contribuições de zenon, eudoxo e arquimedes - SBEM-PB

VI EPBEM – Monteiro, PB – 09, 10 e 11 de novembro de 2010
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DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO: CONTRIBUIÇÕES DE ZENON,
EUDOXO E ARQUIMEDES
Izaias Nário da Silva
Universidade Estadual da Paraíba
Bismark Mota da Silva 1
Universidade Estadual da Paraíba
Resumo: Neste trabalho fazemos uma apresentação das idéias de três ilustres matemáticos gregos, Zenon,
Eudoxo e Arquimedes, que ao longo de suas vidas contribuíram significativamente para o desenvolvimento do
cálculo. De acordo com os historiadores pesquisados neste trabalho, a origem das discussões relacionadas ao
cálculo, tomando como ponto de partida esses matemáticos gregos, começou com as discussões levantadas por
Zenon com seus paradoxos a respeito da impossibilidade do movimento. Eudoxo posteriormente deu sua
contribuição conseguindo calcular com o método de exaustão a área do círculo que era uma grande dificuldade
dos matemáticos da época. Arquimedes, usando e aprimorando esse método de exaustão trouxe mais rigor à
matemática de sua época e fez descobertas grandiosas. O objetivo é mostrar de forma mais abrangente essas
contribuições, situando-os no contexto de produção que estavam inseridos. É notável que, apesar da escassez de
uma linguagem e procedimentos algébricos que hoje nos são comuns, eles foram capazes de abordar dois
milênios antes de Newton e Leibniz questões relacionadas ao cálculo infinitesimal, assegurando-lhe as suas
origens. Trata-se de um trabalho em andamento como parte da disciplina de História da Matemática,
pretendemos avançar nessa pesquisa a ponto de abordar as contribuições de matemáticos posteriores que
também colaboraram no desenvolvimento do cálculo.
Palavras-chave: Cálculo – Paradoxo de Zenon – Método de exaustão – Arquimedes.
INTRODUÇÃO
Ao estudarmos conteúdos relacionados ao cálculo infinitesimal, temos em mãos um
mecanismo extraordinário de muitas utilidades, comumente atribuído a Newton e a Leibniz.
De fato, sabemos que esses dois matemáticos trouxeram às claras os principais recursos
(áreas, tangentes, comprimentos de curvas, assim como pontos de máximo e de mínimo de
funções, dentre outros) que hoje conhecemos no cálculo, dando-lhes desenhos mais
avançados e possibilitando aos matemáticos posteriores o seu aperfeiçoamento, tornando o
cálculo um ícone da matemática moderna.
1 Trabalho realizado na disciplina História da Matemática, no curso de Licenciatura em Matemática, da UEPB,
sob orientação do Prof. Mr. José Joelson Pimentel de Almeida, em 2010.2.
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Uma de nossas indagações iniciais é sobre quais foram as mentes ilustres que vieram
antes de Newton e Leibniz contribuindo para o desenvolvimento desses conhecimentos. É
neste âmbito que se situa este trabalho, visando uma abordagem histórica a fim de investigar
as contribuições de matemáticos antecedentes aos já citados, para o desenvolvimento do
cálculo. Assim, nossa pesquisa restringe-se a três matemáticos gregos: Zenon de Eléia,
Eudoxo de Cnido e Arquimedes de Siracusa. Como está em desenvolvimento, até o momento
este trabalho está elaborado à luz das contribuições de historiadores da Matemática, como
Boyer, Bell e Eves.
Primeiras discussões: os paradoxos de Zenon
Em plena Grécia do século V a.C. dava-se início uma das primeiras discussões sobre
problemas envolvendo continuidade e distâncias infinitas, o que muitos séculos mais tarde
resultaria no que conhecemos por séries geométricas e seus limites quando há convergência,
ou seja, viria a ser alguns dos assuntos que hoje estudamos nas disciplinas de cálculo. De
acordo com Pessoa Jr. (2009), Zenon de Eléia (495 - 435 a.C.) amigo e discípulo do filósofo
Parmênides, que tinha como princípio a razão e o intelecto em contradição à observação, era
contrário à ideia de pluralidade (estado de haver muitas coisas diferentes, ao invés de uma
só). Seguindo verazmente a ideia de seu mestre, Zenon de forma coerente aos seus anseios,
negava a existência de movimento e pluralidade, criticando assim qualquer tese que tratasse a
respeito de movimento; “sua estratégia era supor a tese que queria atacar, por exemplo a
pluralidade de pontos em uma reta, e daí deduzir uma consequência que contradissesse sua
suposição, levando assim a uma redução ao absurdo” (Pessoa Jr., 2009, p. 7)
Segundo Eves (2004), os filósofos daquela época ficaram intrigados e confusos com o
anúncio de três suposições feitas por Zenon, em sua visita a Atenas. Com sua simples e
comum intuição, tendo como tese a impossibilidade do movimento, lançou alguns paradoxos
que se tornaram motivos para reflexões e discussões até os dias atuais. Um dos paradoxos, por
nome de dicotomia, defendia que se um segmento de reta pode ser subdividido
indefinidamente, então o movimento é impossível, pois, para alcançar seu percurso total, é
preciso alcançar o ponto médio, que, por sua vez, é necessário alcançar um quarto do
segmento, e assim por diante. Em outro paradoxo, intitulado a flecha, ele anunciou que se o
tempo é formado de instantes atômicos indivisíveis, então uma flecha lançada está sempre
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parada, tendo em vista que em cada instante ela ocupa uma posição fixa. Tomando isso como
verdade, em cada instante temos que a flecha jamais se move.
Bell (1953) apresenta outro paradoxo de Zenon, o argumento de Aquiles.
Aquiles correndo atrás de uma tartaruga que se encontra diante dele jamais pode
alcançá-la, pois primeiro deve chegar ao lugar de onde a tartaruga havia partido;
quando Aquiles chega a este lugar, a tartaruga já não está ali, sempre caminhando
adiante. Repetindo o argumento, podemos facilmente ver que a tartaruga sempre
estará adiante (Bell, 1953, p. 4. Tradução nossa) 2 .
Esses três paradoxos demonstram a grande dificuldade com problemas envolvendo
infinito. Como afirma Bell (1953), “estas são, em linguagem não matemática, a série de
dificuldades que encontraram os primeiros que se ocuparam com assuntos relacionados à
continuidade e o infinito” (Idem, pág. 5. Tradução nossa). Zenon tinha uma intuição
comungada por muitos, que a soma de números infinitos de quantidades maior que zero
resulta em um número suficientemente grande, deixando evidente a lacuna e a dificuldade dos
gregos em questão de conhecimento sobre infinitésimos. A partir desse ponto, dava-se início
entre alguns matemáticos o estudo desses paradoxos, uma vez que os debates e as dúvidas
acerca de distâncias infinitas levantadas por esses paradoxos serviram de motivos para alguns
matemáticos, inclusive os da escola platônica que estudaram tais suposições, deixando-os
muito intrigados. Mais tarde, esses estudos foram se aprimorando até ser definitivamente
desfeito, como veremos adiante.
Primeiros passos da integração: o método de exaustão
Hoje em dia, ao estudarmos geometria plana ou espacial, temos ferramentas muito
avançadas que nos auxiliam no cálculo de áreas de figuras de variados tipos (quadrados,
retângulos, triângulos, círculos, esferas, cones, cilindros etc.). No entanto, muito antes dessas
ferramentas e conhecimentos de cálculo de área chegar até nós, muitos matemáticos,
principalmente os gregos, se voltaram para os estudos dessas figuras e se depararam com uma
dificuldade enorme ao se tratar das curvas.
O sofista Antífon (c. 430 a.C.), contemporâneo de Sócrates, contribuiu para problemas
envolvendo quadratura do círculo, antecipando a ideia de que ao duplicar várias vezes os
lados de um polígono chegaria ao ponto que a área desse polígono teria uma diferença
2 A versão que temos deste livro é eletrônica, disponível em : http : / / www . librosmaravillosos.com/
grandesmatematicos / , sem numeração de suas páginas. A numeração da página corresponde,assim, ao ordinal
da página no capítulo 2.
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mínima em relação à área do círculo. Esse procedimento foi muito criticado por matemáticos
da época, argumentando que se uma grandeza pode ser subdividida indefinidamente, assim
esse processo não teria fim, impossibilitando o cálculo dessa área (Eves, 2004).
Essa abordagem de Antífon continha o conhecido método de exaustão creditado a
Eudoxo de Cnido (408-355 a.C), que de acordo Bell (1953), em sua juventude se mudou de
Tarento, onde tinha estudado com o excelente matemático Arquitas (428-347 a.C.), para
Atenas, vindo a encontrar-se com Platão e fazer parte de sua academia. Após deixar Atenas
foi para Cycico, onde viveu seus últimos anos. Além de sua atuação na matemática, estudou
medicina e realizou significantes contribuições no estudo da astronomia.
O método da exaustão define que uma grandeza qualquer possa ser subdividida
indefinidamente e seu alicerce é a seguinte proposição: “Se de uma grandeza qualquer subtrai-
se uma parte não menor que sua metade, do restante subtrai-se também uma parte não menor
que sua metade, e assim por diante, se chegará por fim a uma grandeza menor que qualquer
outra grandeza predeterminada da mesma espécie” (Eves, 2004, p. 419) 3 .
Segundo Bell (1953), depois que Eudoxo demonstrou esse método de exaustão ficou
notável que não havia necessidade de considerar quantidades minúsculas infinitas, pois, para
fins matemáticos, cada vez que se dividem quantidades pequenas, elas se tornam tão pequenas
que pouco influencia no resultado. A partir desse conhecimento, os números irracionais, que
tanto deixavam os matemáticos confusos, passaram a ser tratados com o mesmo rigor que se
tratavam os números racionais, surgindo a partir daí o que se tornaria a moderna teoria dos
números irracionais. Com esse método, Eudoxo desfez algumas contradições existentes em
alguns dos paradoxos criado por Zenon relacionado a quantidades infinitamente pequenas,
que deixou muitos filósofos da época confusos.
O método de exaustão de Eudoxo foi aprimorado por Arquimedes, como veremos
adiante. Mas o que chama a atenção aqui é que esse método continha o que milênios depois se
tornaria a moderna matemática. Ou seja, começou a se desenhar a partir desse método de
exaustão o que mais tarde originaria a noção de limite e, principalmente, de integração, que
revolucionou a matemática, tornando o que hoje é base das disciplinas de cálculo nas
universidades com sua aplicabilidade nas mais diversas áreas de conhecimento.
Um aprimoramento do método de exaustão: contribuições de Arquimedes
3 A demonstração dessa proposição encontra-se em Eves (2004, p. 419).
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Ao abordar o surgimento das idéias e discussões sobre assuntos matemáticos
diretamente ligados ao cálculo (áreas de figuras curvas, volumes, distâncias infinitas,
continuidade etc.) nos deparamos com homens que dedicaram muito tempo de suas vidas a
esses problemas, aqueles que deixaram seus registros e marcas na história, uns com menor e
outros com maior expressão. Uns, com seus estudos, deram contribuições sucintas, enquanto
outros deram contribuições esplendorosas.
Ao se tratar de contribuições esplendorosas por matemáticos ao longo da história, o
nome de Arquimedes (287 – 212 a.C.) com certeza figura nessa lista. A maioria dos
historiadores da Matemática cita Arquimedes como um dos maiores matemáticos de todos os
tempos. Para Bell (1948) “Arquimedes foi indiscutivelmente o chefe de todos eles, ‘o
respeitoso’, ‘o mais sábio’, ‘o mestre’, ‘o grande geômetra’” (p. 7. Tradução nossa). Por sua
vez, Boyer (1992) afirma que “Arquimedes de Siracusa é considerado o maior matemático da
antiguidade. Superou os outros pela quantidade e dificuldade dos problemas que tratou, pela
originalidade de seus métodos e rigor de suas demonstrações” (p. 28). Poderíamos mostrar
muitas citações de outros autores enaltecendo o grandioso trabalho de Arquimedes, no
entanto, nos restringimos apenas a algumas.
De acordo com Bell (1953), Arquimedes era um veraz aristocrata, nascido em
Siracusa. Alguns suspeitam que ele tenha sido parente do tirano rei de Siracusa, Hierão II.
Teve notórias aplicações da matemática em seus inventos mecânicos, porém, não gostava
desse lado aplicado da ciência, tinha repugnância, gostava mais da matemática pura. Quando
jovem, estudou em Alexandria, no Egito, fazendo amizades bem próximas, com Conon,
matemático talentoso, com o qual Arquimedes tinha um alto respeito por sua personalidade e
mente intelectual. Também fez amizade com Eratóstenes, considerado um grande matemático.
Esses dois foram os homens com quem Arquimedes se sentia seguro para debater suas idéias.
Após a morte de Conon, ele passou a enviar para Dositeo, discípulo do mesmo, suas
correspondências.
Arquimedes, como já foi ressaltado anteriormente, teve notáveis contribuições para a
matemática, tanto na área pura como aplicada. Esse trabalho tem por objetivo evidenciar suas
contribuições para o cálculo, mas suas obras são tão ricas que não poderíamos deixar de
mencionar aqui idéias relacionadas a outras áreas.
Seus trabalhos na mecânica foram gratificantes, segundo Boyer (1996), Arquimedes
criou a lei da alavanca, com o objetivo de calcular as áreas e centros de gravidade de variadas
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superfícies, tanto planas como sólidas, das mais diversificadas formas. Criou a ciência da
hidrostática, aplicando-a para encontrar a posição de repouso e de equilíbrio de corpos
flutuantes. Essa descoberta lhe causou tanta alegria que, distraído, foi capaz de “saltar fora do
banho e correr para casa nu, exclamando ‘Eureka’ (eu achei)” (Boyer, 1996; p. 84) 4 . Na
aritmética, foi além do método grego de simbolizar os números, inventando um novo método
para representar qualquer número, por maior que fosse.
Ao se tratar de questões relacionadas ao cálculo, Arquimedes inventou métodos para
calcular a área de figuras planas curvilíneas e volumes limitados por superfícies curvas.
Aplicou esses métodos em casos específicos como em círculos, esferas, segmentos de
parábolas e também em superfícies de figuras como de cones, cilindros, parabolóides,
hiperbolóides, esferóides. Idealizou um método para calcular a razão da circunferência com
seu diâmetro, chegando a uma aproximação razoável para o conhecido valor de π, segundo
Eves (2004) o resultado do cálculo de Arquimedes sobre o círculo foi uma aproximação do
valor de π, expressa em um número entre 223/71 e 22/7, uma aproximação melhor que a dos
egípcios e a dos babilônios. As obras de Arquimedes mostram quanto esse matemático deu
significativos avanços em sua época, e como contribuiu para formulação do que temos hoje
por cálculo integral e diferencial, que muitas vezes se credita exclusivamente a Newton e
Leibniz; sem falar em contribuições na física e astronomia. Alguns teóricos, como Bell
(1953), afirma sem medo que:
Antecipando-se a Newton e Leibniz em mais de 2000 anos, [Arquimedes] inventou
o Cálculo Integral, e, em um de seus problemas, antecipou a criação do Cálculo
Diferencial. Estes dois cálculos juntos constituem o que se denomina o “cálculo
infinitesimal”, considerado como o instrumento mais poderoso que se foi inventado
para a exploração matemática do universo físico. (Bell, 1953, p. 9. Tradução nossa).
Durante muito tempo alguns estudiosos ficavam desconfiados quanto às
demonstrações de Arquimedes. Segundo Boyer (1996), alguns estudiosos do século XVII
achavam as demonstrações de seus métodos um pouco sem motivação, como se ele ocultasse
a receita daquelas descobertas, a fim de ser jubilado e aclamado pelos seus admiradores, um
tipo de efeito para uma maior admiração de suas obras. Mas, não era bem isso que
Arquimedes queria, tanto que publicou sua obra com o título de O método, que continha
quinze proposições, deixando evidentes descrições passo a passo de como chegou a suas
descobertas. Para Arquimedes, o método usado em cada problema era incompleto, ao ponto
4 Quem estiver interessado em uma análise sobre as demonstrações desses métodos de Arquimedes em suas
descobertas, consultar o livro História da Matemática de Boyer (1996).
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de se tornarem somas de segmentos de reta, seu novo método era mais rigoroso, continha uma
descrição mais compassada de como ele chegou aos resultados. Ele enviou esse trabalho em
forma de carta para Eratóstenes, que era bibliotecário na universidade de Alexandria.
Demorou milênios para vir à tona o novo método que Arquimedes utilizava em seus estudos,
mas, no ano de 1906, o erudito dinamarquês J. L. Heiberg descobriu a peça que estava
faltando no quebra-cabeça, o dito manuscrito que calava e enterrava qualquer suposição
contra a originalidade científica de Arquimedes.
Precisamos lembrar que na época não havia ainda a imprensa, que surgiu apenas na
Idade Média, dificultando e ocultando muita das vezes o fluxo desses conhecimentos entre a
população daquela época. Mas, no manuscrito encontrado por Heiberg havia “uma tentativa –
felizmente não muito bem-sucedida – [que] tinha sido feita para apagar esse texto a fim de
usar o pergaminho para um Euchologion (uma coleção de orações e liturgias usadas na Igreja
Ortodoxa Oriental) escrito por volta do século treze” (Boyer, 1996, p. 95).
Arquimedes, além de ter deixado sua marca como grande matemático, deixou também
com seus inventos mecânicos (catapultas, cordas, polias e outros), que mantiveram à distância
os soldados romanos durante a Segunda Guerra Púnica, quando Siracusa se envolveu na luta
entre Roma e Cartago. Foi assassinado por um soldado romano, apesar de Marcelo, general
dos soldados romanos, ter pedido que preservassem a sua vida, o que não aconteceu. O
próprio Marcelo saqueou as obras de Arquimedes, como seu engenhoso planetário e todas as
suas narrações (Boyer, 1996).
Arquimedes e Eudoxo chegaram muito perto de descobrir o que hoje conhecemos por
cálculo integral e limites, com o método de exaustão, porém, não conseguiram enxergar isso.
Arquimedes ainda abordou em seus trabalhos questões relacionadas ao cálculo diferencial e às
séries infinitas, não diretamente, mas suas idéias primárias suscitaram o que hoje conhecemos
quando estudamos as disciplinas de cálculo.
Considerações finais
Após fazermos essa análise histórica, temos a noção de como foram significantes o
papel desses homens, desde Zenon com suas primeiras ideias, Eudoxo que avançou com seu
método de exaurir o círculo duplicando os lados de um polígono e Arquimedes que não só
teve trabalhos nessa área do cálculo como na área aplicada. Vimos que milênios antes de
Newton e Leibniz, já havia trabalhos que, mesmo com os poucos conhecimentos que havia
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naquela época sobre questões envolvendo infinito, áreas de figuras curvas dentre outras que
estão relacionadas diretamente com o cálculo, esses matemáticos gregos se aproximaram
bastante de descobri-las a ponto de, caso isso houvesse acontecido, teriam antecipado em
muitos anos o desenvolvimento da matemática relacionada ao cálculo, o que só veio a
acontecer de fato no século XVII.
Esse trabalho está em andamento e visamos fazer uma análise da obra de outros
matemáticos posteriores aos gregos que também contribuíram para o desenvolvimento do
cálculo. Temos como objetivo pesquisar as contribuições de Pierre de Fermat, René Descartes
e John Wallis e depois fechar com as contribuições de Isaac Newton e Leibniz.
Referências
BELL, E.T. Los Grandes Matemáticos – desde Zenon a Poincare: su vida y sus obras.
Buenos Aires: Losada, 1948.
BOYER, Carl Benjamim. História da Matemática. 2. ed. Tradução Elza F. Gomide. São
Paulo: Edgard Blücher, 1996.
_____________Tópicos de História da matemática para o uso em sala de aula. Vol. 6.
Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual; 1992.
EVES, Howard. Introdução a História da Matemática. Tradução Hygino H. Domingues.
Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004.
PESSOA Jr., Osvaldo. Filosofia da Física Clássica. In: Paradoxo de Zenon. Disponível em:
www.fflch.usp.br/df/opessoa/FiFi-09-Cap02.pdf. Acessado em 24 ago. 2010.
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