Lista 04 - Minerva.ufpel.tche.br - Universidade Federal de Pelotas

Universidade Federal de Pelotas<br />
Instituto de Física e Matemática<br />
Departamento de Matemática e Estatística<br />
Disciplina: Aritmética (2011/2)<br />
Professor: Cicero Nachtigall<br />
Lista 4<br />
1. Sejam a, b, d ∈ N. Para cada um dos ítens abaixo, determine se a afirmação é<br />
verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, demonstre. Se for falsa, de um contraexemplo.<br />
(a) Se d|a · b então d|a e d|b.<br />
(b) Se d|a · b então d|a ou d|b.<br />
(c) Se d|a 2 então d|a.<br />
2. Sejam m = 2 6 · 3 3 · 5 2 , n = 2 r · 3 s · 5 t e p = 2 5 · 5 4 .<br />
(a) Quantos divisires de m são múltiplos de 100?<br />
(b) Escreva as condições que devem satisfazer r, s e t para que n seja divisor comum<br />
de m e p.<br />
3. Decomponha em fatores primos:<br />
(a) 51262 (b) 20305 (c) 123057<br />
4. Dados a, b e c através de sua decomposição canônica: a = 3 2 ·19·71 2 , b = 2·3 5 ·19·61<br />
e c = 2 4 · 19 2 · 71, encontre:<br />
(a) mdc(a, b)<br />
(c) mdc(a, b, c)<br />
(e) mmc(a, b)<br />
(b) mdc(b, c)<br />
(d) mmc(a, c)<br />
(f) mmc(a, b, c)<br />
5. Sejam a e b números naturais, não primos entre si, cujo produto é 420. O máximo<br />
divisor comum entre a e b é:<br />
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 5 (e) 7<br />
6. Verifique se são primos os números: 269, 287 e 409.<br />
7. Encontre três pares de números naturais a e b tais que mdc(a, b) = 11 e mmc(a, b) =<br />
2 2 · 11 2 · 29 3 .<br />
8. Mostre que:<br />
(a) todo número primo ímpar é da forma 4k + 1 ou 4k + 3;<br />
(b) todo número primo ímpar é da forma 6k + 1 ou 6k + 5.<br />
9. Sejam a e b números naturais e p um número primo. Assinale a alternativa correta:<br />
(a) se p divide a 2 + b 2 e p divide a, então p divide b;<br />
(b) se p divide ab então p divide a e p divide b;<br />
(c) se p divide a + b, então p divide a e p divide b;<br />
1

(d) se a divide p, então a é primo;<br />
(e) se a divide b e p divide b, então p divide a.<br />
10. Se a soma de dois números naturais não nulos é um número primo, mostre que esses<br />
números são primos entre si.<br />
11. Prove que se a e b são primos entre si, então ab e a + b também são primos entre si.<br />
12. Se m =mmc(a, b), mostre que mdc(a + b, m) =mdc(a, b), sempre que a, b > 0.<br />
13. Por meio do crivo de Eratósteles, encontre todos os números naturais primos menores<br />
que 150.<br />
14. Se a e b são números naturais primos entre si, prove que a n e b m também são primos<br />
entre si, para quaisquer m, n ∈ N. Use isto para constatar que mdc(1024, 125) = 1.<br />
15. Se 2 n − 1 é primo, mostre que n também é primo.<br />
16. Prove que um número natural não nulo n é um quadrado perfeito se e somente se<br />
este admite um número ímpar de divisores.<br />
17. Mostre que τ(n) = 2 se e somente se n é primo.<br />
18. Determine α e β para que n = 2 3 · 5 α · 7 β tenha 84 divisores.<br />
19. Mostre que todo número natural n > 2 pode ser escrito como n = 2 k ·m, onde k ≥ 0<br />
e m é ímpar.<br />
2

Respostas:<br />
1. (a) Falsa. (b) Falsa. (c) Falsa. Encontre contra-exemplos!<br />
2. (a) 20 (b) 0 ≤ r ≤ 5, s = 0 e 0 ≤ t ≤ 2.<br />
3. (a) 2 · 19 2 · 71 (b) 5 · 31 · 131 (c) 3 2 · 11 2 · 113<br />
4. (a) 3 2 · 19<br />
(c) 19<br />
(e) 2 · 3 5 · 19 · 61 · 71 2<br />
5. b.<br />
(b) 2 · 19<br />
(d) 2 4 · 3 2 · 19 2 · 71 2<br />
(e) 2 4 · 3 5 · 19 2 · 61 · 71 2<br />
6. Sim, não e sim. Sugestão: Use que 16 < √ 269, √ 287 < 17 e 20 < √ 409 < 21.<br />
7. 11 e 2 2 · 11 2 · 29 3 ; 2 2 · 11 e 11 2 · 29 3 ; 11 · 29 3 e 2 2 · 11 2 .<br />
8. Sugestão: use o algoritmo da divisão de Euclides.<br />
9. Alternativa a.<br />
10. Sugestão: Sejam a, b e p tais números. Então a + b = p onde p é primo. Então<br />
qualquer número que divide a e b também divide p.<br />
11. Sugestão: Se mcd(ab, a + b) = d > 1, então d admite um fator primo p. Assim, p<br />
divide ab e a + b e portanto p divide a e b.<br />
<br />
a b<br />
12. Sugestão: Seja d =mdc(a, b). Como mdc , = 1, pelo exercício 11, temos que<br />
<br />
d d<br />
a b a b<br />
mdc + , = 1. Então mdc a + b,<br />
d d d d<br />
ab<br />
<br />
= d.<br />
d<br />
13. Sugestão: Note que 12 < √ 150 < 13.<br />
14. Sugestão: Se d =mdc(a n , b m ) > 1, mostre que d|a ou d|b. Para a segunda parte do<br />
exercício, basta notar que 1024 = 2 10 e 125 = 5 3 .<br />
15. Sugestão: Se n é composto, podemos escrever n = r · s, onde r, s > 1. Neste caso,<br />
2 n − 1 = 2 r·s − 1 = (2 r ) s − 1 poderia ser fatorado não trivialmente.<br />
16.<br />
17. Sugestão: Lembre que o conjunto de divisores de um número primo p é {1, p}.<br />
18. α = 2 e β = 6 ou α = 6 e β = 2.<br />
19. Utilize indução sobre n.<br />
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