O Infinito - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

Perspectiva histórica do conceito de Infinito Capítulo 2
adoptou uma concepção sintética de conjunto, onde um conjunto é concebido como um
todo, sem ser necessário pensar isoladamente em cada um dos seus elementos:
“Posso pensar o conjunto, o agregado ou, se preferirem, a totalidade de habitantes de
Praga ou de Pequim, sem formar uma representação, em separado, de cada um destes
habitantes tomado singularmente, isto é, uma representação que lhe diga
exclusivamente respeito”. (Citado em Meschkowski, 1990)
Assim, introduziu o conceito, cuja existência até aí era negada, de infinito actual. Ele
entendia por multiplicidade infinita, uma multiplicidade que é maior do que qualquer
multiplicidade finita e provou que o conjunto das proposições e verdades em si tem
multiplicidade infinita: se A for uma proposição verdadeira, a proposição B (“A é
verdadeira”) é outra proposição que pertence também ao conjunto; desta proposição B
pode-se obter, pelo mesmo processo, a proposição C (“B é verdadeira”), diferente das
anteriores, e assim por diante. Conclui então:
“O agregado de todas estas proposições, cada uma das quais está ligada à que a
precede (…) por ter como sujeito essa mesma proposição precedente e como conteúdo
a afirmação de que tal proposição é verdadeira, compreende um conjunto de elementos
(proposições) que é maior do que qualquer conjunto finito. (…) podemos sempre
continuar a construção de novas proposições, ou, para melhor nos exprimirmos, (…)
elas existem por si, quer nós as construamos quer não. Segue daí que o agregado de
todas estas proposições possui uma multiplicidade que é maior do que qualquer
número, e que é portanto infinita”. (Citado em Meschkowski, 1990)
Bolzano dá outros exemplos de outros conjuntos infinitos para continuar a explicar
as suas concepções:
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