O Infinito - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

O paraíso que Cantor criou Capítulo 4
tinha saído. “Não há problema”, anunciou o recepcionista. Desta vez, transferiu o
ocupante do quarto 1 para o quarto 2, o do quarto 2 para o 4, o do 3 para o 6 e, em geral,
o ocupante do quarto n para o quarto 2n. Isto deixou desocupado um número infinito de
quartos ímpares para os infinitamente muitos recém-chegados. Portanto, o passageiro
número 1 do autocarro pode ir para o quarto 1, o número 2 para o quarto 3, o número 3
para o quarto 5, e em geral, o número n para o quarto 2n −1.
Mesmo que chegue uma
infinidade de autocarros infinitos de turistas, toda a gente pode ser acomodada.
O hotel de Hilbert mostra que certos tipos de argumentos estão disponíveis no caso
finito, mas não podem ser usados em qualquer outro caso: por exemplo, o “princípio da
gaiola de pombos”, que afirma ser impossível colocar n + 1 objectos em n caixas
colocando no máximo um em cada uma, é falso para qualquer n infinito, e em particular
ℵ = n .
para 0
Cantor chamou numerável ao conjunto dos números naturais e considerou que
qualquer conjunto que estivesse em correspondência, um a um, com o conjunto dos
números naturais também era numerável.
O próximo passo era responder à questão: Terão todos os conjuntos infinitos o
mesmo cardinal?
Assim, surgiu a tentativa, bem sucedida, de estabelecer uma bijecção entre os
números inteiros e os números naturais.
f : →
⎩ ⎨⎧
2n
n a
− 2n
+ 1
se
se
n > 0
n ≤ 0
Cantor mostrou que, de facto, também o conjunto dos números inteiros tem tamanho
álefe-zero e perguntou-se então se o conjunto dos números racionais teria também o
tamanho álefe-zero (o que à primeira vista parece falso).
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