido como a
Hipótese do contínuo. Qualquer tentativa de a provar falhou tristemente; mas o mesmo
aconteceu a todas as tentativas de construir um conjunto com mais elementos que os
naturais, mas menos que os reais. Só em 1963, Paul Cohen provou que a resposta
depende da nossa versão de teoria de conjuntos: teorias de conjuntos cantorianas ou
teoria de conjuntos não cantorianas. Assim, Cantor, como não conseguiu então obter a
resposta à questão, manteve a designação ς para o cardinal do conjunto .
Em 1874, Cantor publicou o seu trabalho, que o levara dos conjuntos finitos aos
conjuntos infinitos e mais longe ainda. Cantor afirmava “não alimento qualquer dúvida
em relação à veracidade dos números transfinitos, os quais identifiquei com a ajuda de
Deus”. (Citado por Hoffman, 1998)
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