O Infinito - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

Perspectiva histórica do conceito de Infinito Capítulo 2
cardinal, que o conjunto dos números racionais é numerável, que o conjunto dos
números reais não é numerável e que o conjunto dos pontos de um quadrado é
equivalente ao conjunto dos pontos do seu lado. Assim como, que o conjunto tem
menor cardinal que o conjunto , pois é uma parte de e uma parte de qualquer
conjunto não pode exceder essa quantidade em elementos.
Nesta fase, Cantor decidiu procurar os infinitos que estivessem entre e e maiores
que . Uma conjectura natural para encontrar infinitos maiores seria considerar
conjuntos contínuos a duas ou mais dimensões e assim, noutra carta a Dedekind, Cantor
mostrou uma prova que contradizia a sua própria intuição. Ele consegui estabelecer uma
bijecção entre [ 0 , 1]
e [ ] n
, 1
0 (para n ∈)
mostrando assim que n e m têm a mesma
dimensão, quaisquer n, m ∈.
A prova de que existem conjuntos com maior cardinal
que o do veio de uma proposição mais abrangente. O conjunto dos subconjuntos de
um conjunto tem sempre mais elementos que o próprio conjunto, donde se pôde
concluir existem infinitos maiores que . Já a ideia de infinitos intermédios entre e ,
não foi demonstrada ou refutada por Cantor. Ele próprio nunca conseguiu demonstrar
que não existe um infinito entre o numerável e o contínuo, isto é, simbolicamente que
ℵ0
ℵ 1 = 2 , esta sua ideia ficou conhecida pela Hipótese do contínuo.
Cantor foi o principal responsável pela criação da Deutshe Mathematiker-
Vereinigung (União Alemã de Matemática) e em 1891, no primeiro encontro da
associação, em Halle, leu um artigo sobre o seu argumento diagonal em que procurava
exactamente que, dado um conjunto, o conjunto das suas partes tem potência maior que
esse conjunto.
As suas teorias para a Teoria de Conjuntos revolucionaram então a Matemática. O
infinito actual finalmente tinha sido incorporado na Matemática. Note-se que um
infinito actual é aquele que pode ser concebido como uma entidade completa, ou seja,
todos os seus elementos podem ser pensados num acto único.
De acordo com Radice (1981), apesar das descobertas de Cantor destruírem ideias
formuladas por célebres filósofos, como por exemplo Kant (para o qual “infinito é uma
grandeza acima da qual não é possível nenhuma maior”), deram, pela sua simplicidade,
origem a novas antinomias e a novos paradoxos que no entanto, extravasam já o âmbito
deste trabalho. O próprio Cantor, em 1895, descobriu que não podia haver o conjunto de
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