São conhecidos os valores calóricos dos seguintes ... - Curso Objetivo

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A função y = ax 2 + bx + c, com a ≠ 0, é chamada função
quadrática.
a) Encontre a função quadrática cujo gráfico passa
pelos pontos A(0;2), B(– 1;1) e C(1;1).
b) Dados os pontos A(x 0 , y 0 ), B(x 1 , y 1 ) e C(x 2 , y 2 ), mostre
que, se x 0 < x 1 < x 2 e se os pontos A, B e C não
pertencem a uma mesma reta, então existe uma
única função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos
A, B e C.
Resolução
a) Se A(0;2), B(– 1;1) e C(1;1) são pontos da função
quadrática y = a . x 2 + b . x + c, com a ≠ 0, então:
I) a . 0 2 + b . 0 + c = 2
II) a . (– 1) 2 + b . (– 1) + c = 1
III)a . 1 2 + b . 1 + c = 1
De I, II e III, temos: a = – 1, b = 0 e c = 2, portanto,
a função quadrática pedida é y = – x 2 + 2.
b) Se a função quadrática y = a . x 2 + b . x + c passa
pelos pontos A(x 0 ;y 0 ), B(x 1 ;y 1 ) e C(x 2 ;y 2 ), não- pertencentes
a uma mesma reta, então:
{
O sistema acima, nas incógnitas a, b e c, é sempre
possível e determinado, pois o determinante do sistema:
OBJETIVO
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a . x0 + b . x0 + c = y0 2
a . x1 + b . x1 + c = y1 2
a . x2 + b . x2 + c = y2 |
x0 x1 x2 y0 y1 y2 |
1
1 ≠ 0
1
D a =
|
D =
2
x0 2
x1 2
x2 x 0
x 1
x 2
|
1
1 =
1
= (x1 – x0 ) . (x2 – x1 ) . (x2 – x0 ) ≠ 0,
Da para x0 < x1 < x2 . Além disso, a = –––– ≠ 0.
Dessa forma, conclui-se que existe uma única função
quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A, B
e C.
Respostas: a) y = – x2 D
+ 2
b) demonstração
e
UNICAMP - (2ª Fase) Janeiro/2005