O Infinito - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

O paraíso que Cantor criou Capítulo 4
resposta era negativa, descobrindo que pelo menos um número real será sempre
excluído dessa listagem, e portanto, não será emparceirado com um número natural.
Para encontrar esse número real, formemos um novo número cuja primeira casa
decimal seja diferente da primeira casa decimal do primeiro número da lista; cuja
segunda casa decimal seja diferente da segunda casa decimal do segundo número da
lista; e em geral, cuja n-ésima casa decimal difira da n-ésima casa decimal do n-ésimo
número da lista. Aí está!! Trata-se de um real que é diferente de todos os que figuram na
lista e estão emparceirados com os números naturais, assim se provando que há mais
números reais do que naturais.
Cantor, usando mais uma vez o seu “argumento diagonal”, tinha encontrado um
infinito maior, ao qual chamou álefe-um ( ℵ 1 ).
Também com isto se prova que, enquanto podemos, em princípio, contar, um a um, a
infinidade dos números naturais, nunca poderemos fazer o mesmo com os números
reais. Cantor, reconhecendo este facto como consequência da sua demonstração, passou
a referir-se aos números naturais como uma infinidade numerável e aos reais como uma
infinidade contínua (ou não numerável).
Além de aplicar as noções de conjunto e equivalência aos números aritméticos,
Cantor também as aplicou aos pontos geométricos, com resultados que a ele próprio
surpreenderam e que contradiziam a sua própria intuição.
Em 20 de Junho de 1877, Cantor mostra a Dedekind a prova de que é possível
estabelecer uma bijecção entre [ 0 , 1]
e [ ] n
, 1
0 , provando assim que n e m têm a mesma
dimensão, quaisquer que sejam n, m∈, ou seja, que existe a mesma quantidade de
pontos em todo e qualquer espaço independentemente da sua dimensão.
“Pode-se fazer corresponder de uma maneira completa e unívoca um conjunto
contínuo a n dimensões a um conjunto contínuo de uma só dimensão; dois conjuntos,
um de n e outro de m dimensões, sendo n > m,
n < m ou n = m,
têm a mesma
potência”. (Cantor, 1883 [1887]).
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