O Infinito - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

Os primeiros paradoxos do Infinito Capítulo 3
científico inócuo, mas acabou por cegar e morrer em 1642, ainda sob a vigilância da
Inquisição.
Um dos paradoxos mais famosos acerca do infinito é o que é apresentado por
Galileu, o paradoxo dos naturais e dos quadrados, no livro Discorsi e dimostrazioni
matematiche a due nuove scienze. Galileu encena uma conversa entre três personagens,
Salviati, Simplício e Sagredo, que representam respectivamente, ele próprio, um sábio
convencido da justeza das concepções de Aristóteles e um homem honesto para quem a
demonstração e a experiência se sobrepõem ao conhecimento livresco.
Salviati leva Simplício a concordar que os números que são quadrados perfeitos são
tantos quantos os próprios números naturais, mostrando-lhe a correspondência, a que
hoje chamamos bijectiva, entre os dois conjuntos de números, depois de o ter feito
reconhecer que os inteiros são mais do que os quadrados perfeitos sozinhos:
“Salviati. (…). Por consciência, se eu disser que os números tomados na sua
totalidade, incluindo os quadrados e os não quadrados, são mais numerosos do que os
quadrados sozinhos, enunciarei uma proposição verdadeira não é?
Simplicío. Certamente.
Salviati. Se eu perguntar agora quantos quadrados há, podemos responder, em nos
enganarmos, que há tantos quantas raízes quadradas correspondentes, atendendo a que
todo o quadrado tem a sua raiz e toda a raiz o seu quadrado, que um quadrado não tem
mais que uma raiz, nem uma raiz mais que um quadrado.
Simplicío. Exactamente.
Salviati. Mas se eu perguntar quantas raízes há, não se pode negar que há tantas
quantos os números, porque todo o número é a raiz de algum quadrado; assim sendo,
será portanto preciso dizer que há tantos números quadrados como números, uma vez
que eles são tantos como as raízes e que as raízes representam o conjunto dos números;
e no entanto dizíamos de princípio que há mais números do que quadrados, já que a
maior parte dos números são quadrados.
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