O Infinito - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

Perspectiva histórica do conceito de Infinito Capítulo 2
“Passemos agora à consideração duma particularidade altamente notável que pode
ocorrer na relação entre dois conjuntos quando ambos são infinitos, e que na verdade
ocorre sempre, mas que até agora tem sido descurada, com prejuízo do reconhecimento
de algumas verdades importantes tanto na Metafísica como da Física e da Matemática,
e que certamente também agora, quando eu a proferir, será em tal grau tida como
paradoxal que seria bem necessário demorar um pouco mais na sua consideração. É
que eu afirmo: dois conjuntos, que sejam ambos infinitos, podem estar em tal relação
entre si que, por um lado é possível ligar num par cada uma das coisas pertencentes a
um dos conjuntos com uma do outro, de tal modo que nenhuma das coisas em ambos os
conjuntos fique sem ligação num par e também que nenhuma ocorra em dois ou mais
pares; e por outro lado é ao mesmo tempo possível que um destes conjuntos contenha o
outro como uma mera parte, de tal modo que as multiplicidades que [os conjuntos]
representam, quando consideramos todas as suas coisas como iguais, isto é, como
unidades, têm entre si relações mais variadas”. (Citado em Meschkowski, 1990)
Seguidamente, para esclarecer as suas afirmações, Bolzano exemplifica com o caso
do conjunto das grandezas compreendidas entre 0 e 5 e o conjunto das grandezas
compreendidas entre 0 e 12, explicando a existência de uma bijecção entre eles, embora,
com o seu critério, o conjunto das grandezas entre 0 e 5 seja menor do que o outro
conjunto.
“Se tomarmos duas grandezas (abstractas) arbitrárias, por exemplo 5 e 12, é claro
que o conjunto das grandezas compreendidas entre 0 e 5 (ou que são menores do que
5), tal como o conjunto das grandezas que são menores do que 12, é infinito; e é
igualmente certo que o último destes conjuntos se deve dizer maior do que o primeiro,
pois este é incontestavelmente apenas uma parte daquele. (…) Mas não menos verdade
do que tudo isto é o que se segue: se x designar uma qualquer grandeza compreendida
entre zero e 5 e determinarmos a relação entre x e y através da igualdade 5y=12x,
então também y será uma grandeza situada entre zero e 12;e reciprocamente, sempre
que y estiver compreendida entre zero e 12, x estará compreendida entre 0 e 5. Também
decorre daquela igualdade que a cada valor de x apenas corresponde um valor de y e
reciprocamente. Mas destes dois [factos] fica claro que, para cada uma = x no
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