O Infinito - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

Os primeiros paradoxos do Infinito Capítulo 3
“Não vejo a que outra decisão possa chegar do que dizer que infinitos são todos os
números, infinitos os quadrados, infinitas as suas raízes, nem que a multidão dos
quadrados é menor que a de todos os números, nem esta maior que aquela, e, como
última conclusão, os atributos de igual, maior e menor não terem lugar nos infinitos,
mas apenas nas quantidades terminadas.”
Totalmente diferente da opinião de Galileu é a opinião de Bolzano perante o infinito
e em particular do paradoxo do todo e da parte.
Bernahrd Bolzano, nascido em Praga, actual República Checa, era filósofo,
matemático e teólogo e deu importantes contributos tanto para a Matemática como para
a Teoria do Conhecimento. Ele tentou, no seu trabalho, libertar o Cálculo da sua
concepção infinitesimal. Para além de problemas ligados à Matemática, estudou
problemas ligados ao espaço, à força e à propagação das ondas.
Filho de um comerciante de artes, frequentou a Universidade de Praga, onde estudou
Teologia, Matemática e Filosofia. Foi ordenado sacerdote da Igreja Católica e foi
designado para leccionar religião, na universidade onde estudou.
Os estudos científicos de Bolzano foram muito avançados para o seu tempo, nos
fundamentos de vários ramos da Matemática, como a teoria das funções, a lógica e a
noção de cardinal. Depois de demonstrar o teorema do valor intermédio, deu o primeiro
exemplo de uma função contínua não derivável em nenhum ponto do conjunto dos
números reais. No campo da lógica, estudou a tabela de verdade de uma proposição e
introduziu a primeira definição operativa de dedutibilidade.
Para ele bastava caracterizar um conjunto pelas suas propriedades, e não ter de
enumerar todos os elementos desse conjunto, ou seja, um conjunto é um todo.
Bolzano tentou estabelecer um critério de comparação entre conjuntos infinitos.
Analisou o paradoxo de Galileu relativo à correspondência, um a um, entre os números
naturais e os quadrados perfeitos e mostrou, embora vagamente, que as
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