O Infinito - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

O paraíso que Cantor criou Capítulo 4
O próprio Cantor ficou surpreendido com a sua demonstração de que o conjunto dos
números racionais era numerável. “Vejo que é assim”, diz ele, “mas não acredito”.
(Citado por Radice, 1981)
Depois de algumas coisas como estas, começamos a pensar se não são numeráveis
todos os conjuntos infinitos. Talvez Salviati estivesse correcto e ℵ 0 seja apenas um
símbolo rebuscado para ∞ . Cantor mostrou que isto não é verdade. Há uma infinidade
maior do que a infinidade dos números naturais: a infinidade dos números reais.
Cantor começou por imaginar todos os números reais numa lista simples, sem
qualquer ordenação especial.
a , b
M
M
1
2
n
10
a , b
20
a , b
b
n0
b
11
b
21
b
12
b
b
... b
22
n1
n2
Em seguida numerou as linhas dessa lista, ou seja, associou a cada número real um
número natural.
1
2
M
n
M
a , b
1
2
10
a , b
20
a , b
n
b
n0
11
21
1n
... b
... b
12
...
2n
nn
... b
22
n1
n2
Poderia parecer que existiriam números naturais suficientes para associar a todo o
número real. Cantor procurou então determinar se as duas listas, de números naturais e
números reais, se esgotariam igualmente. Em caso afirmativo, concluir-se-ia que os
reais, como os naturais, eram ℵ 0 , em número. No entanto, Cantor mostrou que a
b
b
b
b
b
...
...
1n
... b
... b
...
2n
nn
...
...
40