O Infinito - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

Perspectiva histórica do conceito de Infinito Capítulo 2
Para Cantor estes eram dois conceitos essenciais, sem os quais seria impossível
estabelecer uma teoria completa sobre o infinito actual. Mesmo assim, é inegável a
admiração que Cantor sentia por Bolzano, quer na sua tentativa de mostrar que os
paradoxos podiam ser explicados, quer pela sua ousadia em defender a introdução do
infinito actual em matemática.
Duas dezenas de anos mais tarde, Cantor e Dedekind introduziram novamente a
questão do infinito em acto, mas desta vez sem ambiguidades, obscuridade, misticismo.
Dedekind, foi professor na Techishe Hochschule de Brunswick, elaborou uma teoria
rigorosa sobre irracionais, tendo como fonte de inspiração a teoria das proporções de
Eudoxo de Cnido. Dedekind criou os números reais e estabeleceu uma correspondência
biunívoca entre pontos da recta e os números reais.
Como já foi referido, Galileu considerava paradoxal a existência de uma bijecção
entre um conjunto infinito e um subconjunto nele estritamente contido. Bolzano
afirmou, embora vagamente, que esse caso “ocorre sempre” em conjuntos infinitos, mas
não concluiu nada mais.
Ora, Dedekind encontrou neste paradoxo a melhor maneira de definir um conjunto
infinito e expõe as suas ideias no livro Was sind und was sollen die Zahlen? (O que são
e para que servem os números?). Deste modo, “diz-se que um sistema [conjunto] S é
infinito quando é semelhante a uma parte própria dele mesmo, caso contrário S diz-se
finito” (citado em Boyer, 1998 [1968]), ou seja, um conjunto S é infinito se e só se é
equipotente a uma parte própria e esta é a definição de conjunto infinito mais
correntemente utilizada até hoje. Note-se que sempre se definiu uma quantidade infinita
pela negativa, isto é, considerando infinita aquela que não é finita. Daí que esta
definição tenha sido, também neste sentido, uma novidade.
Mas foi Cantor quem fez com que os conjuntos infinitos se convertessem
definitivamente em objecto de estudo matemático.
Relembremos então o paradoxo que tanto atormentou Galileu: uma parte não pode
ser igual ao todo. Consideremos o conjunto dos números naturais e o conjunto A,
constituído pelos seus quadrados. Apesar de ser claro que nem todos os números são
quadrados, também não é difícil compreender que se pode estabelecer uma bijecção
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