O Infinito - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

Perspectiva histórica do conceito de Infinito Capítulo 2
conjunto das grandezas compreendidas entre 0 e 5, há uma = y no conjunto das
grandezas compreendidas entre 0 e 12 que se pode ligar àquela num par, de tal modo
que nenhuma das coisas que constituem estes dois conjuntos fica sem ligação num par e
também que nenhuma ocorre em dois ou mais pares”. (Citado em Meschkowski, 1990)
Contudo, a existência de tal bijecção não bastava para justificar que os cardinais
eram iguais, para Bolzano seria necessário acrescentar, por exemplo, que os dois
conjuntos estivessem definidos de modo idêntico.
“Ora, meramente pela razão de que dois conjuntos A e B estão em tal relação entre
si que nós, para cada parte a ocorrente num deles, A, procedendo de acordo com uma
certa regra, possamos escolher uma parte b ocorrente em B, de tal modo que todos os
pares (a + b) que assim construamos contenham cada coisa encontrável em A ou em B
e contenham cada uma apenas uma vez, - meramente por esta circunstância ainda não
é – como vemos – de modo nenhum lícito concluir que estes dois conjuntos, se forem
infinitos, são iguais entre si com respeito à multiplicidade das suas partes (isto é,
quando se abstrai de todas as diferenças das mesmas); pelo contrário, apesar daquela
relação entre eles, e por si só é certamente simétrica, podem ter uma relação de
desigualdade na sua multiplicidade, de modo que um deles se possa evidenciar como
um todo e o outro como uma parte dele. Só se pode concluir uma igualdade destas
multiplicidades quando alguma outra razão se acrescentar a isso, como que ambos os
conjuntos sejam determinados de modo idêntico, por exemplo mediante idêntica lei de
formação”. (Citado em Meschkowski, 1990)
Ora, daí em diante, os matemáticos adoptaram uma concepção sobre o infinito muito
próxima da de Bolzano. Embora Bolzano não tenha posto de parte fundamentações em
argumentos teológicos e tenha usado um critério de comparação de cardinais infinitos
inadequado para muitas situações, podemos considerar que Bolzano foi precursor de
Cantor.
Por seu lado, Cantor, elogiou os contributos de Bolzano para a matemática e para a
filosofia, embora o tenha criticado em alguns aspectos: pouca clareza na noção de
infinito actual e falta de desenvolvimento da ideia de potência de um conjunto infinito.
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