O Infinito - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

Perspectiva histórica do conceito de Infinito Capítulo 2
“Já dos exemplos até agora considerados não nos terá escapado que nem todos os
conjuntos infinitos devem ser considerados iguais entre si no que respeita à sua
multiplicidade; mas que, pelo contrário, algum deles pode ser maior (ou menor) do que
um outro, quer dizer, pode incluir em si o outro como uma parte (ou, pelo contrário, ser
ele próprio uma mera parte do outro). Também esta afirmação parece paradoxal a
muita gente. E sem dúvida que todos os que definem o infinito como algo que não
admite nenhum acrescentamento devem achar não só paradoxal mas até contraditório
que um infinito seja maior do que um outro. Mas (…) esta opinião assenta num
conceito de infinito que não está de acordo com o uso linguístico da palavra. De
acordo com a nossa definição, que é conforme não só com o uso linguístico mas
também com o objectivo da ciência, ninguém poderá encontrar algo contraditório, nem
mesmo surpreendente, na ideia de que um infinito seja maior do que um outro. Para
quem poderá não ser claro, por exemplo, que o comprimento da recta prolongada
S
b
ilimitadamente no sentido aR é infinito? Mas que a recta bR, percorrida no mesmo
sentido a partir do ponto b, ainda deve ser dita maior do que aR, pela porção ba? E
que a recta prolongada ilimitadamente em ambos os sentidos aR e aS deve ser dita
maior, por uma grandeza que é ela própria ainda infinita?” (Citado em Meschkowski,
1990)
Assim, o critério que Bolzano usava, para comparar cardinais de conjuntos infinitos,
era a inclusão de conjuntos. Mas a existência de correspondências bijectivas entre
conjuntos infinitos, que pelo critério que usava eram de diferentes multiplicidades, não
lhe passaram despercebidas, apercebendo-se também de, os conjuntos infinitos,
poderem ser postos em correspondência bijectiva com uma sua parte própria. No livro
Os paradoxos do infinito pode ler-se:
a
R
15