O Infinito - Departamento de Matemática da Universidade do Minho
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Os primeiros paradoxos do Infinito Capítulo 3 A E D C B Pela perspectiva de Zenão, teríamos [ AB] [ AB] [ AB] [ AB] [ AB] [ AB ] = + + + + ... + + ... n 2 4 8 16 2 Mais sucintamente, [ AB] [ AB ] = n 1 2 ∑ ∞ n= Em Aquiles, a ideia de subdivisão infinita é a mesma, apenas com a diferença de ser agora progressiva em vez de regressiva. Se considerarmos 0 X a posição inicial de Aquiles, X n (com n natural) a posição onde se encontra a tartaruga no instante em que Aquiles se encontra na posição X n− 1 , e Y a posição em que Aquiles alcança a tartaruga. X 0 X 1 O segundo argumento de Zenão chama a atenção para que X Y = X X + X X + X X 1 1 2 2 3 3 4 X 2 + ... X 3 Y 27
Ou seja, X ∞ 1 Y = ∑ X n X n+ 1 n= 1 Os primeiros paradoxos do Infinito Capítulo 3 Segundo Boyer (1984), “a Dicotomia e Aquiles argumentam que o movimento é impossível sob a hipótese de subdivisibilidade indefinida do espaço e do tempo”. Zenão mostrou que se os conceitos de contínuo e infinita divisão forem aplicados ao movimento de um corpo, então este torna-se impossível. Na verdade, a essência do movimento é tal que, quando vamos a querer fixar a posição de um objecto, em determinado instante, num ponto da sua trajectória, já ele aí não se encontra – entre dois instantes, por mais próximos que sejam um do outro, o objecto percorreu um segmento, com uma infinidade de pontos. Deste fenómeno se pode dizer, como Leonardo da Vinci disse da chama: “olha para a chama e considera a sua beleza; fecha os olhos e torna a olhar: o que vês não estava lá e o que lá estava já não o encontras”. O paradoxo da Seta reflecte a impossibilidade de movimento se o espaço e o tempo forem compostos de partes indivisíveis. No Estádio, Zenão mostra que o intervalo de tempo que se considera não pode ser mínimo. Segundo Boyer (1984), “a Flecha (Seta) e o Estádio, de outro lado, argumentam que também é impossível, sob a hipótese contrária – de que a subdivisibilidade do tempo e do espaço termina em indivisíveis”. Zenão apresentou paradoxos que mostravam as contradições existentes em considerar grandezas divisíveis infinitamente e em considerar grandezas indivisíveis. Os problemas que conduziram aos seus paradoxos diziam respeito à relação entre o infinito actual e o infinito potencial. A solução destes paradoxos exige uma teoria, como a cantoriana, que combine a nossa noção intuitiva de pontos e acontecimentos individuais com uma teoria sistemática de conjuntos infinitos. 28
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Os primeiros para<strong>do</strong>xos <strong>do</strong> <strong>Infinito</strong> Capítulo 3<br />
A E D C<br />
B<br />
Pela perspectiva <strong>de</strong> Zenão, teríamos<br />
[ AB]<br />
[ AB]<br />
[ AB]<br />
[ AB]<br />
[ AB]<br />
[ AB ] = + + + + ... + + ... n<br />
2 4 8 16 2<br />
Mais sucintamente,<br />
[ AB]<br />
[ AB ] = n<br />
1 2<br />
∑ ∞<br />
n=<br />
Em Aquiles, a i<strong>de</strong>ia <strong>de</strong> subdivisão infinita é a mesma, apenas com a diferença <strong>de</strong> ser<br />
agora progressiva em vez <strong>de</strong> regressiva.<br />
Se consi<strong>de</strong>rarmos 0 X a posição inicial <strong>de</strong> Aquiles, X n (com n natural) a posição<br />
on<strong>de</strong> se encontra a tartaruga no instante em que Aquiles se encontra na posição X n−<br />
1 , e<br />
Y a posição em que Aquiles alcança a tartaruga.<br />
X 0<br />
X 1<br />
O segun<strong>do</strong> argumento <strong>de</strong> Zenão chama a atenção para que<br />
X<br />
Y = X X + X X + X X<br />
1<br />
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