São conhecidos os valores calóricos dos seguintes ... - Curso Objetivo

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8 A função y = ax 2 + bx + c, com a ≠ 0, é chamada função quadrática. a) Encontre a função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A(0;2), B(– 1;1) e C(1;1). b) Dados os pontos A(x 0 , y 0 ), B(x 1 , y 1 ) e C(x 2 , y 2 ), mostre que, se x 0 < x 1 < x 2 e se os pontos A, B e C não pertencem a uma mesma reta, então existe uma única função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A, B e C. Resolução a) Se A(0;2), B(– 1;1) e C(1;1) são pontos da função quadrática y = a . x 2 + b . x + c, com a ≠ 0, então: I) a . 0 2 + b . 0 + c = 2 II) a . (– 1) 2 + b . (– 1) + c = 1 III)a . 1 2 + b . 1 + c = 1 De I, II e III, temos: a = – 1, b = 0 e c = 2, portanto, a função quadrática pedida é y = – x 2 + 2. b) Se a função quadrática y = a . x 2 + b . x + c passa pelos pontos A(x 0 ;y 0 ), B(x 1 ;y 1 ) e C(x 2 ;y 2 ), não- pertencentes a uma mesma reta, então: { O sistema acima, nas incógnitas a, b e c, é sempre possível e determinado, pois o determinante do sistema: OBJETIVO 2 a . x0 + b . x0 + c = y0 2 a . x1 + b . x1 + c = y1 2 a . x2 + b . x2 + c = y2 | x0 x1 x2 y0 y1 y2 | 1 1 ≠ 0 1 D a = | D = 2 x0 2 x1 2 x2 x 0 x 1 x 2 | 1 1 = 1 = (x1 – x0 ) . (x2 – x1 ) . (x2 – x0 ) ≠ 0, Da para x0 < x1 < x2 . Além disso, a = –––– ≠ 0. Dessa forma, conclui-se que existe uma única função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A, B e C. Respostas: a) y = – x2 D + 2 b) demonstração e UNICAMP - (2ª Fase) Janeiro/2005
9 Com as letras x, y, z e w podemos formar monômios de grau k, isto é, expressões do tipo x p y q z r w s , onde p, q, r e s são inteiros não-negativos, tais que p + q + r + s = k. Quando um ou mais desses expoentes é igual a zero, dizemos que o monômio é formado pelas demais letras. Por exemplo, y 3 z 4 é um monômio de grau 7 formado pelas letras y e z [nesse caso, p = s = 0]. a) Quantos monômios de grau 4 podem ser formados com, no máximo, 4 letras? b) Escolhendo-se ao acaso um desses monômios do item (a), qual a probabilidade dele ser formado por exatamente duas das 4 letras? Resolução a) x p . y q . z r . w s é de grau 4 se, e somente se, p + q + r + s = 4. O número de soluções naturais dessa equação é 7! 7 . 6 . 5 P 3,4 = –––– = ––––––– = 35, pois cada per- 7 3!.4! 3 . 2 . 1 mutação de 1111+++ corresponde a uma solução da equação. b) Com apenas duas letras, o monômio terá grau 4, se os expoentes forem (1;3), (2;2) ou (3;1). O número de monômios desse tipo é 3 . C4,2 = 3 . 6 = 18 18 A probabilidade é, portanto, ––– . 35 Respostas: a) 35 b) 18 ––– 35 OBJETIVO UNICAMP - (2ª Fase) Janeiro/2005
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