O Infinito - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

O paraíso que Cantor criou Capítulo 4
Através desta ideia de comparação de conjuntos infinitos pela correspondência, um a
um, entre os seus elementos, Cantor conseguiu distinguir vários tipos de conjuntos: os
de menor potência como , e , denominados numeráveis, e os com a potência do
contínuo, como o intervalo [ , 1]
0 ou .
A demonstração que permitiu Cantor concluir que a potência do contínuo é superior
à do numerável, pode ser generalizada originando aquilo que ficou conhecido como o
teorema de Cantor: O cardinal de um conjunto X é estritamente menor que o cardinal do
conjunto P(X) das partes de X. Desta forma, através de conjuntos infinitos, Cantor
conseguiu definir novos conjuntos infinitos.
“Esta demonstração parece digna de nota, não só em virtude da sua grande
simplicidade, mas também, especificamente, porque o princípio nela seguido se torna
igualmente extensivo ao teorema geral de que as potências de conjuntos bem definidos
não têm máximo algum, ou seja, o que vem a dar no mesmo, que para cada conjunto
dado L pode ser colocado ao lado de outro conjunto M de potência superior a L”.
(Cantor, 1883 [1887])
Pois bem, a existência de um conjunto infinito implica a existência de um conjunto
infinito maior, que por sua vez, implica a existência de outro ainda maior e assim
sucessivamente. Donde decorre a existência de uma infinidade de infinitos distintos.
Encontrámos, pois, um método para construir conjuntos transfinitos de potência
continuamente crescente, até ao infinito. Consiste em repetir a operação de passagem de
um conjunto ao conjunto das suas partes. Partindo de um transfinito mínimo, que é o
numerável, potência do conjunto dos naturais , podemos construir a escala:
, P(), P(P()), …
Representando por |L| a potência, ou cardinalidade de um conjunto L, Cantor
mostrou que se for k o cardinal de um conjunto X, então |P(X)| = 2 k , e que, em
particular, || = 2 || , o que lhe permitiu construir a seguinte extensão transfinita dos
cardinais
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