O Infinito - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

O paraíso que Cantor criou Capítulo 4
triangulares, …, podem estar em correspondência, um a um, com o conjunto dos
números naturais, ou seja, têm todos a mesma potência, o mesmo cardinal.
Cantor mostrou então que qualquer subconjunto infinito dos números naturais é
equipotente a .
Quando consideramos ao mesmo tempo conjuntos finitos e infinitos, a equipotência
de um conjunto com uma sua parte própria torna-se uma característica específica dos
conjuntos infinitos.
Assim, em 1888, Richard Dedekind definiu um conjunto infinito como aquele em
que se pode estabelecer uma bijecção com um seu subconjunto próprio. Com esta
definição, Dedekind revolucionou uma maneira de pensar milenária. Agora já não se
necessita de definir um conjunto infinito com a negação do que é finito, podemos, pelo
contrário, definir o finito como negação do que é infinito, ou seja, um conjunto é finito
se não estiver em bijecção com nenhuma parte própria.
O conjunto infinito mais pequeno é o conjunto dos números naturais, cujo cardinal é
denotado pelo símbolo ℵ 0 (álefe-zero), de acordo com a primeira letra do alfabeto
hebraico. Este número é o número infinito mais pequeno.
Cantor ficou seduzido pela estranha aritmética do aléfe-zero:
0 1 ℵ0
= + ℵ e ℵ 0 + ℵ0
= ℵ0
Ou seja, quando somamos 1 ao infinito continuamos a ter infinito, assim como,
quando duplicamos o infinito continuamos a ter infinito.
Estas propriedades estavam no centro do paradoxo do Hotel de Hilbert, assim
chamado em honra ao lendário matemático alemão David Hilbert.
Hilbert descreveu um hotel com um número infinito de quartos, numerados 1, 2, 3,...
Uma noite, quando todos os quartos estavam ocupados, um hóspede solitário chega à
procura de quarto. O recepcionista do hotel fez cada hóspede avançar um quarto, de
maneira que o ocupante do quarto 1 fosse transferido para o quarto 2, o ocupante do
quarto 2 para o quarto 3, e assim sucessivamente. Assim, depois de todas as mudanças
feitas, o quarto 1 fica então livre para o novo hóspede! Na noite seguinte chegou um
autocarro, com um número infinito de novos hóspedes, e nenhum dos antigos hóspedes
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