O Infinito - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

Perspectiva histórica do conceito de Infinito Capítulo 2
entre os dois conjuntos. Daí o paradoxo: os dois conjuntos são equicardinais, mas um
contem o outro – o todo é igual a uma parte.
Segundo Radice (1981), foi com grande simplicidade que Cantor clarificou que, no
caso de um conjunto infinito, pode acontecer que o conjunto e a sua parte, embora não
idênticos, sejam equipotentes, tenham a mesma potência, o mesmo cardinal. E aqui está
a grande diferença entre Cantor e Bolzano. De acordo com Waldegg (1991), a teoria de
Cantor representa um ponto de viragem do infinito actual em matemática. É a partir
deste momento que o infinito atinge uma posição permanente como objecto de estudo
com operatividade própria.
Cantor desenvolveu uma teoria que explicava os diferentes conjuntos infinitos, a
teoria dos números cardinais transfinitos, baseada num tratamento matemático ao
infinito actual. Criou então, um novo tipo de número: o transfinito; devido aos números
1, 2, 3, 4 … não permitirem a contagem dos elementos dos conjuntos infinitos,
existindo depois do finito, um transfinito que pode ser definido de forma precisa. Ao
conjunto numerável atribui o menor cardinal transfinito ℵ 0 e ao continuo um número
transfinito maior.
Para desenvolver os seus trabalhos em Análise foi necessário fazer uma construção
rigorosa dos números reais que assentasse apenas na aritmética. Para isso era necessário
utilizar certos conjuntos de pontos, efectuar operações sobre esses conjuntos, considerar
sucessões dos mesmos. Tal como Cantor, Dedekind e Weirstrass sentiram essa
necessidade, porém este foi mais longe.
No século XIX, estava mais ou menos aceite que a existência de uma bijecção entre
dois conjuntos permitia concluir a igualdade da quantidade dos seus elementos. Mas
será que podemos estabelecer uma bijecção entre dois conjuntos infinitos? Em caso
afirmativo, os conjuntos têm o mesmo cardinal, caso contrário podemos concluir que
existem infinitos de tamanhos diferentes.
Cantor mostrou que, de facto, existem infinitos de tamanhos iguais e diferentes e foi
mais além que Dedekind, ao afirmar que os conjuntos infinitos não eram todos iguais
em tamanho. Numa das cartas que escreveu a Dedekind, facto que era habitual, afirmou
que os conjuntos dos números naturais e dos números reais não podiam ser postos em
bijecção. Ficando então provado que os subconjuntos infinitos de têm o mesmo
19