O Infinito - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

O paraíso que Cantor criou Capítulo 4
Estamos habituados à ideia de que há muito mais racionais do que naturais, porque
os naturais têm grandes espaços entre si, enquanto os racionais estão densamente
distribuídos. Por exemplo, se olharmos para o bordo de uma régua graduada vemos que,
entre dois números naturais quaisquer, há espaço para uma infinidade de fracções, o que
nos levaria a concluir que as fracções são infinitamente mais numerosas do que os
naturais.
Mas, não obstante a aparências, Cantor provou que é possível emparceirar qualquer
fracção com um número natural, apresentando uma demonstração engenhosa que
mostra que existem também ℵ 0 racionais.
p
Cantor começou a demonstração por dispor todas as fracções do tipo , com p,
q
q∈ e q ≠ 0 , numa matriz. A primeira linha contém, por ordem crescente, todas as
fracções de denominador 1, a segunda linha todas as fracções cujo denominador é 2, e
assim por diante.
Assim, usando o seu engenhoso “argumento diagonal”, Cantor mostrou que se
fizéssemos um percurso diagonal era possível pôr em correspondência, de um para um,
os números racionais e os números naturais.
M
Cantor sabia, naturalmente, que algumas fracções se repetiriam e incitava que,
quando se encontrassem representações alternativas, essas deveriam ser ignoradas.
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