O Infinito - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

Os primeiros paradoxos do Infinito Capítulo 3
Sagredo. Então, qual a conclusão a tirar nestas condições?
Salviati. Aos meus olhos, a única conclusão possível é dizer que o conjunto dos
números, dos quadrados, das raízes é infinito; que o total dos números quadrados não é
inferior ao conjunto dos números, nem este superior àquele. E finalmente, que os
atributos igual, maior e menor não têm sentido para quantidades infinitas, mas somente
para quantidades finitas”. (Citado em Radice, 1981)
Galileu chegou à conclusão que para contar os quadrados perfeitos, podia estabelecer
uma bijecção entre o conjunto dos números naturais e o conjunto dos quadrados
perfeitos, concluindo assim que os quadrados perfeitos não eram menos do que os
números naturais. A ideia, proveniente da famosa noção de Euclides – “o todo é maior
que a parte” – de que os números naturais eram mais do que os quadrados perfeitos,
impediu-o de declarar a igualdade de cardinais.
Outro paradoxo galileano é o das rodas, que consiste em duas rodas concêntricas,
uma maior que a outra, que tocam com os seus pontos em dois segmentos de
comprimentos iguais.
“Salviati. Mas diz-me se em torno de um centro, (…) este ponto A, descrevermos
dois círculos e dos pontos C e B dos seus semi-diâmetros se traçarem as tangentes CE,
BF e deles, pelo centro A, a paralela AD, considerando que o círculo maior gira sobre
a linha BF (igual à da sua circunferência, assim como as outras duas CE, AD) e
admitindo que há uma revolução, que terá feito o círculo menor e o centro? Este terá,
sem dúvida, percorrido a linha AD, e a circunferência daquele terá, com os seus
contactos, medido toda a CE (…). Portanto, como pode, sem saltos o círculo menor
percorrer uma linha tão maior de que a sua circunferência (…). (Citado em Radice,
1981)
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